2017年第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题 (1)

第十四届初赛（补赛二）试题及解答(非数学类)

1 第十四届全国大学生数学竞赛初赛(补赛二)试题

及参考解答

(非数学类, 2023年3月5日)

一、 填空题(本题满分30分，每小题6分)

（1）极限222

31

lim13(21)







nn

n.

【解】 利用定积分的定义，得

2

1

2222

3

0

11114

lim13(21)4lim4d

23

















n

nn

kk

nxx

nnnn.

（2）设函数()fx在1x的某一邻域内可微，且满足

(1)3(1)42()fxfxxox

，

其中()ox是当0x时x的高阶无穷小，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为.

【解】 由于()fx在1x处可微，因而连续，故对所给等式求极限0x，

可得2(1)4f，所以(1)2f. 仍由所给等式，得

(1)(1)(1)(1)()

32



fxffxfox

xxx，

两边取极限0x，并根据导数的定义，得4(1)2

f，所以1

(1)

2

f.

因此，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为

(1)(1)(1)

yffx， 即 250xy.

（3）设()yyx是初值问题31,

(0)0(0)2

1，













yy

yyy的解，则()yx.

【解】 对于齐次微分方程230



yyy，其特征方程2

302

的根

为

13

，

21

，所以230



yyy的通解为3

12ee

xx

yCC. 

经观察，非齐次微分方程231



yyy的一个特解为

01

3y. 所以，方程的通解为3

12()ee1

3

xx

yxCC. 

又由(0)0(0)1，

yy解得，

11

3C，

20C，因此

31

3()e1x

yx.

（4）设可微函数(,)zzxy满足222

2



zz

xyz

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姓名 身份证号 所在院校 年级 专业

……………………………………………………………密……………………封…………………………线……………………………………………………………………

第十届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷

（非数学类，2018）

考试形式： 闭 卷 考试时间：150分钟 满分： 100分

注意：1.所有答题内容必须写在试卷密封线右边，写在演草纸上无效；

2.密封线左边请勿答题，密封线右边不得有姓名及相关标记.

一、填空题（本题共5小题，每小题5分，共计25分）

1. 设fx有一阶连续导数，且00,00ff，则120100dlimdxfxttxfxtt ；

2. 微分2222eedlne+exxxx

2dx；

3. 级数21nnx中2019x的系数是 ；

4.

设2,,exfxyzyz，其中,zzxy是由0xyzxyz所确定的隐函数，

则0,1,1xf ；

5. 设L是球面2222xyzr与平面0xyz的交线，则第一型曲线积分

dLxyyzzxs . 得 分

评阅人

二、（10分）证明不等式：22221edeebxabaxx，其中0ba.

