复数代数形式的乘除运算
学习目标：
1. 理解共轭复数的概念；
2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。
重点：
理解共轭复数的概念
难点：
能进行复数的代数形式的乘、除运算
教学过程：
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P58～P60的内容，回答下列问题．
(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？
(2)观察下列三组复数：
①z1＝2＋i，z2＝2－i；
②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；
③z1＝4i，z2＝－4i.
每组复数中的z1与z2有什么关系？
2．归纳总结
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝
结合律 (z1·z2)·z3＝ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝
(3)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等(4)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，
则z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．
于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
[问题思考]
(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？
(2)复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？z1·z2为何值？
(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？
讲一讲
第三章 数系的扩充与复数的引入》教材分析
广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆
数系的扩充与复数的引入是选修 1－2与选修 2－2 的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩 充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学 阶段数 系的又一次扩充．
《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作 用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发 展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学 观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．
复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数， 《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过 程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理 性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表 示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
本章内容分为 2节，教学时间约 4 课时．
第一节 数系的扩充和复数的概念 本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示） ． •教学目标
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理 论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
（ 2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义． •教学重点
（1）数系的扩充过程．
（ 2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．
（3）复数的几何意义． •教学难点
（ 1）虚数单位 i 的引进．
（2）复数的几何意义．
•教学时数 本节教学，建议用 2 课时．第 1 课时处理数系的扩充和复数的概念；第 2 课时研究复数的几何意义．
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若z1＋i＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】∵z1＋i＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
【答案】B
【解析】 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，∴z1z2＝－1－4＝－5，故选B.
3．定义运算a bc d＝ad－bc，则符合条件1 －1z zi＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
【答案】A
【解析】 由定义得1 －1z zi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝4＋2i1＋i＝3－i. 故应选A.
4．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是( )
A．z－z－为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1 D．2＋3i的虚部为3
【答案】D
【解析】当z为实数时A错；由i2＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复数为1－i，C错，
故选D.
5．在复平面内，复数－2＋3i3－4i(i是虚数单位)所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】－2＋3i3－4i＝－2＋3i3＋4i5＝－18＋i5＝－185＋15i，∴复数－2＋3i3－4i对应的点位于第二象限．
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第 3 章 数系的扩充与复数的引入
第1课时 数系的扩充
教学过程
随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.
一、 问题情境
怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?
二、 数学建构
问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?
解 引入虚数单位i,规定:
① i2=-1;
① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
i是-1的一个平方根.
问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?
解 ① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.
① 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.
问题3 复数与实数有什么关系?
解 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
(图1)
学生分组活动
活动1 复数集C和实数集R之间有什么关系?
活动2 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?
问题4 a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗?
解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么?
解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复
