以数学文化背景的高考数学命题
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数学文化背景的高考试题
背景一：杨辉三角
杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。
1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则
（1）第9行的第2个数是66；
（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=18．
2.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）
A．B．C．D．
3.[2006湖北L-15]将杨辉三角（如图（1））中的每一个数都换成分
数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨
三角形．从莱布尼茨三角形可以看出：，其中
x=r+1．
背景二：古希腊多边形数
教材背景：必修⑤数列引入
1.[2009湖北L-W-10]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
2.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：
（Ⅰ）b 2012是数列{an}中的第______项；
（Ⅱ）b 2k-1=______。
（用k 表示）
3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222
n n n n +=+。
记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 ()211,322
N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =
五边形数 ()231,522
N n n n =-
六边形数 ()2
,62N n n n =- ……
可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。
4.古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”图①是第一至第五个四面体数．
这些数可在杨辉三角形（图②）找到
由此推出第6个四面体数为 ____（用数字作答）；第n 个四面体数为 _____．
背景三：角谷猜想
教材背景：【选修2-2P98A4】任取一个正整数，反复进行下述两种运算：(1)若是奇数，就将该数乘以3再加上1；(1)若是偶数，就将该数除以2.你能据此做出什么猜想？
1.[2009湖北L-15]已知数列满足：（m 为正整数），若，
则m 所有可能的取值为__________。
2.[2013湖北L-12]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = 。
{}n a 1a ＝m 1,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩
当为偶数时，当为奇数时。
6a ＝
1
背景四：高斯函数
教材背景：必修①
1.[2009湖北W-09] 设
,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{
215+}，[215+],215+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
2.[2013湖北W-08]x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ． 周期函数
背景五：基本不等式背景
教材背景：必修⑤
1.[2010湖北理T15]设0,0a b >>，则2ab a b
+为,a b 的调和平均数。
如图，C 为线段AB 上的点，AC =a ，CB =b ,Ｏ为AB 的中点，以ＡＢ为直径作半圆。
过点C 做AB 的垂线交半圆于Ｄ，连结OD ，AD ，BD 。
过点Ｃ做OD 的垂线，垂足为E 。
则图中线段OD 的长度为,a b 的算术平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数。
背景六：中国古典数学
教材背景：必修⑤
1.[2011湖北L-13.W-09]《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 _________ 升．
[2012湖北L-10]我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈．人 A ． d ≈ B ． d ≈
C ． d ≈
D ． d ≈ 池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平
地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
3.[2014湖北L-8]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈
相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.
227 B.258 C.15750 D.355113 背景七：阿波罗尼斯圆
教材背景：[必修2P122B2，P144B3]
1.[2014湖北W-17]已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
背景八：其它
1.[2010湖北L-15]观察下列等式：
21
1122n
i i n n ==+∑， 2321
111326n i i n n n ==++∑， 34321
111424n i i n n n ==++∑， 45431
111152330n i i n n n n ==++-∑， 565421
1151621212n i i n n n n ==++-∑， 67653111111722642n i i n n n n n ==++-+∑， ……………………………………
112112101n k k k k k k k k k i i
a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑，
(2,0)A -M b =λ=
可以推测，当*2()k k N ≥∈时，111k a k +=+，12
k a =，1k a -= ，2k a -= ． 2.[2011湖北L-15]给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 _________ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 _________ 种，（结果用数值表示）
3.[2012湖北L-13]回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则： （Ⅰ）4位回文数有 _________ 个；
（Ⅱ）2n+1（n ∈N +）位回文数有 _________ 个．
4.[2013湖北W-17]在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边
形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.
（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别
是 ；
（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为
S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.
若某格点多边形对应的71N =，18L =，
则S = （用数值作答）.
5.[2014湖北L-14]设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2
),(b a c b a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；
（2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数
b
a a
b +2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
第17题图。