学校名称姓名奖项证书编号武汉大学罗健洲一等奖F2019001华中科技大学毕正奇一等奖F2019002武汉纺织大学周 钰一等奖F2019003西安交通大学曾泓泰一等奖F2019004中国科学技术大学饶贤昊一等奖F2019005清华大学张灿睿一等奖F2019006华侨大学黄天旭一等奖F2019007华中科技大学刘咏志一等奖F2019008电子科技大学李立业一等奖F2019009上海财经大学周斯萤一等奖F2019010西安电子科技大学冯 昱一等奖F2019011天津理工大学康 强一等奖F2019012山东大学江锴杰一等奖F2019013东北石油大学王 杨一等奖F2019014北京科技大学张 明一等奖F2019015四川大学方海锜一等奖F2019016北京大学江弘毅一等奖F2019017上海财经大学滕佳烨一等奖F2019018中国科学技术大学任一鑫一等奖F2019019附件3：第十届全国大学生数学竞赛决赛非数学专业组获奖名单兰州大学方 徽一等奖F2019020湖南大学陈孝虎一等奖F2019021南京工业大学黄欣奕一等奖F2019022厦门大学王仕捷一等奖F2019023上海理工大学邱屹林一等奖F2019024同济大学金宇豪一等奖F2019025海军工程大学曾梓涵一等奖F2019026国防科技大学王湛岩一等奖F2019027天津大学张一鸣一等奖F2019028盐城工学院邱亮亮一等奖F2019029扬州大学孙郭鹏一等奖F2019030合肥工业大学马 杰一等奖F2019031东北财经大学徐 林一等奖F2019032西安交通大学刘 攀一等奖F2019033陆军工程大学野战工程学院马镜弢一等奖F2019034重庆大学郭 梁一等奖F2019035华东交通大学理工学院王文轩一等奖F2019036南开大学杜伟杰一等奖F2019037四川大学昝 睿一等奖F2019038中南大学郭智杰一等奖F2019039河海大学祝仁杰一等奖F2019040徐州工程学院张 金一等奖F2019041同济大学郭贵松一等奖F2019042吉林大学董 朔一等奖F2019043东北大学徐浩原一等奖F2019044江西财经大学包恒康一等奖F2019045武汉大学伍绍铖一等奖F2019046哈尔滨工业大学王 源一等奖F2019047湖南师范大学张家璇一等奖F2019048厦门大学魏保昊一等奖F2019049武汉大学宣文杰一等奖F2019050武汉大学谢文杰一等奖F2019051浙江大学潘高峰一等奖F2019052河南大学高子文一等奖F2019053南昌工程学院袁 飞一等奖F2019054桂林电子科技大学荣鹤晴一等奖F2019055河海大学吴元熙一等奖F2019056长安大学孙建峰一等奖F2019057辽宁大学刘 威一等奖F2019058南京工程学院凌佳杰一等奖F2019059天津大学罗立伟一等奖F2019060南昌航空大学黄 全一等奖F2019061太原理工大学王金宇一等奖F2019062北京大学高铭齐一等奖F2019063清华大学倪赞林二等奖F2019064华南理工大学吴珍谦二等奖F2019065哈尔滨工业大学李雨杭二等奖F2019066丽水学院苏 文二等奖F2019067燕山大学张再哲二等奖F2019068电子科技大学李诚佳二等奖F2019069北京航空航天大学乐 洋二等奖F2019070厦门大学何鸿光二等奖F2019071合肥工业大学宣城校区陈家鑫二等奖F2019072同济大学刘聪颖二等奖F2019073华东理工大学詹 研二等奖F2019074合肥工业大学朱基宏二等奖F2019075西安交通大学潘翔宇二等奖F2019076湖北工业大学刘子文二等奖F2019077华中科技大学阚 腾二等奖F2019078中国民航大学吴 昊二等奖F2019079陆军工程大学国防工程学院曹 晨二等奖F2019080陆军勤务学院廖雪文二等奖F2019081山东大学王一宁二等奖F2019082兰州大学侯宇航二等奖F2019083四川大学张哲弋二等奖F2019084战略支援部队信息工程大学张建宜二等奖F2019085中南大学狄时禹二等奖F2019086山东科技大学吴增文二等奖F2019087贵州大学张 衡二等奖F2019088重庆大学胡以奇二等奖F2019089浙江大学王宇轩二等奖F2019090哈尔滨工业大学杨有为二等奖F2019091重庆交通大学尹泽泉二等奖F2019092合肥工业大学刘旭鸿二等奖F2019093北京科技大学仲洋宇二等奖F2019094电子科技大学倪孝泽二等奖F2019095河南财经政法大学刘 硕二等奖F2019096湖南大学汪 桥二等奖F2019097哈尔滨工业大学李 铭二等奖F2019098江西理工大学何骏炜二等奖F2019099曲阜师范大学李钰琪二等奖F2019100浙江大学陈一鸣二等奖F2019101电子科技大学柯德劲二等奖F2019102大连大学赵 南二等奖F2019103大连理工大学刘嘉骏二等奖F2019104华南理工大学潘建辉二等奖F2019105四川大学文豪东二等奖F2019106西北工业大学李太吉二等奖F2019107兰州大学陈警伟二等奖F2019108扬州大学王福生二等奖F2019109重庆大学梁鑫斌二等奖F2019110广西大学尚子龙二等奖F2019111厦门大学杨先航二等奖F2019112华中科技大学李 双二等奖F2019113长沙理工大学肖 霄二等奖F2019114吉林大学邹佳昌二等奖F2019115华中科技大学王子延二等奖F2019116福州大学至诚学院黄增勇二等奖F2019117青岛科技大学张剑炉二等奖F2019118浙江大学余瑞璟二等奖F2019119北京大学罗昶恺二等奖F2019120广东工业大学李国燊二等奖F2019121河南科技大学刘官浩二等奖F2019122战略支援部队信息工程大学张 萌二等奖F2019123华中科技大学宋 璇二等奖F2019124燕山大学朱耿辉二等奖F2019125哈尔滨工业大学（深圳）章 