核心素养合情推理与演绎推理

提）推出新判断（结论）的过程，有直接 推理、间接推理等．（《现代汉语词典第 6版》第1323页）．
人教版教材选修2-2第70页：推理是人 们思维活动的过程，是根据一个或几个已 知的判断来确定一个新判断的思维过程．
推理是逻辑学名词． 推理是思维的基本形式之一．
逻辑推理是指从一些事实和命题出发， 依据逻辑规则推出其它命题的思维过 程．从推理形式上看，主要包括两类：
故而可得，第 n 行，n 个数，求和为 2n 1，
因此前 n 行，一共有 n n 1 个数，求和为 2n1 n 2
2
根据上面的分析，我们可以类推得到，
前 14 行，有 105 个数，求和为 215 16 ，
当 N 110 时，求和为 215 16 25 1 215 17 2n
1．归纳――猜想之不完全归纳 在概率统计中，我们总是从所研究的对象全体中抽 取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作 出推断，这也是归纳推理．
例 6 （2017 年全国卷Ⅰ理科第 19 题）为了监控某种零件的一条生产线 的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单
能力是指空间想象能力、抽象概括能力、
推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识.
推理论证能力：推理是思维的基本形式之
一,它由前提和结论两部分组成；论证是由已有 的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理 过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理；论 证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也 包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一 般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行 证明.
特别地，数学运算是数学活动的基本形式，
也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的 重要手段。

A．只需要按开关 A，C 可以将四盏灯全部熄灭 B．只需要按开关 B，C 可以将四盏灯全部熄灭 C．按开关 A，B，C 可以将四盏灯全部熄灭 D．按开关 A，B，C 无法将四盏灯全部熄灭
[解析] D [根据题意，按开关 A ,2,3,4 号灯熄灭，1 号灯亮；按 开关 B ,1,2 号灯熄灭，3,4 号灯亮；按开关 C ，则 2,3,4 号灯熄灭，1
∴第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
答案：1＋212＋312＋412＋512＋612<161
考点一 归纳推理(多维探究) [命题角度 1] 数式的归纳 1．(2016·山东卷)观察下列等式： sinπ3－2＋sin23π－2＝43×1×2； sinπ5－2＋sin25π－2＋sin35π－2＋sin45π－2 ＝43×2×3；
复习课件
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推 理课件
2021/4/17
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情 推理与演绎推理课件
高考总复习 第六章 不等式、推理与证明
第5节 合情推理与演绎推理
理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有 由两类对象具有某些类似特
D．没有出错
解析：A [要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大
前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能
得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于 0，
是不正确的．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推
理得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导

数学11个核心素养：《义务教育数学课程标准(2022年版)》中指出“小学阶段，11个核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。

”1.数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

基础版: 会读会写；进阶版：顺着数倒着数切换自如；进阶能力：10个以内的物体，看一眼能直接说出。

2.量感主要是指对长度、面积、体积、时间、质量、货币等的感性认识。

基础班：幼儿园到学校的距离，上下学时间；进阶版：用数量合理形容物体大小、长短等；进阶能力：熟练掌握常规单位量的进制。

3.符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

4.运算能力主要是指根据法则和运算规律，正确地进行运算的能力。

数的运算重点在于理解算理、掌握算法。

5.几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

6.空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，想象出所描述的实际物体、方位、位置、运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

7.推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。

一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有事实出发，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，进行证明和计算。

8.数据意识主要是指对数据的意义和随机性的感悟。

基础班：通过数据分析体验随机性，从数据中发现规律。

进阶版：选定问题、调查研究、收集数据、分析判断、提取蕴涵信息。

9.模型意识主要是建立某一种类似的、具体代表性场景（环境）模型所产生的反馈帮助自己比较容易解决一些问题。

数学建模主要步骤：抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

10.应用意识主要是用数学的眼光，从数学的角度观察事物、阐释现象、分析问题。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理学 习 目 标核 心 素 养1.了解合情推理的含义．(易混点)2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)1.通过归纳推理与类比推理的学习，培养学生逻辑推理的核心素养． 2．借助合情推理的应用，养成学生逻辑推理的核心素养.归纳推理类比推理定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) 特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理⎭⎪⎬⎪⎫归纳推理类比推理合情推理→从具体问题出发―――――――――――――→经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比提出猜想1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]2．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)[类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)．]3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*)．153n－3[依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．]数、式中的归纳推理12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．(2)已知：f (x)＝x1－x，设f 1(x)＝f (x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2 (2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x[(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x，f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.](3)[解]①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32， 又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32， 解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34， 解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式． [跟进训练]1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________．65 [因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.] 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 43n (n ＋1) [通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．]几何图形中的归纳推理则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________． ①②③④(1)5n ＋1 (2)509 [(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：[跟进训练]3．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第五个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．163n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]类比推理及其应用三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？[提示]四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？[提示]四面体的体积等于底面积与高的积的13.【例3】 (1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 边上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A -BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内．类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . (1)2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n [由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .](2)[解]△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ，∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC . 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE . 在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ， ∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .2．平面图形与空间图形类比三角形 四面体1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A ．r 22B ．l 22C ．lr2 D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]2．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A ．B ．△C ．D ．○A [观察可发现规律：①每行、每列中，长方形、圆、三角形三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果. ]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系为________．b 4＋b 8>b 5＋b 7[将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.] 4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2 [由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.]5．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解]如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P - A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。