南京信息工程大学期末2019-2020学年第二学期数学分析课程试卷

2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。

2019-2020学年南京市名校数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】 2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.2．以下四个命题中，真命题有（ ）．A ．:sin p y x =是周期函数，q ：空集是集合A 的子集，则p q ∨为假命题B ．“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，20010x x ++<”C ．“a b >”是“33log log a b >”的必要不充分条件D ．已知命题p ：“如果0xy =，那么0x =或0y =”，在命题p 的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中，真命题的个数有2个．【答案】C【解析】选项A 中，由题意得p 为真，q 为真，则p q ∨为真，故A 不正确．选项B 中，命题的否定应是“0x ∃∈R ，20010x x ++≤”，故B 不正确．选项C 中，由“a b >”不能得到“33log log a b >”成立；由“33log log a b >”一定能得到“a b >”成立。

故“a b >”是“33log log a b >”的必要不充分条件．故C 正确。

选项D 中，命题p 的逆命题、否命题、逆否命题都为真，所以有3个真命题，故D 不正确． 综上选C ．3．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为10，14，则输出的a =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】C【解析】【分析】 由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的a .【详解】由题意，可知10a =，14b =，满足a b ，不满足a b >，则14104b =-=， 满足a b ，满足a b >，则1046a =-=， 满足a b ，满足a b >，则642a =-=， 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=， 不满足a b ，输出2a =. 故选C.【点睛】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题.4．设0x >，由不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，类比推广到1n a x n x +≥+，则a =( ) A ．2nB ．2nC ．2nD ．n n 【答案】D【解析】 由已知中不等式：2322331422732,3,4,...x x x x x x x x x x+≥+=+≥+=+≥ 归纳可得：不等式左边第一项为x ，第二项为n n n x，右边为1n + ，故第n 个不等式为：1n n n x n x +≥+ ，故n a n = ，故选D.【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.5．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为.考点：三视图.6．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( )A．12B．23C．34D．13【答案】A【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率与乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率的和，而甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率为14(1)25⨯-，乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率为14(1)25-⨯，因此，所求概率为14(1)25⨯-1451(1)25102+-⨯==，选A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.7．已知i 是虚数单位，若复数z 满足1z zi +=，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】1z zi +=， 11111(1)(1)22i z i i i i --∴===---+-+--， ∴复数z 对应的点的坐标为1(2-，1)2-，在第三象限．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的A =（ ）A ．116B ．132C ．164D ．1128【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化即可得到答案.【详解】由题意，输入值1A =，1n =，第一次执行，112n =+=，12A =，5n >不成立； 第二次执行，213n =+=，111224A =⨯=，5n >不成立； 第三次执行，314n =+=，111428A =⨯=，5n >不成立； 第四次执行，415n =+=，1118216A =⨯=，5n >不成立； 第五次执行，516n =+=，11116232A =⨯=，5n >成立， 输出132A =. 故选：B【点睛】本题主要考查循环框图的应用，按照框图的程序运行即可得出正确答案，属于基础题.9．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ）A ．3-B ．C ．3±D ．【答案】B【解析】【分析】 运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性，可得,3k k Z πϕπ=-∈，计算可得所求值.【详解】 函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变）， 则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再把得到的图像向左平移6π个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为所得函数图像关于2x π=对称，所以cos 1412ππϕ⎛⎫++=± ⎪⎝⎭， 即412k ππϕπ++=， 解得：,3k k Z πϕπ=-∈，所以：tan tan33ϕπ=-=- 故选： B【点睛】 本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.10．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ；∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +， 即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩， 解得a ＝3，b ＝4，∴z ＝3+4i ，∴|z|22345=+=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 11．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是( ) 附：由公式算得：22()7.8()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++ 附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”【答案】A【解析】【分析】根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.【点睛】本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键. 12．已知双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，它的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2CD ．【答案】A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为bx y a=±，则0bx ay ±=，圆的方程()2222x y -+=，圆心为()2,0,r ==a b =，则离心率e =方法二：因为焦点()2,0F c -到渐近线的0bx ay ±=距离为b ，则有平行线的对应成比例可得知2b c =，即2,c b =则离心率为2e =. 选A. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知i 为虚数单位，则复数112i z i +=-的虚部为__________． 【答案】35 【解析】【分析】先化简复数()()()()11211312121255i i i z i i i i +++===-+--+，再利用复数的概念求解. 【详解】 因为复数()()()()11211312121255i i i z i i i i +++===-+--+， 所以复数112i z i +=-的虚部为35. 故答案为：35【点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.14．抛物线214y x =的焦点坐标是______． 【答案】(0,1)F【解析】抛物线21y x 4=即2x 4y =，2,12p p ∴== ，所以焦点坐标为()0,1. 15．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．【答案】【解析】 依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以22323c a b b -==2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y += 16．设1021001210(1)x a a x a x a x +=+++，则1210a a a ++=____________.【答案】1023【解析】【分析】分别将0,1x =代入求解即可【详解】将0x =代入得01a =；将1x =代入得1001102a a a =+++故1210a a a ++=10211023-=故答案为1023【点睛】本题考查二项式展开式中项的系数和，考查赋值法和方程的思想，是基础题三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知集合{}|3327x A x =≤≤，{}2log 1B x x =．(1)分别求A B ⋂，()R C B A ⋃；(2)已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】 (1) {|23}A B x x ⋂=<≤，(){|3}R C B A x x =≤ (2) 3a ≤ 【解析】【分析】(1)根据题干解不等式得到{|13}A x x =≤≤，{}2B x x =，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知{|13}A x x =≤≤，若C A ⊆，分C 为空集和非空两种情况得到结果即可.【详解】(1)因为3327x ≤≤，即13333x ≤≤，所以13x ≤≤，所以{|13}A x x =≤≤，因为2log 1x >，即22log log 2x >，所以2x >， 所以{}2B x x =，所以{|23}A B x x ⋂=<≤． {|2}R C B x x =≤，所以(){|3}R C B A x x ⋃=≤．(2)由(1)知{|13}A x x =≤≤，若C A ⊆，当C 为空集时，1a ≤.当C 为非空集合时，可得13a <≤.综上所述3a ≤.【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为． （1）求的值； （2）求的值．【答案】 (1);（2）.【解析】（1）先运用三角函数定义与同角三角函数之间的关系求得两个锐角的正切，再代入求的值；（2）先求的值，再借助对应关系求解. (1)由条件得，因为角是锐角，所以，，则.（2）因为，角是锐角，所以，.19．在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率y （100100天中出租的天数），设民宿租金为x （单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，y bx a =+与ln y c x d =+哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出9.9%x 的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出10%x 的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益W 达到最大？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑；v u αβ=-.参考数据：记ln i i z x =，261.3x ≈，0.47y =， 5.4z =，()()1221ni i i x x y y =-⋅-≈-∑，()21121333.3ni i x x=-≈∑，()()10.99ii i nzz y y =-⋅-≈-∑，()212.2ni i z z=-≈∑，5.1164e ≈， 5.2181e ≈.【答案】（1）0.896（2）①ln y c x d =+更适合，0.45ln 2.9y x =-+②181元 【解析】 【分析】（1）三天中至少有2天闲置的即为3天中有两天闲置或者3天都闲置，又每天的出租率为0.2，根据二项分布的相关知识即可求出概率；（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近ln y c x d =+的图象，故ln y c x d =+的拟合效果更好，代入公式求出回归方程即可；②将收益表示为租金的函数，用函数单调性处理即可． 【详解】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中最多有一天能够租出， 又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率：()()232310.20.210.20.896P C =-⨯+-=.（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近ln y c x d =+的图象， 故ln y c x d =+的拟合效果更好，依题意，()()10.99ii i nzz y y =-⋅-≈-∑，()212.2ni i z z=-≈∑，所以()()()1210.990.452.2niii nii z z y y c z z ==---===--∑∑，所以0.470.45 5.4 2.9d y cz =-=+⨯=， 所以回归方程为0.45ln 2.9y x =-+.②设旅游淡季民宿租金为x ，则淡季该民宿的出租率0.45ln 2.9y x =-+， 所以该民宿在这280天的收益：2802800.12800.099W yx y x x=-⨯-⨯()()2520.45ln 2.927.72113.4ln 703.080x x x x x x x =-+-=-⋅+>，所以589.681134'.ln W x =-，令'0W =得，ln 5.2x =，所以 5.2181x e =≈，且当()0,181x ∈时'0W >，()181,x ∈+∞时，'0W <， 所以()W x 在()0,181上单调递增，在()181,+∞上单调递减， 所以当181x =时，W 存在最大值， 所以旅游淡季民宿租金约定为181元时， 该民宿在这280天的收益W 达到最大. 