迁二等奖F2019126天津大学陈红艺二等奖F2019127新疆大学袁志龙二等奖F2019128太原科技大学韩 铮二等奖F2019129东北大学秦皇岛分校徐 勇二等奖F2019130江苏大学京江学院王 健二等奖F2019131郑州航空工业管理学院任冠龙二等奖F2019132山东农业大学王敏锐二等奖F2019133哈尔滨工程大学郭广彦二等奖F2019134石家庄铁道大学闫东泽二等奖F2019135电子科技大学于劲松二等奖F2019136哈尔滨工业大学（深圳）亚梦溪二等奖F2019137合肥工业大学蒋 盼二等奖F2019138河海大学王海宇二等奖F2019139贵州财经大学曾 鑫二等奖F2019140重庆大学董泓成二等奖F2019141山东大学郭文昊二等奖F2019142北京航空航天大学薛春伯二等奖F2019143哈尔滨工业大学孙隽源二等奖F2019144吉林大学王智超二等奖F2019145上海交通大学刘相宇二等奖F2019146广西大学邹锦林二等奖F2019147哈尔滨工业大学（威海）胡梓轩二等奖F2019148国防科技大学黄秋阳二等奖F2019149南昌大学申康威二等奖F2019150北京航空航天大学汪菊南二等奖F2019151西安交通大学严 胜二等奖F2019152东北大学石 祎二等奖F2019153西安理工大学殷乔刚二等奖F2019154湖南大学刘 杰二等奖F2019155合肥工业大学李林欣二等奖F2019156盐城工学院蔡旭昊二等奖F2019157北京工商大学胡伟鹏二等奖F2019158桂林电子科技大学邓翔凯二等奖F2019159华中科技大学邹 健二等奖F2019160北京交通大学邓 越二等奖F2019161中国矿业大学(北京)孙裕策二等奖F2019162北京师范大学李雨豪三等奖F2019163哈尔滨工业大学王勇军三等奖F2019164南京理工大学马浩然三等奖F2019165兰州大学张凯歌三等奖F2019166华南理工大学刘恩波三等奖F2019167桂林电子科技大学卢 俊三等奖F2019168海南大学李青遥三等奖F2019169西安建筑科技大学郭 颖三等奖F2019170西南财经大学马广泽三等奖F2019171华南理工大学徐书恒三等奖F2019172华南理工大学吴佩津三等奖F2019173内蒙古大学于志力三等奖F2019174武警后勤学院戴 锋三等奖F2019175重庆大学谭仁轩三等奖F2019176浙江大学陈一丰三等奖F2019177沈阳建筑大学苏志强三等奖F2019178电子科技大学刘 意三等奖F2019179海军工程大学李尚宇三等奖F2019180曲阜师范大学李晓宇三等奖F2019181北京邮电大学陈 斌三等奖F2019182山东大学高靖瑜三等奖F2019183厦门大学丘竞昆三等奖F2019184宁波大学周劲宇三等奖F2019185西安电子科技大学李林涛三等奖F2019186西安邮电大学杨进宇三等奖F2019187云南大学吴金泰三等奖F2019188郑州大学李 辉三等奖F2019189西北工业大学杨洪吉三等奖F2019190北华大学展光辉三等奖F2019191浙江大学解子豪三等奖F2019192南开大学李钟毓三等奖F2019193哈尔滨工业大学刘云林三等奖F2019194广西科技大学徐 选三等奖F2019195中国矿业大学(北京)秦猛猛三等奖F2019196西南大学陈佳斌三等奖F2019197重庆大学徐龙勋三等奖F2019198南昌大学聂子雄三等奖F2019199南昌大学颜 斌三等奖F2019200吉林大学王 鹏三等奖F2019201广东工业大学罗洪博三等奖F2019202浙江大学刘豪杰三等奖F2019203山西大学刘 森三等奖F2019204重庆大学李昊洋三等奖F2019205海军航空大学姜乔文三等奖F2019206北京大学李瑞晨三等奖F2019207山东科技大学唐 升三等奖F2019208济南大学胡广富三等奖F2019209贵州大学张繁盛三等奖F2019210江苏大学曾 宇三等奖F2019211长安大学周星星三等奖F2019212空军工程大学涂 捷三等奖F2019213北京邮电大学韩帅杰三等奖F2019214上海财经大学洪世哲三等奖F2019215中国石油大学（北京）克拉玛依校区郭 涛三等奖F2019216内蒙古科技大学蔡凡茗三等奖F2019217中南大学傅炎强三等奖F2019218重庆大学李 萌三等奖F2019219重庆大学李从明三等奖F2019220杭州电子科技大学张琦周三等奖F2019221天津大学邵一航三等奖F2019222北京邮电大学林博达三等奖F2019223河南工业大学郭锐阳三等奖F2019224兰州大学江 旺三等奖F2019225石河子大学张庆达三等奖F2019226河海大学石 蕴三等奖F2019227内蒙古科技大学覃康朔三等奖F2019228浙江大学任梓洋三等奖F2019229贵州大学蒋仕旗三等奖F2019230哈尔滨工业大学郭岳林三等奖F2019231华侨大学张真龙三等奖F2019232上海交通大学于亚杰三等奖F2019233武汉大学吴 靖三等奖F2019234贵州大学唐 广三等奖F2019235哈尔滨理工大学蓝东平三等奖F2019236中国石油大学（华东）董心怡三等奖F2019237宁夏大学贺 洋三等奖F2019238中北大学龙富康三等奖F2019239兰州交通大学俞谨越三等奖F2019240西北农林科技大学胡岐杰三等奖F2019241哈尔滨工程大学刘培杰三等奖F2019242大连理工大学惠 然三等奖F2019243苏州科技大学滕其良三等奖F2019244曲靖师范学院秦顺贵三等奖F2019245兰州大学胡志远三等奖F2019246上海大学杨松洁三等奖F2019247山西财经大学田 静三等奖F2019248哈尔滨工业大学刘力帆三等奖F2019249内蒙古大学咸世莘三等奖F2019250

