快速傅里叶变换 _

⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。

)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。

以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。

根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。

而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。

1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。

FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。

这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。

2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。

fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。

在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。

3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。

通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。

这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。

4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。

在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。

通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。

5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。

fft的用法-回复FFT，即快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），是一种高效的信号处理算法，用于快速计算傅里叶变换。

它广泛应用于数字信号处理、图像处理、通信和音频处理等领域。

在本文中，我将详细介绍FFT的原理、算法步骤以及应用。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的数学工具，它可以将一个信号分解为不同频率成分的叠加。

傅里叶变换公式为：F(w) = ∫f(t)e^(-jwt)dt其中，F(w)表示频域的复数函数，f(t)表示时域的函数，w为频率。

二、快速傅里叶变换原理FFT算法是在1965年由J.W. Cooley和J.W. Tukey发现的，它利用了傅里叶变换的对称性质，将O(n^2)复杂度的计算降低为O(nlogn)的复杂度。

FFT算法通过将信号采样点划分为不同的子集进行计算，并利用了旋转因子运算的特性，实现了快速的计算。

三、FFT算法步骤1. 输入信号首先，我们需要准备一个输入信号，该信号是以时间为自变量的实数函数。

通常，我们会对信号进行采样，得到一组离散的采样点。

2. 信号的长度针对采样点的数量，我们需要确定信号的长度为N。

在实际应用中，为了确保FFT的正确性，通常会选择2的整数次幂，即N=2^k。

3. 填充零如果信号的长度小于N，我们需要对其进行零填充，使其长度等于N。

这样做是为了保证FFT算法的正确性以及计算的高效性。

4. 快速傅里叶变换采用分治法的思想，FFT算法将信号分为两个子集，并分别计算它们的频谱。

然后，通过合并这些子集的结果以及旋转因子的运算，得到整个信号的频谱。

5. 频谱结果最后，我们可以得到信号的频谱结果，它表示了信号中不同频率成分的振幅和相位。

四、FFT的应用1. 音频处理在音频处理中，FFT被广泛应用于音频信号的频谱分析、波形绘制和滤波处理等方面。

通过FFT算法，我们可以将音频信号转化为频域表示，实现音频特征提取、音频识别以及音频效果的处理。

快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。

1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。

从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。

快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。

1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。

每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。

当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。

1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。

k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。

这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。

0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。

数字信号处理中的快速傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是数字信号处理中一种重要的算法，用于将时域信号转换为频域信号。

通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦波，可以提取出信号的频谱信息，进而进行频域分析和滤波等操作。

本文将介绍快速傅里叶变换的原理、算法流程以及在数字信号处理中的应用。

一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是以傅里叶变换为基础的一种高效的算法。

傅里叶变换是将一个周期函数（或有限长的信号）分解成若干个不同频率的正弦和余弦波的叠加。

这些正弦和余弦波的频率和振幅反映了原始信号的频谱特征。

传统的傅里叶变换算法复杂度较高，难以在实时信号处理中应用。

而快速傅里叶变换通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将传统傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。

二、快速傅里叶变换的算法流程快速傅里叶变换算法采用分治法的思想，将信号逐步分解成更小的子问题，并通过递归地计算子问题的频域结果来获得最终的结果。

其算法流程如下：1. 输入原始信号，设信号长度为N。

2. 如果N为1，则直接返回原始信号。

3. 将原始信号分为偶数项和奇数项两部分。

4. 对偶数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D1。

5. 对奇数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D2。

6. 根据傅里叶变换的性质，将D1和D2组合成整体的频域结果，得到最终结果。

7. 返回最终结果。

三、快速傅里叶变换在数字信号处理中的应用1. 频谱分析：快速傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，通过分析信号的频谱特征，可以提取信号的频率成分，并得到各频率成分的振幅和相位信息。

在音频、图像处理等领域，频谱分析是常见的操作，可以实现音乐信号的频谱可视化、图像去噪和图像压缩等任务。

2. 滤波操作：快速傅里叶变换可以将信号转换到频域后进行滤波操作。

在通信系统中，为了提高信号抗干扰能力和传输效率，通常使用滤波器对信号进行处理。

matlab快速傅里叶变换思考题在MATLAB中实现快速傅里叶变换（FFT）是一个相对直接的过程，因为MATLAB内置了用于此目的的函数`fft`。

理解FFT背后的概念和理论对于更好地应用它非常重要。

以下是一些关于快速傅里叶变换的思考题，以及它们的详细解答。

问题1：什么是傅里叶变换？解答1：傅里叶变换是一种在时间和频率域之间转换信号或数据的方法。

简单来说，它可以将一个时域信号表示为其频域表示，反之亦然。

这在信号处理、图像处理、频谱分析等领域中非常有用。

问题2：什么是快速傅里叶变换（FFT）？解答2：FFT是计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的高效算法。

