傅里叶变换及其性质word版本

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07.傅里叶变换及性质

• 共轭对称性
f ( x , y ) F ( u , v ) F (u , v )
f ( x, y ) F ( u , v )
二维傅里叶变换的性质
• 频域平移
f x, y e
u x v y j 2 0 0 N M
F u u , v v
f ( at t 0 ) 1 F ( )e a a
- j t0 a
傅里叶变换的性质
• 时域微分
d n f (t ) ( j ) n F ( ) dt
常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统 • 频域微分
d n F ( ) ( jt ) f ( t ) d n
n
f ( t ) F ( )
F ( t ) 2 f ( )
傅里叶变换的性质
• 尺度变换特性
1 f ( at ) F ( ) a a
• 信号在时域中压缩（a>1）等效于在频域中扩展 • 信号在时域中扩展（a<1）等效于在频域中压缩
信号的波形压缩 a 倍，则信号随时间变化加快 a 倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展 a 倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。尺度变换与时移同时发生

1 4 2

F (u , v )ei 2 ( ux vy ) dudv
角频率
• 2D DFT
F u, v
M 1 N 1 x0 y 0
f x, y e
M 1 N 1 u 0 v0
ux vy j 2 M N
X FN x x 1 FN X N
傅立叶变换的矩阵计算

常用的傅里叶变换拉普拉斯变换Z变换及其性质

1 1 X (e jω ) ∗ H (e jω ) = 2π 2π
Y (e jw ) = X (e jw ) H (e jw )

π
−π
X (e jθ ) H (e j ( ω−θ) )dθ
2
n=−∞
x ( n)
∞
2
=
1 2π

π
−π
X (e jω ) dω
周期信号 f (t ) 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频
f (t)为实函数，若f (t)，则 6）能量积分 [f(t)] dt = 1 2π
F (ω)F (ω)dω =
|F(ω)| dω =
1 2π
S(ω)dω
S(ω) = |F(ω)| 称为能量密度函数（或能量密度） 7．卷积 1）定义 f (τ)f (t − τ)dτ称为f (t)，f (t)的卷积，记为f (t) ∗ f (t) 2）定理 f (t) ∗ f (t) = f (t) ∗ f (t) |f (t) ∗ f (t)|≤ |f (t)| ∗ |f (t)| f (t) ∗ [f (t) + f (t) = f (t) ∗ f (t) + f (t) ∗ f (t) ℱ [F(ω)] ℱ[f (t) ∗ f (t)] = F (ω) · F (ω) ℱ[f (t) · f (t)] = 1 F (ω) ∗ F (ω) 2π ℱ[f (t) ∗ f (t) ∗···∗ f (t)] = F (ω) · F (ω) ··· F (ω) 1 2π F (ω) ∗ F (ω) ∗···∗ F (ω)
L[ f (t )dt ] =
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )(dt ) 2 ] =

信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质

我们可以检查已求得的各种实函数得频谱都应满足这一结论，即实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数。
这一特性在信号分析中得到广泛应用。
第3章傅里叶变换
当f(t)在积分区间内为实偶函数，上述结论可进一步简化，此时
f(t)＝f(－t) 那么，由式(3-54)求得
Ｘ()＝0
此时
F()＝R()＝2
fff第3章傅里叶变换ftf?若则f八频域微分特性1tdfjftd???fn1nntdfjftd???f370?371?第3章傅里叶变换九时域积分特性ftf?若则ftffdf0372j?????????f第3章傅里叶变换jjtjj1tej373ftedtdefedfdjff0374ju????????????????????????????????????????u则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成为fttfdfdeftde373jtjtdtudt??????????????????????????证明fftt???此处将被积函数乘以u同时将积分上限改写为结果不变
第3章傅里叶变换
下面从另一角度来说明尺度变换特性。
对任意形状的f(t)和F()
[假定t ，时，f(t)，F()趋近于0]，因为
F()＝
jt
f(t)e dt
－
所以
F(0)＝ f(t)dt －
同样，因为
f(t)＝ 1 F()ejtd
2 －
所以
（3－58）
反变换
f(0)＝ 1
F()d
在频域中对f(t)的频谱F()乘以(j)n。
第3章傅里叶变换
证明：
反变换定义式
因为
f(t)＝ 1 F()ejt d
2 －
两边对t求导数，得

