黑龙江省哈尔滨市第六中学最新通用版-最新通用版学年高一12月月考数学试题(详解版)

2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三12月月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={−1,0,1,2},B ={x|1≤2x ≤4}，则A ∩B = A ．{−1,0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1} D ．{1,2}2．（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC⃑⃑⃑⃑⃑ =(−4,−3)，则向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ．(−7,−4) B ．(7,4) C ．(−1,4) D ．(1,4)3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是A ．x ±2y =0B ．2x ±y =0C ．x ±√3y =0D ．√3x ±y =04．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5=8，则S 7＝ A ．28 B ．32 C ．56 D ．245．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．1603B ．160C ．64+32√2D ．606．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率e 的值是A ．54B ．√54C ．32D ．√527．如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1,α2,α3,⋅⋅⋅,则与α1+α2+α3+α4最接近的角是参考值：tan55∘≈1.428，tan60∘≈1.732，tan65∘≈2.145，√2≈1.414A ．120∘B ．130∘C ．135∘D ．140∘8．过圆x 2+y 2=16上一点P 作圆O:x 2+y 2=m 2(m >0)的两条切线，切点分别为A 、B ，若∠AOB =23π，则实数m =A ．2B ．3C ．4D ．9 9．函数y =e −|lnx|−|2−x|的图象大致为A ．B ．C ．D ．10．已知F 为抛物线y 2=8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA|−|FB||的值等于A ．4√2B ．8C ．8√2D ．16此卷只装订不密封级姓名准考证号考场号座位号11．已知函数f(x)=|log2|1−x||,若函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6个不同的零点，则这6个零点之和为A．7B．6C．112D．92二、填空题12．已知f(x)={cosπx(x≤0)f(x−1)+1(x>0),则f(43)+f(−43)的值为___________．13．若x、y满足约束条件{x+y−1≤02x−y+1≥0x−2y−1≤0，则z=x−y的最大值为___________．14．某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次任取两张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子内，给出下列结论：①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多其中正确结论的序号为___________．三、解答题15．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足2√3acsinB=a2+b2−c2．（1）求角C的大小；（2）若bsin(π−A)=acosB，且b=√2，求ΔABC的面积．16．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1,a11,a13成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a2+a5+a8+......+a3n−1.17．在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1,∠BCC1=π3，AB=CC1=2.（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）若点E为棱CC1中点，求E到平面AB1C1的距离．18．已知函数g(x)=e x(x+1)．（1）求函数g(x)在(0,1)处的切线方程；（2）设x>0,讨论函数ℎ(x)=g(x)−a(x3+x2)(a>0)的零点个数．19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O,A两点.（1）求直线OA的斜率；（2）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B,C，求|BC|.20．已知函数f(x)=|x+1|（1）求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M（2）设a,b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b).2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三12月月考数学（文）试题数学答案参考答案 1．C 【解析】B ={x|1≤2x<4}={x|0≤x <2}，又A ={−1,0,1,2}则A ∩B ={0,1} 故选C 2．A【解析】试题分析：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3，−1)+(−4，−3)=(−7，−4),选A. 考点：向量运算 3．C 【解析】试题分析：因为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b,所以b =2c 4,c =2b.因此a =√3b.因为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±bax,所以该双曲线的渐近线方程是x ±√3y =0.考点：双曲线的渐近线方程 4．A 【解析】 试题分析：S 7=7×(a 1+a 7)2=7×(a 3+a 5)2=28，故选A.考点:等差数列前n 和公式. 5．A 【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为为的直角三角形，高为，四棱锥的底面是一个以为边长的正方形，高为，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为，故，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，故，故该几何体的体积，故选A ．考点：由三视图求体积.【思路点晴】由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为的直角三角形，高，四棱锥的底面是一个以为边长的正方形，高为，分别求出棱柱和棱锥的体积，即可得出结论.6．D 【解析】试题分析：设过焦点F(c,0)的弦的端点分别为A,B ，令x =c ，则y 2=b 2(1−c 2a2)=b 4a2，y =±b 2a，则|AB|=2b 2a，故2b 2a=12a ，a 2=4b 2，则e 2=c 2a=a 2+b 2a =5b 24b =54，e =√52． 考点：1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、椭圆的标准方程和简单几何性质. 7．C 【解析】 【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系，可得α1=45°，α3=30°，再利用两角和的正切公式求得tan (α2+α4)的值，可得α2+α4的值．