与直接计算DFT的方法相比，FFT显著减少了所需计算的项数，从而大大加快了计算速度。

问题3：如何理解FFT的"快速"？解答3：快速傅里叶变换的"快速"是指它通过减少不必要的计算来加速傅里叶变换的计算过程。

传统的直接计算DFT的方法需要对所有输入样本进行两重循环，而对于长度为N的输入样本，FFT 算法只需要O(NlogN)的时间复杂度，远快于直接计算的DFT。

问题4：为什么FFT如此重要？解答4：由于FFT显著提高了计算DFT的速度，它使得实时信号处理和分析成为可能。

在许多应用中，如音频处理、通信系统、雷达和声纳系统等，都需要快速傅里叶变换来进行频域分析。

问题5：如何在MATLAB中使用`fft`函数？解答5：在MATLAB中，你可以使用`fft`函数来计算一个向量的快速傅里叶变换。

例如，如果你有一个向量`x`包含了一些时域数据，你可以使用以下命令来计算其频域表示：```matlabX=fft(x);```这会返回一个复数向量`X`，表示`x`的频域表示。

对于实数输入信号，MATLAB会自动应用FFT算法，并返回偶数长度输入信号的对称频域表示。

FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。

FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。

傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。

连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。

二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。

但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。

三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。

FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。

1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。

蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。

用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析快速傅里叶变换（FFT）是一种用于对信号进行频谱分析的算法。

它是傅里叶变换（Fourier Transform）的一种高效实现方式，能够在较短的时间内计算出信号的频谱，并可用于信号处理、数据压缩、图像处理等领域。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的方法，它将时域信号分解为多个不同频率的正弦波的叠加。

傅里叶变换的结果表示了信号在不同频率上的强度，可用于分析信号的频谱特征。

对于一个连续信号x(t)，傅里叶变换定义为：X(ω) = ∫[x(t)e^(-jωt)]dt其中，X(ω)表示频域上的频谱，ω为频率。

实际应用中，信号通常以离散形式存在，即由一系列采样点组成。

为了对离散信号进行频谱分析，需要进行离散傅里叶变换（DFT）。

然而，传统的DFT算法计算复杂度较高，随信号长度的增加而呈指数级增长。

为了解决这个问题，Cooley-Tukey算法提出了一种高效的FFT算法。

该算法利用了DFT的周期性特点，将信号的长度分解为2的幂次，然后通过迭代计算将问题规模减小。

这种分治思想使得计算复杂度从指数级降低到线性级别，大大提高了计算效率。

具体而言，FFT算法的基本思路如下：1.将信号长度N分解为2的幂次L。

2.将N点DFT分解为两个N/2点DFT和一个旋转因子计算。

3.递归地应用步骤2，直到得到长度为1的DFT。

4.对于所有的DFT结果进行合并，得到完整的N点DFT。

FFT算法具有较高的计算效率和优良的数值稳定性，已成为信号处理中最常用的频谱分析方法之一FFT在信号处理中的应用十分广泛。

例如，可以利用FFT对音频信号的频谱进行分析，从而实现音频的频谱显示、音乐频谱分析、噪声抑制等功能。

在图像处理中，FFT可用于图像频谱分析、图像滤波、图像压缩等领域。

此外，FFT还常用于模拟信号的数字化处理、电力系统谐波分析、最优滤波器设计等方面。

总结起来，快速傅里叶变换是一种高效的频谱分析算法，可用于对信号的频谱特征进行分析和处理。

【知识总结】快速傅⾥叶变换（FFT ）这可能是我第五次学FFT 了……菜哭qwq 先给出⼀些个⼈认为⾮常优秀的参考资料：快速傅⾥叶变换（FFT ）⽤于计算两个n 次多项式相乘，能把复杂度从朴素的O (n 2)优化到O (nlog 2n )。

⼀个常见的应⽤是计算⼤整数相乘。

本⽂中所有多项式默认x 为变量，其他字母均为常数。

所有⾓均为弧度制。

⼀、多项式的两种表⽰⽅法我们平时常⽤的表⽰⽅法称为“系数表⽰法”，即A (x )=n∑i =0a i x i上⾯那个式⼦也可以看作⼀个以x 为⾃变量的n 次函数。

