【教法研究】 关于交错级数审敛法 李娜 （上海工程技术大学基础教学学院，上海２０１６２０） 摘要：交错级数是高等数学中的一个重要内容之一，如何判断其敛散性，特别是级数不满足莱布－￣（Ｌｅｉｂｎｉｚ）４别 法条件时的敛散性问题是一个教学难点。本文讨论了交错级数敛散性的几个判别法，在教学中可以加以推广应用。 关键词：判别法；交错级数；敛散性 中图分类号：Ｇ６４２．４ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—９３２４（２０１３）１卜０１０６—０２ 交错级数是高等数学中的重要内容之一，在现有的高 等数学教材中，关于其审敛法，大都介绍了莱布尼兹 （Ｌｅｉｂｎｉｚ）判别法，但是我们知道，莱布尼兹（Ｌｅｉｂｎｉｚ）判别 学习成为他们迫切的需要，在不知不觉中孩子们就有了直 接、形象的体会。 ２．把生活情境贯穿全课。数学内容大多可以在生活中 找到适合小学生接受的原型。本课，我设计了这样一个练 习：早晨７：３０，红红离开了面积是９０（ ）的家，欢快地迈 着大步来到了占地面积约１．６（ ）的实验小学。上楼走进 教室，坐到自己的座位前把铅笔盒放到了面积是２４（ ） 的课桌上，手捧起封面面积是４００（ ）的数学书和同学们 一起晨读。我们要从学生的生活背景出发，设计生活化的 情境，使学生体会到数学的价值与魅力。 二、实施有效点拨，感受数学的“抽象”美 数学知识是抽象的，教师要利用科学有效的教学方 法，教给学生科学的学习方法，进行针对性点拨，才能帮助 学生感受数学的“抽象”美。 １．拨一拨，为学生释疑解惑。《数学课程标准》指出：教 师是学习活动的组织者、引导者和参与者。学生在学习过 程中并不一定都是“一帆风顺”的，当学生在学习上遇到困 难时，教师的适时引导和适当点拨，有时候就像是及时雨， 能令孩子茅塞顿开。例如：１公顷到底有多大？这个知识非 常抽象，所以我先出示一张１平方米的白纸，告诉他们 １００００个这样的１平方米是１公顷。１公顷太大了，所以先 感知１００平方米有多大。出示：２８个小朋友手拉手围成１ 个正方形，面积大约是１００平方米。问多少个这样的正方 形面积约是１公顷？得出：１００个１００平方米就是Ｉ公顷。 接着，告诉孩子们教室的地面面积大约是５０平方米，要有 多少个这样的教室，面积约是１００平方米？多少个这样的 教室，面积约是１公顷？最后得出：２００间普通教室的地面 面积大约是１公顷。这样就能帮助大家更形象地认识１公 顷到底有多大。 ２．做一做，抽象知识具体化。数学课堂教学要为学生 提供“做”数学的机会，使学生在具体的操作、整理、分析和 探索交流活动中，变抽象为具体，获得广泛的数学活动经 验，从而实现有效学习。例如：为了加深孩子们对１公顷的 认识，我提供了很多信息，让孩子们通过研究，能表述１公 顷的大小。（１）１平方米里可以站约１４个同学，１公顷的面 积可以站（ ）个同学。（全昆山所有学校的学生大约可以 站满１公顷）（２）４个课桌面约是１平方米，１公顷约由 （ ）个课桌面拼成。（３）一辆小轿车的停车位约是ｌ０平方 法只是判断交错级数收敛的一个充分条件，对于不满足莱 布尼兹（Ｌｅｉｈｎｉｚ）判别法的交错级数，我们该采用什么办法 来处理是个值得研究的问题，本文将对该问题进行阐述． 一— ～－＋ —＋＿一—＋ｒ－＋一—＋－一—－卜－１１ 一＋一—十－一—・卜－—，卜一—＋－一—卜一—・卜－——卜－—＋＿一——卜一—・卜・ 米，１公顷约可停小轿车（ ）辆。（４）我国首艘航空母舰 “大连号”的飞行甲板长３００米、宽７Ｏ米，（ ）个飞行甲板 的面积大约是１公顷。此时孩子们已能清楚地表述１公顷 的大小。