【详解】由题意可得，α1,α2,α3,α4都是锐角，且α1=45°，tanα2=√22，tanα3=√33，∴α3=30°，tanα4=√412，∴α1+α3=75°．又tan (α2+α4)=tanα2+tanα41−tanα2⋅tanα4=√22+121−√22⋅12=6+5√27≈1.87≈tan60°，故(α2+α4)接近60°，故与α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题． 8．A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，不妨取圆x 2+y 2=16上一点P(4，0)，过P 作圆O ：x 2+y 2=m 2(m ＞0)的两条切线PA 、PB ，求出∠AOB =23π时OA 的值即可．【详解】 如图所示，取圆x2+y2=16上一点P(4，0)，过P作圆O：x2+y2=m2(m＞0)的两条切线PA、PB，当∠AOB=23π时，∠AOP=π3，且OA⊥AP，OP=4；OA=12OP=2，则实数m=OA=2．故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．9．D【解析】【分析】写出函数在（0，1）上的解析式，根据函数的性质，结合选项，即可得出答案．【详解】当lnx≤0即0＜x≤1时，y=e lnx−|2−x|=x−(2−x)=2x−2，∴函数y=e−|lnx|−|2−x|在（0，1]上单调递增，排A，B，C，故选：D．【点睛】本题考查函数的图象与性质，属于中档题；已知函数的解析式，判定函数图象的形状时，一般通过解析式研究函数的定义域、单调性、值域、对称性、特殊值，再结合图象进行验证排除.10．C【解析】【分析】先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．【详解】抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，准线为x=−2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由{y=x−2y2=8x，可得x2−12x+4=0，解得x1=6+4√2，x2=6−4√2，由抛物线的定义可得|FA|=x1+2=8+ 4√2，|FB|=x2+2=8−4√2，则||FA|−|FB||=8√2，故选：C．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线定义的运用．一般情况下，抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则|PF|=x0+p2；y2=2px(p<0)上任意一点，F为焦点，则|PF|=−x0+p2.11．B【解析】【分析】先作出函数f(x)=|log2|1−x||的图象，令t=f(x)，方程f2(x)+af(x)+2b=0转化为：t2+at+2b=0，再方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数解，运用图象关于直线x=1对称，这6个解两两关于直线x=1对称，计算即可得到所求和．【详解】作出函数f(x)=|log2|1−x||的的图象，可得图象关于直线x=1对称，∵函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6个不同的零点，即方程f2(x)+af(x)+2b=0有6个不同的实数解，可得这6个解两两关于直线x=1对称，可得它们的和为2×3=6．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点个数问题的解法，注意运用函数的对称性，考查数形结合思想方法，属于中档题．12．1.【解析】试题分析：∵f(x)={cosπx, (x≤0)f(x−1)+1, (x>0)，∴f(43)=f(13)+1=[f(−23)+1]+1=f(−23)+2=cos(−23π)+2=cos(π3−π)+2=−cosπ3+2=32，f(−43)=cos(−43π)=cos43π=cos(π+π3)=−cosπ3=−12，所以f(43)+f(−43)=32+(−12)=1.考点：1.分段函数；2.三角函数求值13．1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件{x+y−1≤02x−y+1≥0x−2y−1≤0作出可行域如图，`化目标函数z=x−y为y=x−z，由图可知，当直线y=x−z过A(1，0)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为1．故答案为：1．【点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数z=Ax+By，首先，作直线y=−ABx，并将其在可行区域内进行平移；当B>0时，直线y=−ABx在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当B<0时，直线y=−ABx在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.14．②【解析】【分析】取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌，即可得出结论.【详解】由题意，取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌，故答案为②．【点睛】本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.15．（1）300；（2）1+√34【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理求得tanC=√33,C=π6.(2)首先求得B=π4,然后结合正弦定理和三角形面积公式可得SΔABC=√3+14.试题解析：（1）由2√3acsinB=a2+b2−c2,∴2√3csinB2b=a2+b2−c22ab,∴2√3sinCsinB2sinB=cosC,∴tanC=√33,∴C=π6.（2）由bsin(π−A)=acosB,∴sinBsinA=sinAcosB,∴sinB=cosB,∴B=π4,根据正弦定理bsinB=csinC,可得√2sinπ4=csinπ6,解得c=1,∴SΔABC=1bcsinA=1×√2×1×sinA=√2sin(π−B−C)=√2sin(π+π)=√3+1.16．(1) a n=−2n+27；（2）S n=−3n2+26n。

哈尔滨市第六中学2020届高三12月月考高三理科数学1．已知集合)}54lg(|{},021|{2++-==≤+-=x x y x B x x x A ，则)(B C A R ⋂=（ ） A ．]1,2(-- B ． ]1,2[-- C ．]1,1(- D ．]1,1[-2．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为,n S 若40342017=S ，则=++201510093a a a （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+0204202x y x y x ，则y x z -=的最大值与最小值之差为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．44．若将函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值（ ） A ．21-B ．23-C ．22D ．215．已知函数)32(log )(232--=x x x f ，给定区间E ，对任意E x x ∈21,，当21x x <时，总有)()(21x f x f <，则下列区间可作为E 的是（ ）A ．)1,3(--B ．)0,1(-C ．)2,1(D ．)6,3( 6．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） A ．16 B ．13 C ．14 D ．127．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2，直线)(33c x y +=与双曲线的一个交点P 满足21122F PF F PF ∠=∠，则双曲线的离心率e 为（ ） A ．