⽤n +1个点可以确定⼀个n 次函数（⾃⾏脑补初中学习的⼆次函数）。

所以，给定n +1组x 和对应的A (x )，就可以求出原多项式。

⽤n +1个点表⽰⼀个n 次多项式的⽅式称为“点值表⽰法”。

在“点值表⽰法”中，两个多项式相乘是O (n )的。

因为对于同⼀个x ，把它代⼊A 和B 求值的结果之积就是把它带⼊多项式A ×B 求值的结果（这是多项式乘法的意义）。

所以把点值表⽰法下的两个多项式的n +1个点的值相乘即可求出两多项式之积的点值表⽰。

线性复杂度点值表⽰好哇好但是，把系数表⽰法转换成点值表⽰法需要对n +1个点求值，⽽每次求值是O (n )的，所以复杂度是O (n 2)。

把点值表⽰法转换成系数表⽰法据说也是O (n 2)的（然⽽我只会O (n 3)的⾼斯消元qwq ）。

所以暴⼒取点然后算还不如直接朴素算法相乘……但是有⼀种神奇的算法，通过取⼀些具有特殊性质的点可以把复杂度降到O (nlog 2n )。

⼆、单位根从现在开始，所有n 都默认是2的⾮负整数次幂，多项式次数为n −1。

应⽤时如果多项式次数不是2的⾮负整数次幂减1，可以加系数为0的项补齐。

先看⼀些预备知识：复数a +bi 可以看作平⾯直⾓坐标系上的点(a ,b )。

这个点到原点的距离称为模长，即√a 2+b 2；原点与(a ,b )所连的直线与实轴正半轴的夹⾓称为辐⾓，即sin −1ba 。

fft快速傅里叶变换得到的结果FFT（快速傅里叶变换）是一种常用的数学算法，用于将时域信号转换为频域信号。

通过FFT，我们可以得到信号的频谱分布，从而分析信号的频率成分和特征。

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

它将一个复杂的信号分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。

傅里叶变换的结果是一个包含频率和振幅信息的频谱图。

然而，传统的傅里叶变换算法计算复杂度较高，需要O(N^2)的计算量，这在处理大量数据时效率较低。

为了提高计算效率，Cooley和Tukey在1965年提出了FFT算法。

FFT通过利用信号的对称性和周期性，将傅里叶变换的计算复杂度降低到O(NlogN)。

这使得FFT成为处理大规模数据的重要工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

在FFT算法中，信号被表示为一个复数序列，其中实部表示信号的幅度，虚部表示信号的相位。

通过对这个复数序列进行递归分解和合并操作，可以得到频谱图。

FFT算法的核心思想是将一个长度为N的信号分解为两个长度为N/2的子信号，然后再将这两个子信号分别继续进行分解。

这个过程一直持续下去，直到最后得到长度为1的子信号。

接着，将这些子信号通过合并操作逐步恢复为原始信号的频谱图。

FFT算法的关键步骤是蝶形运算。

蝶形运算是一种基于旋转因子的复数运算，它能够将两个复数进行合并操作。

通过多次蝶形运算，可以将子信号逐步合并为原始信号的频谱图。

FFT算法的优点不仅在于其高效的计算速度，还在于其对称性和周期性的利用。

这使得FFT算法能够应用于各种类型的信号处理问题。

例如，在音频处理中，FFT可以用于音频信号的频谱分析、滤波器设计和音频合成等方面。

在图像处理中，FFT可以用于图像的频域滤波、图像去噪和图像压缩等方面。

然而，FFT算法也存在一些限制。

首先，FFT算法要求信号长度必须是2的幂次，这在某些情况下可能会导致数据的丢失或填充。

其次，FFT算法对信号的稳定性和周期性有一定的要求，对非周期信号或不稳定信号的处理效果可能不理想。

快速傅里叶变换还原原始信号
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)是一种数字信
号处理技术，它将信号映射到按频率排序的直角坐标系中去，从而可
以检测到信号中的振荡频率，并进行必要的处理。

使用FFT还原原始
信号是一种有效的数字信号处理技术。

首先，应该先对信号进行采样处理，以确保采样频率足够高，信
号质量满足要求。

采样处理完成后，将采样信号的数据进行FFT变换，得到变换后的信号。

这时，可以对变换后的信号进行分析，以对信号
进行进一步处理，例如低通滤波，截取频率等处理。

处理完成后，将
处理结果作为输入数据，进行快速傅里叶反变换（FFT Inverse），从
而可以将处理后的信号变换成近似原始信号。

另外，在FFT反变换时，一定要注意把采样率和采样数据正确地
传入到处理程序中，因为FFT反变换时，程序需要此信息以保持信号
处理效果。

此外，使用归一化变换，可以令变换结果更接近原始信号，从而提高信号处理的精度。

总之，快速傅里叶变换还原原始信号是一种高效的数字信号处理
技术，在处理信号的过程中，要注意信号采样频率高，样率对结果有
很大影响；另外，使用归一化变换可以有效提升信号处理的准确度。

最后，使用FFT反变换，得出接近原始信号的结果，就可以还原原始
信号了。

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。

一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。

假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。

举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。

这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。

二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。

如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。