更重要的是他们得到了成功的体验。我想他们在 今后的学习中将会变得更加自主、自尊、自信和自豪。 ３．考一考，走进生活获知识。在教学完本课内容之后， 结合生活实际，考考学生灵活运用知识的能力。本课末尾， 我设计了一个思考题。出示广告：本小区环境优雅、景色宜 人，是绿色花园示范小区。占地面积１１．５公顷，其中儿童 游乐场、老人健身房、网球场、道路等公共设施占地２．４公 顷，绿化面积达５公顷。可是在小区里走了一圈，发现该小 区共新建了住宅楼７０幢。估计了一下每幢楼长约８０米， 宽约１０米。请你帮老师算一算，房屋开发商的广告是否真 实？如果是你和爸爸，会买这个小区的房子吗？ 三、引导自主探索，享受数学“运用”之乐 布鲁纳说过：“探索是数学的生命线，没有探索就没有 数学的发展。”自主探索强调学生通过自己的思考和探索， 通过对知识产生和发展过程的感受与理解来获取知识、运 用知识。例如，在复习完已学的面积单位后，先让学生说说 他们之间有什么关系。利用相邻的两个面积单位之间的进 率是１００，让学生主动探索接下去的面积单位。请看如下 对话：师：你的意思是说满１００就会有一个新的面积单位， 是吧？根据这个规律，你能往下推测吗？生：１００平方米会 有一个新的面积单位。师：１００平方米会有一个新的面积 单位（公亩），不过这节课我们先不研究。如果一个正方形 面积是１００平方米，那么它的边长是多少？师：你还能大胆 地往下推测吗？生：１００００平方米也会有一个新的面积单 位。师：是的。１００００平方米也会有一个新的面积单位。就 是“公顷”。如果一个正方形面积是１００００平方米，那么它 的边长是多少？师：边长１００米的正方形，面积就是１００００ 平方米，也可以用一个新的面积单位“公顷”来表示，等于 Ｉ公顷，所以Ｉ公顷＝１００００平方米。（带领学生一起说） 师：公顷是我们今天要认识的又一个面积单位。用可以用 符号（ｈｍ２）表示。测量和计算土地面积时，通常用公顷作 单位。关于公顷这个面积单位，你想知道什么？在这样的师 生互动中，从学生的生活经验和已有知识出发，不仅体验 了数学的“生活”之味和感受了数学“抽象”之趣，而且还通 过自主探索享受到运用数学知识的“成功”之乐。 －
第２９卷第８期（上） ２０１３年８月 赤峰学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２９Ｎｏ．８ Ａｕｇ ２０１３ 一类交错级数的审敛法 张传芳 （黑龙江科技大学，黑龙江哈尔滨 １５００２７） 摘要：交错级数是《数学分析》教材中的重要内容，但对于交错级数敛散性的判别方法却很少，本文讨论了一类交错级 数，针对此种交错级数给出了敛散性的判别方法． 关键词：交错级数；收敛；发散 中图分类号：０１７４．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—２６０Ｘ（２０１３）０８—００２１一Ｏ１ １ 引言 级数理论是数学分析和高等数学中的重点内容，而有 关交错级数的收敛性的判别方法多数都采用莱布尼茨判别 法㈦，但莱布尼茨判别法只能判别正负交替出现的交错级数， 对于两项正一项负交替出现的级数却显得无能为力．本文在 莱布尼茨判别法的启示下给出了这种交错级数的判别方法． 定义１ 若级数的各项符号正负相间，即Ｕ１－ｕ２＋ｕ，一Ｕ ＋ …＋（一１）¨＿ ｕ ＋…或一ｕ１＋ｕ２一ｕ３＋ｕ４一…＋（一１）ｒＩｕ ＋…（ｕ ＞０，ｎ＝ｌ，２，…） （１） 则称（１）为交错级数． 莱布尼茨判别法 ：若交错级数（１）满足下述两个条 件 （１）绝对值逐项递减，即１１ 。≤ｕ （ｎ＝１ ２・・） （２）ｌｉｒａ Ｕｎ＝０ 级数（１）收敛． 定义２若级数的各项是两个正项—个负项交替出现，即 Ｉ１１＋ｕ２一ｕ３＋ｕ４＋ｕ５一ｕ６＋… （ｕ ＞０，ｎ＝ｌ，２，…） （２） 则称级数（２）为双正单负型交错级数． ２双正单负型交错级数的判别方法 定理１若交错级数（２）满足 ＝ 则（ｉ）当ｐ＜ｌ时，交错级数（２）绝对收敛； （ｉｉ）当ｐ＞ｌ或Ｄ＝＋。。时，交错级数（２）发散； （ｉｉｉ）当ｐ＝ｌ时，交错级数（２）可能收敛也可能发散． 证（ｉ）当ｐ＜ｌ时，按比值审敛法，正项级数 ｌｕ ｌ收 敛，即交错级数（２）绝对收敛． （ｉｉ）当ｐ＞ｌ时，取一个适当小的正数￡，使得ｐ－ｅ＞ｌ，按 极限定义，存在正整数ｍ，当ｎ≥ｍ时，有不等式 斗 ＩＵ ｌ ＞ｐ—ｅ＞ｌ，即ｌｕ 。Ｉ＞ｌｕ ｌ，当ｎ≥ｍ时，由级数收敛的必要条件知 ｌｉｒａ Ｕｎ≠０，交错级数（２）发散． （ｉｉｉ）当ｐ＝ｌ时，交错级数（２）可能收敛也可能发散．例 如，对于交错级数∑（一１）ｎ￣＇ｌｉｍ ＝１，但∑（一１）ｎ是发散 的； （一１） １，亦有 ＝１，但他是条件收敛的． 定理２若交错级数（２）满足 ｌｉｒａ Ｖｌｕ ｌ＝ｒ ｎ—÷∞ 则（ｉ）当ｒ＜ｌ时，交错级数（２）绝对收敛； （ｉｉ）当ｒ＞ｌ或ｒ＝＋。。时，交错级数（２）发散； （ｉｉｉ）当ｒ＝ｌ时，交错级数（２）可能收敛也可能发散． 证明方法与定理１类似，在此不再赘述． 定理３若交错级数（２）满足 （ａ）ｕ３ ＋ｕ ｌ≥１１３ｎ≥ｔｌ３ｎ＋１＋ｕ３ｎ＋２ ｎ＝１，２，３… （ｂ）ｌｉｒａｔｉｎ＝０ ｎ—＋∞ 则交错级数（２）收敛． 证明考虑级数（２）的部分和数列Ｓ Ｓ３ｎ＝ｕｌ＋ｕ２一ｕ３＋ｕ４＋ｕ５一ｕ６＋…＋ｕ３兀－１＋ｕ３兀＿１一Ｕ３ｎ ＝（ｕ１＋ｕ２一ｕ３）＋（ｕ４＋ｕ５－ｕ６）＋…＋（ｕ３ｎ＿２＋ｕ３ｎ＿１一ｕ３Ｉ１） 由（ａ）的１１３ ＿２＋ｕ ≥ｕ ｎ＝ｌ，２，３，…知括号中的项都大 于０，即Ｓ 是递增数列．而Ｓ， 又可以表示为 Ｓａｎ＝ｎ１＋ｕ２一ｕ３＋ｕ４＋ｕ５一ｕ６＋…＋ｕ３ｎ一２＋ｕ３兀－１一ｕ３ｎ ＝（ｕｌ＋ｕ２一ｕ３）＋（ｕ４＋ｕ５－ｕ６）＋…＋（ｕ３ ＿２＋ｕ３ ｌ—ｕ３兀） ＝ｕｌ＋ｕ２一（ｕ３一ｕ４一ｕ５）一（ｕ６一ｕ７－１１８）－…－（ｕ孙＿３＋ｕ３ｎ＿２－１１３ｎ＿１）一ｕ３ｎ 再由条件（ａ）的Ｕ３ｎ≥ｕ ＋ｕ， ｎ＝ｌ，２，３，…知括号中的 项都大于０，故 Ｓ３ ＜“１＋“ 即Ｓ 有上界，由单调有界收敛准则知ｓ 的极限存在， 记ｌｉｒａ Ｓ Ｓ ｎ—＋∞ 再利用条件（ｂ） ｌｉｍ Ｓ３ｎ＋ｌ＝ｌｉｍ（Ｓ３ｎ＋Ｕ ）＝ｌｉｍ Ｓ３．＋ｌｉｍ Ｕ３ｎ＋ｌ＝Ｓ＋０＝Ｓ ｎ—｝∞ ｎ—｝∞ｎ— ∞ ｎ—｝∞ ｌｉｍ Ｓ３．＋２＝ｌｉｍ（Ｓ３ｎ＋ｕ３叶１＋ｕ３ｎ＋２）Ｉ＝ｌｉｍ Ｓ３ ＋ｌｉｍ ｕ３ｎ＋１＋ｌｉｍ ｕ３ Ｈ２ ｒ广 ∞ ｎ— ∞ ｎ—｝∞ｎ— ∞ｎ— ∞ ＝Ｓ＋０＋０＝Ｓ 故ｌｉｍ Ｓｏ＝Ｓ ｎ—＋∞ 因此级数（２）收敛． 上述有关双正单负型交错级数的判别方法也可以推广 为判别双负单正型交错级数．在此不在累述． 参考文献： ［１］同济大学应用数学系．微积分（第二版）［Ｍ】．北京：高等教 育出版社．２００３． ［２］华东师范大学数学系．数学分析（第二版） ．北京：高等 教育出版社．１９９５． 一
n分之1的交错级数收敛性
首先，拿到一个数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零。若满足其必要性。接下来，我们判断级数是否为正项级数。
step1
领到一个数，我们必须先推论他与否满足用户发散的必要条件：
如果数项级数是收敛的，则那么n→+∞ 时，级数的一般项收敛就是零。
step2