2012年全国大学生数学竞赛赛题（非数学类）

一、解答下列各题

)!(lim21n1nn）求极限（

）；，，个平面过点（，使其中一和的两个相互垂直的平面：求通过直线13-4034550232)2(21zyxzyxL

;0),(z0),(z322zyzxzyxzyxzbayxueyxubyax方程满足，使函数和，确定常数，且）已知函数（

；与路径无关，求在右半平面上）（，且连续可微，）设函数（)()(21)2()(43xuudyuxudxyxuxuuL；）求极限（dttttxxxx13cossin5lim

dxxexsin02二、计算

.001.050121sin2的近似解，精确到三、求方程xxx

轴上的截距。）处的切线在（上点是曲线其中，求二阶可导，且四、设函数xxfxPxfyuuxfufxffxfxfyx)(,)(sin)()(,0)0(',0)0(,0)(")(330lim

。，都有的连续的函数，使得对满足五、求最小实数CdxxfxfdxxfCo101)()(1)(。）的导数（求，）（义三重积分围起来的上半部分，定所和球面是由抛物面区域为连续函数，六、设)(')(,0)(222222222tFtFdvzyxftFtzyxyxztxf发散。发散，则，且）若（收敛；，则）若（为正项级数，那么与七、设1111111110)1(20)1(1limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabbbaaabbaaba