1 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3．有关公式的变形和逆用
(1)公式T(α±β)的变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
(2)公式C2α的变形：
①sin2α＝12(1－cos 2α)；
②cos2α＝12(1＋cos 2α)． 2 (3)公式的逆用：
①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；
②sin α±cos α＝2sinα±π4.
4．辅助角公式
asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）
一、基础知识
1．正弦定理
asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sinA＋B2＝cosC2； (4)cosA＋B2＝sinC2.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．
三、考点解析
考点一 利用正、余弦定理解三角形 考法(一) 正弦定理解三角形
例.(1)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.
专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形
例1、【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是
（A）2ab （B）2ba （C）2 （D）2
【答案】A
【解析】sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC
所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选A.
【变式探究】 (1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB＝3b，则角A等于( )
A.π3 B.π4 C.π6
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC＝________。
答案： （1）A （2）45
【提分秘籍】解三角形的方法技巧
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
【举一反三】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
热点题型二 判断三角形的形状
例2、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC。
第六节 正弦定理和余弦定理
突破点(一) 利用正、余弦定理解三角形
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
定理 正弦定理 余弦定理
内容 asin
A＝bsin B＝csin C＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝a2＋c2－2accos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
sin A＝a2R；sin B＝b2R；
sin C＝c2R；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R cos A＝b2＋c2－a22bc；
cos B＝a2＋c2－b22ac；
cos C＝a2＋b2－c22ab
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可以解决的两类问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．
在△ABC中，已知a，b和A，解的个数见下表
A为钝角 A为直角 A为锐角 本节主要包括3个知识点：
1.利用正、余弦定理解三角形；
2.利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3.正、余弦定理的综合应用. a>b
一解
一解
一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a
[例1] (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin
Bcos C＋csin Bcos
A＝12b，且a>b，则B＝( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.