【点睛】本题考查线性回归方程，二项分布及其概率计算公式，考查分析求解及转化能力，属于中等题. 20．已知函数()()2ln f x ax x x ax =--，()0,a a R ≠∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】 (1) ()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,1. (2) 0a <或1a =，函数()f x 有个1零点，01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点. 【解析】分析：（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）对a 分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，利用单调性结合函数图象以及零点存在定理可得，0a <或1a =，函数()f x 有个1零点，01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点.详解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =--()1'21f x x x =-- ()()221121x x x x x x+---==令()'0f x =，得1x =， 当1x >时，()'0f x >， 当01x <<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,1 （2）当0a <时，()()2ln f x ax x ax =--的定义域为(),0-∞，()2121'21ax x f x ax x x--=--=当180a ∆=+≤时，即18a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递增，易知10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以函数()f x 有1个零点1a 当180a ∆=+>时，即108a -<<时，令2210ax x --=，得114x a -=，214x a=，且210x x <<，所以()f x 在()2,x -∞，()1,0x 上单调递增，在()21,x x 上单调递减 由12112x a x +=，知11x <-， 所以211114x x a a<<<<-， 则()210f x f a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，()()2111111112ln ln 21x x f x ax x ax x ⎛⎫-=--=+ ⎪+⎝⎭因为11x <-，所以1111211011x x x x --=>++ 所以()0f x > 所以当108a -<<时，函数()f x 有1个零点1a当0a >时，()()2ln f x ax x ax =--的定义域为()0,+∞()2121'21ax x f x ax x x--=--=令2210ax x --=，得1104x a =<，2104x a+=>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 令()()11ln g a f a a ==--，()1'a g a a-=， 所以()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10g a g ≥=（当且仅当1a =时等号成立） ①当1a >时，21x a >，而10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f >， 由()f x 单调性知()20f x <，所以()2,1x 内存在零点，即函数()f x 在定义()0,+∞内有2个两点 ②当01a <<时，210x a <<，而10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f >， 同理()21,x 内存在零点，即函数()f x 值定义域()0,+∞内存在2个零点 ③当1a =时，()()2110f x f f a ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在定义域()0,+∞内有一个零点 综上：0a <或1a =，函数()f x 有个1零点，01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.21．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由. 【答案】（1）9()50E Y =；（2）设备M 的性能为丙级别.理由见解析 【解析】 【分析】（1）对于次品个数Y 的数学期望()E Y 的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件个数求得，再根据该分布符合3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，进行期望的求值 （2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>， 94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，三个条件中只有一个符合，等级为丙 【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于2μσ-的零件有2件，大于2μσ+的零件有4件，共计6件，从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6310050=，依题意3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭， 故39()35050E Y =⨯=； （2）由题意知，62.8μσ-=，67.2μσ+=，260.6μσ-=，269.4μσ+=，358.4μσ-=，371.6μσ+=，所以由图表知道：80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<， 98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，所以该设备M 的性能为丙级别. 【点睛】对于正态分布题型的数据分析，需要结合μσ，的含义来进行理解，根据题设中如()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算μσ-，μσ+等数据时22．已知函数()()212ln 22f x x a x a x =-+-. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数()()349g x f x ax x =-+在()0,∞+上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 (1) 单调递增区间为(0,1]和[2,)+∞,单调递减区间为(1,2).(2) 存在724a ≤-,满足题设. 【解析】 【分析】(1) 根据当1a =-时()212ln 32f x x x x =+-，直接求导，令()0f x '≥与()0f x '<,即可得出单调区间. (2)函数323414()=()2ln 2929g x f x ax x x a x x x -+=--+,使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增等价于()0,(0,)g x x '≥∈+∞,等价于32436,(0,)6x x xa x +-≤∈+∞,构造函数32436()6x x x h x +-=,利用导数求出()h x 的最小值,即可得出a 的范围. 【详解】(1)当1a =-时, ()212ln 32f x x x x =+-， 2232(2)(1)()3x x x x f x x x x x-+--'∴=+-==, 令()0f x '≥,则01x <≤或2x ≥,令()0f x '<,则12x <<,()f x ∴的单调递增区间为(0,1]和[2,)+∞,单调递减区间为(1,2).(2)存在724a ≤-,满足题设.函数3232341414()=()2ln (2)2ln 292929g x f x ax x x a x a x ax x x a x x x -+=-+--+=--+. 232244366()233a x x x x ag x x x x +--'∴=-+-=要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 324366()0,(0,)3x x x ag x x x+--'=≥∈+∞,即323243643660,(0,),(0,)6x x xx x x a x a x +-+--≥∈+∞⇔≤∈+∞,令32436(),(0,)6x x xh x x +-=∈+∞,则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0,()h x h x '<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时, ()0,()h x h x '>在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 12x ∴=是()h x 的极小值点，也是最小值点,且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴存在724a ≤-,满足题设. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,等价转化的数学思想等知识,难度较难.。

江苏省南京市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．3π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.2．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） AB．C ．2D+1【答案】B 【解析】 【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2,b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭243b =， 整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.3．等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.4．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．已知实数x，y满足1260xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y=+的最大值等于( )A．2 B．22C．4 D．8 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C⎛⎫⎪⎝⎭，由于2252912OA⎛⎫=+=⎪⎝⎭,22OC=，所以OC OA>，所以原点到可行域上的点的最大距离为22.所以z的最大值为()2228=.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式．7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个【答案】D 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可. 【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈， 所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-， 即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称， 由题意无法求出()f x 的值域， 所以本题答案为D. 【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．3C ．2D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.9．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误.将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ sin x Q 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.10．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 【答案】C【分析】根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C. 【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．11．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 12．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）A ．184B ．142C ．128D ．114【答案】D【解析】【分析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.2．二项式12展开式中，3x 的系数是（ ） A ．495-B ．220-C ． 495D ．220 【答案】B【解析】通项公式：()126112121rr r rr r r T C C x --+⎛==- ⎝，令6r 3-=，解得3r =，3x ∴的系数为312220C -=-，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)【答案】B【解析】【分析】【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.4．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2018f 的值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】C【解析】【分析】先根据函数()f x 的图象关于1x =对称且()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由[]0,1x ∈时，()21x f x =-，即可求出结果. 【详解】根据题意，函数()f x 的图象关于1x =对称，则()()2f x f x -=+，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-，则有()()2f x f x +=-，变形可得()()4f x f x +=，即函数是周期为4的周期函数，则()()()()20182450420f f f f =+⨯==-，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则()00f =，故()20180f =.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型. 5．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,4【答案】C【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =1．可得y =2．即()16+3244m ++=，解得：m=3． 对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D ：由线性回归方程一定过（x ，y ），即（1，2）．故选：C ．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a da d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩． 故选B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题． 7．设()f x 是可导函数,且满足()()011lim22x f f x x ∆→-+∆=∆,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为( )A ．4B ．-1C ．1D ．-4 【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f （x ）在（1，f （1））处切线的斜率．【详解】由()()011lim 22x f f x x∆→-+∆=∆， 得()()()()()()001111=lim lim 2421x x f f x f f x f x x ∆→∆→-+∆-+∆=⋅-∆∆'=--， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为-4，故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.8．若346m m A C =，则m 等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C【解析】 分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于m 的方程，解方程即可.详解：346m m A C =Q ，()()()()()1231264321m m m m m m m ---∴--=⨯⨯⨯⨯， 即314m -=，解得7m =，故选C. 点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.9．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有( )A ．84种B ．60种C ．42种D ．36种【答案】B【解析】【分析】 由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【详解】解:第一期培训派1人时，有1244C C 种方法, 第一期培训派2人时，有222432C C A 种方法,故学校不同的选派方法有122224443260C C C C A +=，故选B. 【点睛】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.10．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A ：取到两数之和为偶数，事件B ：取到两数均为偶数，则()|P B A =（）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式可得解.【详解】事件A 分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以()22332625C C P A C +==，23261()5C P AB C ==， 由条件概率可得：()()1|()2P AB P B A P A ==， 故选D.【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.11．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A ．6B ．720C ．120D ．5040【答案】B【解析】【分析】执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，1,2S i ==；第2次循环：满足判断条件，2,3S i ==；第3次循环：满足判断条件，6,4S i ==；第4次循环：满足判断条件，24,5S i ==；第5次循环：满足判断条件，120,6S i ==；第6次循环：满足判断条件，720,7S i ==；不满足判断条件，终止循环，输出720S =，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．已知线性回归方程ˆˆ0.6y bx=+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（ ） A ．1B ．2C ．0.5-D ．3-【答案】B【解析】【分析】根据线性回归方程估计y ，再根据残差定义列方程，解得结果【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-，所以ˆ6.50.1y-=-，所以6.50.130.6b +=+$，解得2b =$，故选B【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2log ,02()14,262x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在实数a b c d ,,,，满足a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，则(2)(2)c d ab--的取值范围是______________. 【答案】(0,4)【解析】【分析】 根据函数的性质得出a b c d ,,,之间的关系，从而可求得取值范围． 【详解】设()f a m =，则y m =与()f x 的图象的交点的横坐标依次为a b c d ,,,（如图），∵2log ,02()14,262x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，且()()()()f a f b f c f d ===，a b c d <<<，∴22log log ,8a b c d -=+=，24c <<，∴1ab =，8d c =-，∴2(2)(2)(2)(82)812c d c c c c ab--=---=-+-2(4)4c =--+， ∵24c <<，∴20(4)44c <--+<，故答案为(0,4)．【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布，解题关键是确定a b c d ,,,之间的关系及范围．如本题中可结合图象及函数解析式得出1,8ab c d =+=．14．已知平面向量a r ，b r 满足|a r |=1，|b r |=2，|a r ﹣b r |=3，则a r 在b r 方向上的投影是__________． 【答案】12 【解析】分析：根据向量的模求出a r •b r=1，再根据投影的定义即可求出． 详解：∵|a r |=1，|b r |=2，|a r ﹣b r |=3，∴|a r |2+|b r |2﹣2a r •b r =3，解得a r •b r=1， ∴a r 在b r 方向上的投影是a b b ⋅r r r =12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，90ACB ∠=o ，1CA CB CC ==，D 是1CC 的中点，则直线1AC 与BD 所成角的余弦值为__________．【答案】1010【解析】 分析：记AC 中点为E ，则1//DE AC ，则直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设 12CA CB CC ===，从而即可计算.详解：记AC 中点为E ，并连接BE ，Q D 是1CC 的中点，则1//DE AC ，∴直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设12CA CB CC ===，∴1,CD BD DE BE ====，cosθ∴==.. 点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．16．