2 B ．3 C ．132+ D ．13+8．现有四个函数：①x x y sin =；②x x y cos =；③|cos |x x y =；④xx y 2=的图像如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．④③②①B ． ③④②①C ．④①②③D ．①④②③9．已知在三角形ABC 中，角B A ,都是锐角，且0cos )sin(3)sin(=+++C C A C B ，则A tan 的最大值为（ ）A.43B ．3C ．21D ．210．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，首项d a =1，数列}{2n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 是公比q小于1的正项有理数列，首项21d b =，其前n 项和为n T ，若33T S 是正整数，则q 的可能取值为（ ）A ．71B ．73C ．21D ．4311．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 是双曲线左支上的任意一点，当||||122PF PF 取得最小值a 9时，双曲线的离心率为（ ） A.3 B ．2 C ．5 D ．512．设过曲线a x e x f x3)(+--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线x a x x g cos 2)1()(+-=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．]1,1[- B ．]2,2[- C ．]1,2[- D ．]2,1[- 13．若直线1-=kx y 与抛物线x y 42=有且只有一个公共点，则k 的值为14．如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MC MP =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹的长度为15．已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且y x AM ==,，+∈R y x ,，则y x +的最小值为16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈---∞∈---=),[,34),(,342)(a x x x a x x x a x f 有且只有3个不同的零点)(,,321321x x x x x x <<，且3122x x x +=，则=a17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,13A C b π+==． （1）记,()A x f x a c ==+，若ABC ∆是锐角三角形，求()f x 的取值范围； （2）求ABC ∆面积的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知平面ABC ⊥平面BCDE ，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，AC //DF ，四边形BCDE 为直角梯形，DE //BC ，,1BC CD CD ⊥=，点G 为ABC∆的重心，N 为AB 中点，(,0)AM AF R λλλ=∈>u u u u r u u u r.（1）当23λ=时，求证：GM //平面DFN ； （2）若1=2λ时，试求二面角M BC D --的余弦值.19.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴交于点R ，与抛物线交于点S ，且54FS RS =（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线的焦点F ，作垂直于y 轴的直线l ，P 是抛物线上的一动点（异于l 与C 的交点），过点P的切线交l 于点A ，交抛物线的准线于点M ，求证：FA FM为定值20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-u u u r u u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()()f x lnx cx c R =-∈（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设函数()f x 有两个相异零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>选做题 (本小题满分10分， 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1+cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=．（1）求曲线C 和直线l 在直角坐标系下的普通方程；（2）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，若定点(2,2)P -，求||||AB PB +的最小值 23.选修4-5：不等式选讲 设,,a b c R +∈且1a b c ++=（1）求证：2212c ab bc ca +++≤； （2）求证： 2222222a c b a c b b c a+++++≥。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. O是平行四边形ABCD所在的平面内一点，,则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意可得,,进而求值.【详解】如图所示,分别取AB，CD中点E，F，则，∴三点E，O，F共线，作，以AM，AB为邻边作平行四边形ABNM.则，，延长EF交直线MN与点P则，，，，,,故选C.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．3. 使不等式23x﹣1＞2成立的x取值范围为（）A．（，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣，+∞）参考答案：A【考点】指、对数不等式的解法．【分析】直接利用指数函数的单调性化指数不等式为一元一次不等式求解．【解答】解：由23x﹣1＞2，得3x﹣1＞1，∴x＞．∴使不等式23x﹣1＞2成立的x取值范围为（）．故选：A．4. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系是A、∥B、与异面C、与相交D、与没有公共点参考答案：D略5. 已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．参考答案：A【分析】由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．【解答】解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3d=4﹣1=3，即d=1，∴a2﹣a1=d=1，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，又b12=b2＞0，∴b2=2，则=．故选A【点评】本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点6. 在边长为1的正三角形ABC中，，E是CA的中点，则= （）A．B． C．D．参考答案：B略7. 下列四个函数中，与表示同一函数的是()A．B．C．D．参考答案：B函数的定义域为R，值域为R.A中函数定义域为{x|x≥0}，D中函数定义域为{x|x≠0}，排除A,D.C. =|x|≥0，不成立；B. ，定义域为R，值域为R，满足.8. 三条直线构成一个三角形，则的取值范围是()A． B．C． D．参考答案：C9. 半径为1cm，中心角为150o的弧长为（）A． B． C． D ．参考答案：D10. 己知，下列运算不正确的是( )．(A) (B)(C) (D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图1中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则，若，则．参考答案：35 ，1012. 若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是．参考答案：（，）【考点】余弦定理；等差数列的通项公式．【分析】用a，c表示出b，根据钝角三角形得出的范围，将表示成的函数，根据的范围得出的范围．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴b=．∵△ABC是钝角三角形，∴c2＞a2+b2，即c2＞a2+，∴3c2﹣5a2﹣2ac＞0．即3（）2﹣2﹣5＞0，解得＞．又a+b＞c，即a+＞c，∴＜3．∴===．令，则，f（t）=+=t+，f′（t）=1﹣，∴当＜t＜3时，f（t）为增函数，∴当t→时，→=，当t→3时，→，∴＜＜．故答案为：（，）．13. 已知，是方程的两个根，则____________.参考答案：32【分析】由题得的值，再把韦达定理代入得解.【详解】由题得.所以.故答案为：32【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．参考答案：8π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为： =2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15. 已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，则集合B有个．参考答案：4【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由已知得B?A，从而B=?，B={1}，B={2}，B={1，2}．【解答】解：∵集合 A={1，2}，集合B满足A∪B=A，∴B?A，∴B=?，B={1}，B={2}，B={1，2}．∴满足条件的集合B有4个．故答案为：4【点评】本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的并集的性质的合理运用．16. 按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．参考答案：5考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．解答：解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：5点评：本题考查循环结构，本题解题的关键是读懂框图，看出在每一步循环中，要完成的任务，本题是一个基础题．17. 设函数f（x）=，则f（log214）+f（﹣4）的值为．参考答案：6【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=log214和x=﹣4代入计算可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=6，故答案为：6．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题 1．复数1i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1- B ．()0,1 C ．()1,0-D ．()1,02．已知向量()()1,2,4,,a b x a b ==⊥r r r r，则x =（ ） A ．8-B ．8C ．2-D ．23．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（ ）A ．B ．2C ．D4．已知平面向量4,⋅==r r r a b b ，则向量a r 在b r上的投影向量为（ ）A ．b rB ．12b rC ．13b rD ．23b r5．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A ．9πB ．12πC ．24πD ．36π6．在ABC V 中，若()226c a b =-+，且π3C =，则ABC V 的面积为（ ）A ．BC ．32D 7．在ABC V 中，若20BC CA BC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在锐角ABC V 中，a 、b 、c 分别是ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边，点G 是ABC V 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．45⎡⎢⎣⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．已知1i z =-，则下列说法正确的有（ ）A ．虚部为1B ．2zz =C ．z =D ．2z z +=10．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知60B b ==o ，正确的是（ ）A ．若π4A =，则a =B ．若1a =，则c =C ．ABC V 周长的最大值为D ．ABC V 面积的最大值11．已知点O 为ABC V 所在平面内一点，满足0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u u r r，（其中,λμ∈R ）（ ）A ．当λμ=时，直线OC 过边AB 的中点B ．若2,3λμ==时，AOB V 与AOC △的面积之比为2:3C ．若1OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，且1λμ==，则32OA AB ⋅=u u u r u u u rD ．若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，且1OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，则,λμ满足221λμ+=三、填空题12．在ABC V 中，3,4,5AB AC BC ===，则BA BC ⋅=u u u r u u u r．13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 是棱1CC 的中点，D 是棱BC 上一点．若1//A B 平面ADE ，则BDDC的值为．14．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ππ64A <<且22b a ac -=，则1t a n t a n A B+的取值范围为.四、解答题15．已知()(2,3),1,1a b =-=-r r ，存在c r满足=2c a b +r r r .(1)求向量c r 、a c +r r 、b c +r r的坐标；(2)求a c +r r 与b c +r r夹角的余弦值.16．如图，在正方体1AC 中，E 为1BB 上不同于1B B ，的任一点， 1111,AB A E F B C C E G ⋂=⋂=，求证：(1)//AC 平面11A EC ； (2)//AC FG ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，∠BAC 的平分线交BC 于D ． (1)求∠BAC ； (2)若5AC =，求AD ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4,,AB F G =分别是棱11,CC DD 的中点．(1)证明：平面1//AGC 平面BDF ； (2)求三棱锥1B BDF -的体积．19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积214S c =．(1)cos B b -，求sin sin AB的值； (2)求ab 的取值范围．。