傅里叶变换性质及定理

2
(1-15)
(1-16)
• 将变量t与ω
互换 2f ( ) F (t)e jtdt
所以
2πf(-ω) ←→ F(t)
特别地，当f(t)是t的偶函数，那么
F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω)
即有
f () 1 F(t) 2
(1-17)
•
例1-6 已知F1(ω)如图1-10所示，利
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。利用一个
低通滤波器（在后面介绍），滤除2ω0附
近的频率分量，即可提取f1(t)，实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低通滤波器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
信号与系统
傅里叶变换性质及定理
•
1. 线性
•
若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)，则
•
af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω)
• 式中, a、 b为任意常数。
(3.3-1)
•证
af1(te jtdt
b
f(-t) ←→ F(-ω)
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。
•
一般时宽有限的信号，其频宽无限，
反之亦然。由于信号在时域压缩（扩展）
时，其能量成比例的减少（增加），因
此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。也

3.03 傅里叶变换的性质

1 -1 0 1 t -1 0 -1 f(t)
19 页
1
1 t
X
六．频移特性
1．性质
若 f (t ) F ( j ) j t f (t )e F [ j 0 ] j t f (t )e F [ j 0 ]
0 0
第
20 页
时域±频域
则
0为常数，注意号
综合上述两种情况
1 F f at F a a
X
1 f at F a a
f t
第
11 页
F
E
E
w Eg (t ) ESa( ) 2

2
o

2
t

2π o 2π

(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
第四节傅里叶变换的性质
线性
第 1 页
奇偶性
对称性
尺度变换性
时移特性
频移特性
卷积定理微分性积分性
X
意义
傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
第 2 页
了解信号在时域的变化对应在频域中引起的变化；
用性质求复杂信号的傅里叶变换F(jω)；
方法二：先时延再尺度变换 j 5 对t时移5 （向右）：f t 5 E Sa e 2 w 对所有t压缩2倍, 对频域展宽2倍(即w )： 2 5 j E 2 f 2t 5 Sa e 2 4
X
第
例题3－3－6 已知g2(t)信号，求f(t)信号的频谱。 g2(t)

章傅里叶变换精品文档

情况1： T 4,F nT S a (n T )1 4S a (n 4 )
第一个过零点为n =4 。 F n 在2π/有4值1（谱线）

T
f (t)
1

2
o
2
谱线间隔 2 π T
1 Fn
4
2
O

T
t
第一个过零点：
Sa(2 ) 0
π 2π
t2
t1
cos(n1t)cos(m1t)dt 0

sin(n1t)sin(m1t)dt
0

,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0 时，有
t1 t2 c o s 2 (n1 t)d tt1 t2 s in 2 (n1 t)d t T 2 t2 2 t1
t2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bnt1 t2t1 tf2s(tin )s2i(n n(n1t)1td)tdtt22 t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
t21dt t1
T
t2
t1
可以将“任意”周期函数 f ( t ) 在这个正交函数集中展开为

f(t)a0 (ancosn1tbnsinn1t) n1
称为傅里叶级数
系
an
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
t1 t2cos2(n1t)dt
2 t21 t1
n1

(完整word版)傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。

类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。

积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。

什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。

傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。

分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。

可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。

傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。

Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。

即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。

之后才创立了现代算子理论。

算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。

这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。

1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数f(t)满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面f(t)满足狄利克雷条件；（2）∫|f (t )|+∞−∞dt <+∞，即f (t )在（-∞，+∞）上绝对可积；则f (t )的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点t 处12π∫(∫f(τ)+∞−∞e −iωτdτ)+∞−∞e iωτdω=f (t ) 在它的间断点t 处12π∫(∫f(τ)+∞−∞e −iωτdτ)+∞−∞e iωτdω=f (t +0)+f (t −0)2定义1.2.1（傅里叶变换）设函数f (t )满足定理 1.2.1中的条件，则称∫e −iωt +∞−∞f (t )dt为f (t )的傅里叶变换，记作ℱ(ω)＝∫e −iωt +∞−∞f (t )dt 。

数学物理方法5傅里叶变换

图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶变换可以帮助增强图像的某些特征，如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换为频率域的信号，通过分析信号在不同频率下的强度和相位，可以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以将其表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将其表示为无穷多个不同频率的正弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号，从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中应用广泛，如频谱分析、滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中用于图像的频域分析，如图像增强、去噪、特征提取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中用于求解偏微分方程、积分方程等数学问题。

傅里叶变换及其性质

小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
Fn趋于无穷小量，但
Fn
T
可2望Fn趋
于
有
限
值
，
且
为
一
种连续函数，一般记为F(jω)，即
第2章连续时间傅里叶变换
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号旳傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在旳充分条件为f(t)应满足绝对
这是一种偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号旳复振幅写成取样函数旳形式，即
Fn
E
T
San
2
第2章连续时间傅里叶变换
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
图 2.2-3 Sa(x)函数旳波形
第2章连续时间傅里叶变换
Fn
E
T
2 4
o 3
特点旳频谱图一般要画两个，一种称为振幅频谱，另一种称为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
若信号旳复振幅为FnnΩ旳实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
旳关系也能够用一种图绘出。
第2章连续时间傅里叶变换
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
第2章连续时间傅里叶变换
2.5 傅里叶变换旳性质
根据傅里叶变换旳概念，一种非周期信号能够表述为指数函数旳积分，即
第2章连续时间傅里叶变换
1.
若 f1 ( t) F 1 (j)f2 ,( t) F 2 (j),

傅里叶变换

+∞
通过积分号下求导，可得 ∫ ∞ ∫ ∞ ˆ df (ξ ) d = e−iξxdx = [−ixf (x)]e−iξxdx = F [−ixf ( dξ dξ −∞ −∞ 证毕. 推论 1. 若 lim|x|→∞ f (x) = 0, k = 0, 1..., n − 1, 则
ˆ(ξ ) F [f (n)(x)] = (iξ )nf 2. 象函数的高阶导数: dn ˆ n n f ( ξ ) = ( − i ) F [ x f (x)] n dξ ∫x 5 积分性质设 g (x ) = f (τ )dτ −∞ limx→+∞ g (x) = 0, 则 ∫ x 1 ˆ F[ f (τ )dτ ] = f (ξ ) iξ −∞
−∞
引理 1 若 f (x) 是广义函数, 若对在 (a, b) 内的任意连续函数有 ∫ b f (x)φ(x)dx = 0
a
4
则 f (x) = 0. 性质 1 δ (x) 是偶函数. 证明对任意连续函数 φ(x) 作变换 t = −τ ，有 ∫ ∞ ∫ ∞ δ (−x)φ(x − 0)dx = δ (−x)φ(−x − 0)dx
|t| < a |t| = a |t| > a (a > 0)
2
如果取 t = 0, a = 1, 有 ∫ +∞ π sinξ dξ = ξ 2 0 另一方面 ∫ +∞ ˆ ˆ(x) = F [f ˆ(ξ )] = ˆ(ξ )e−iξx dξ . f f −∞ ∫ +∞ 1 ˆ(ξ )eiξ (−x) dξ = 2πf (−x) f = 2π 2π −∞ 故 sinaξ 1 ˆ ˆ(ξ ) = f (−ξ ) = f (ξ ) g ˆ(ξ ) = = f πξ 2π 7.2 单位脉冲函数 (δ 函数) 在工程和物理现象中，从集中分布的量，如集中质量，集中点电荷，点热源，单位脉冲, 冲击力的瞬时作用等的研究中会遇到在原点等于 ∞，在其他地方为 0 的 Dirac 函数. 这种函数不是高等数学中的普通函数，而是广义函数. 这种函数在工程和物理中有重要意义.

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第2章连续时间傅里叶变换
与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系：
第2章连续时间傅里叶变换
2.1 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。
第2章连续时间傅里叶变换
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
2.2.1 指数形式的傅里叶级数
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的
傅里叶级数:
f (t) Fnejnt n
可积，即要求
f (t)dt
第2章连续时间傅里叶变换
2.4.2
由非周期信号的傅里叶变换可知:
f(t)21 F(j)ejtd
频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为
F(j)F()ej()
习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F(ω) 并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数。
若信号的复振幅为FnnΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
的关系也可以用一个图绘出。
第2章连续时间傅里叶变换
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
第2章连续时间傅里叶变换
第2章连续时间傅里叶变换
2.1 引言 2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 2.3 周期信号的频谱 2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 2.5 傅里叶变换的性质 2.6 周期信号的傅里叶变换 2.7 连续信号的抽样定理 2.8 连续系统的频域分析
第2章连续时间傅里叶变换
FnT 1Tf(t)ejntd,tnz
第2章连续时间傅里叶变换
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
E
－T
－T2 －τ2o
τ 2
T 2
T
图 2.2-1 周期矩形脉冲信号
2T t
第2章连续时间傅里叶变换
2.2.2
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
2
第2章连续时间傅里叶变换
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
图 2.2-3 Sa(x)函数的波形
第2章连续时间傅里叶变换
Fn
E
T
2 4
o 3
图 2.3-4 周期矩形脉冲信号的频谱
第2章连续时间傅里叶变换
由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：
第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
＝2 T
2
(b)
图 2.2-6 不同T
(a) T=5τ; (b) T=10 τ
4
4
第2章连续时间傅里叶变换周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
Байду номын сангаас
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非 Ω的谐波分量。
第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，|Fn|→0。
第2章连续时间傅里叶变换
f(t) E
P 1 T
T 2 T 2
f 2(t)dt
f (t) Fnejnt
n
第2章连续时间傅里叶变换因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有
第2章连续时间傅里叶变换
2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换
2.4.1 傅里叶变换
第2章连续时间傅里叶变换
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
内，因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信
号的频带宽度。记为
B
2(rad/s)或
Bf
1(Hz)
第2章连续时间傅里叶变换
2.3.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号 f(t)，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
第2章连续时间傅里叶变换
f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:
F( j) f (t)ejtdt
式中：
f (t)cos tdt j f (t)sintdt
R() jX()
R()
f (t)costdt
X ()
f
(t)sintdt
F (j) F ()e j( ) R () j( X )
F个n趋连于续无函穷数小，量通，常但记为F(jωF)n，T即可2望Fn趋于有限值，且为一
第2章连续时间傅里叶变换
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
2
22 2
f (t)
E
－T
－T2 －τ2o
τ 2
T 2
T
图 2.2-2 周期矩形脉冲信号
2T t
第2章连续时间傅里叶变换为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
第2章连续时间傅里叶变换
2.2.3 周期信号的频谱
周期信号的复振幅 F n 一般为nΩ的复函数，因而描述其
特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
－τ 2 o
τ 2
Fn
E 5
＝2T
2
T
t
o
4
(a)
f(t) E
Fn
E 10
o
T
t
o
2
τ
τ
(b)
图 2.3-5 不同τ
(a) τ=T/5; (b) τ=T/10
第2章连续时间傅里叶变换
f(t) E
－τ2 o
τ 2
T
2T
t
Fn E 5
o
＝2T
2
(a)
f(t) E
－τ2o
τ 2
T
t
Fn
E 10
o