已知函数2()e x f x x =与()2e x g x x a =+的图象有且只有三个交点，则实数a 的取值范围为________．【答案】0(2a e <<+【解析】【分析】 令()22x xh x x e xe =-，求导数()'h x ，从而确定函数的单调性及极值，从而求出a 的范围． 【详解】由题意得，22x x x e xe a =+，22x x a x e xe ∴=-，令()22x xh x x e xe =-，则()2222x x x x h x xe x e e xe -'=+-()22x e x =-令()0h x '>，解得：x >x <令()0h x '<，解得：x <<()h x ∴在(,-∞上是增函数，在(上是减函数，在)+∞上是增函数， ((()21h x h e ∴==+极大值(()210h x h ==<极小值，且当x →-∞时，()0h x →，当x →+∞时，()h x →+∞ 所以函数()2x f x x e =与()2x g x xe a =+的图象有且只有三个交点，则只需y a =和()y h x =图象有且只有三个交点，故0(2a e <<+故答案为：0(2a e <<+【点睛】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于难题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1F AB V 的面积的最大值.【答案】 (1)22 132x y +=；(2). 【解析】【分析】（1）根据焦点坐标可得c ，根据离心率求得a ，结合222a b c =+，求得b ，则问题得解； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，即可容易求得结果.【详解】（1）由题可知，1c =，又因为c a =a =由b =b =故椭圆方程为22132x y +=. （2）容易知直线l 的斜率不为零，故可设直线l 的方程为1x my =+，联立椭圆方程可得：()2223440m y my ++-=，设,A B 两点坐标为()()1122,,,x y x y ， 故可得12122244,2323m y y y y m m +=-=-++则12y y -==故1F AB n 的面积12221222323S c y y m m =⨯⨯-==++,1t t =≥，221m t =-，故211212t S t t t ==++， 又12y t t =+在区间[)1,+∞上单调递增，故112S t t=+在区间[)1,+∞上单调递减，故133max S ==，当且仅当1t =，即0m =时取得最大值. 故1F AB n. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题.18． (1)设集合{}2560A x x x =-+=}，{}10A x mx =+=，且B A ⊆，求实数m 的值.(2)设1z ，2z 是两个复数，已知11z i =+，2z =1z ·2z 是实数，求2z .【答案】 (1) 12m =-或13m =-或0m = (2) 222z i =-或222z i =-+ 【解析】【分析】（1）解方程2560x x -+=得到集合A ，再分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果； （2）先设2z a bi =+，根据题中条件，得到228a b +=，0a b +=，即可求出结果.【详解】解：(1)由2560x x -+=解得：2x =或3x =∴{}2,3A =，又∵B A ⊆∴当B =∅时，此时0m =符合题意.当B ≠∅时，则0m ≠.由10+=mx 得，1x m=- 所以12m -=或13m-= 解得：12m =-或13m =- 综上所述：12m =-或13m =-或0m = (2)设2z a bi =+，∵2z ==即228a b += ①又12(1)()()()z z i a bi a b a b i =++=-++，且1z ，2z 是实数，∴0a b += ②由①②得，2a =，2b =-或2a =-，2b =∴222z i =-或222z i =-+【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程ˆy=bx+a ，其中b=-20，a=ˆy -b x ； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）【答案】 (1)y=-20x+250； (2)8.25. 【解析】【分析】（1）计算平均数，利用b=-20，ˆa y bx =-，即可求得回归直线方程；（2）设工厂获得的利润为L 元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大.【详解】（1）x ＝16（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5， y ＝16（90＋84＋83＋80＋75＋68）＝80， a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250⇒20250ˆyx =-+. （2）工厂获得利润z ＝（x －4）y ＝－20x 2＋330x －1000.当x ＝334=8.25时，z max ＝361.25（元） 【考点定位】本题主要考查回归分析，一元二次函数等基础知识，考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想考点：回归分析的初步应用；线性回归方程20．已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】【分析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩， 整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.21．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1， F(x)＝()0(),0f x x f x x >⎧⎨-<⎩，求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【答案】（1）8（2）[－2,0].【解析】【分析】（1）根据函数f （x ）最小值是f （﹣1）=0，且c=1，求出a ，b ，c 的值，即可求F （2）+F （﹣2）的值；（2）由于函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞0，b ∈R ，c ∈R ），且a=1，c=0，所以f （x ）=x 2+bx ，进而在满足|f （x ）|≤1在区间（0，1]恒成立时，求出即可．【详解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f(x)＝(x ＋1)2.∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f(x)＝x 2＋bx ，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤－x 且b ≥－－x 在(0，1]上恒成立. 又－x 的最小值为0，－－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0].【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．已知命题:p x R ∃∈，使2(1)10x a x +-+<；命题:[2,4]q x ∀∈，使2log 0x a -≥.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]1,3-（2）[1,1](3,)-⋃+∞【解析】【分析】（1）若p 为假命题，2(1)40a ∆=--≤，可直接解得a 的取值范围；（2）由题干可知p,q 一真一假，分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，即可得a 的范围。