若满足其必要性。接下来，我们判断级数是否为正项级数：
若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种辨别方法去检验其与否发散。（备注：这三个辨别法的前提必须就是正项级数。）
step3三种判别法
1.比较原则；
2.比式判别法，（适用于含 n！ 的级数）；
3.根式辨别法，（适用于于含 n次方 的级数）；
（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）
step4
如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。
第２Ｏ卷第５期 ２００７年ｌＯ月 常州工学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖｏ１．２０ Ｎｏ．５ ０ｃｔ．２００７
关于交错级数敛散性判别法的一些探讨 范新华 （常州工学院理学院，江苏常州２１３００２）
摘要：文章就数学分析中交错级数敛散性的判别法加以讨论，结合交错级数自身的特性，提出 了交错级数敛散性的一个判别定理。该定理的判别式是极限形式，运用起来十分简便，该判定定理 推广了莱布尼兹判别法，并给出了应用。 关键词：交错级数；判别法；敛散性 中图分类号：Ｏ１７３．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７ｌ一０４３６（２００７）０２—００５７—０３
０ 引言 级数敛散性的判别问题是数学分析中的一 个比较重要的问题，级数敛散性的柯两判别准 则虽然给出了判断级数收敛的充要条件，从逻 辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但 是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别 准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛 容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使 用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行 的。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用 柯西判别准则往往失效。文献［１］和文献［２］中 判别交错级数是否收敛方法很少，目前只有莱 布尼兹判别法，即定理１。 定理１如果交错级数 ∑（一１） “ （“ ＞０）＝“１一“２＋…＋ （一１） 一 “ ＋… （１） 满足条ｐ￣ｌｉｍｕ ＝０，“ ≥“ ＋ ，则∑（一１）一 “ （“ ＞０）收敛。 但莱布尼兹判别法的适用范围较小，有些情 况下不能判别级数是否收敛，莱布尼兹判别法中 的条件是级数收敛的一个充分非必要条件，不能 收稿日期：２００７—０９—０３ 用来判定一个级数是否发散，即使在能够判定出 一个级数是收敛的情况下，也不能判定级数是绝 对收敛，还是条件收敛。要判别级数是否条件收 敛，还要用到其他的判别法。因此，要判别一个交 错级数是否条件收敛，非常麻烦。 本文结合几种判别法及交错级数的自身特 性，给出关于交错级数是绝对收敛、条件收敛还是 发散的一种简易判别法。 １定理的证明 关于交错级数本文给出如下的判定定理。 定理２交错级数 ∑（一１） 一 ｂ ＝ｂ１一ｂ２＋…＋（一１） 一 ｂ ＋… ｂ ＞０ （２） ｈ 若ｌｉｍｎ（ 一１）＝以，则 口ｎ＋１ ①Ａ＞１，级数（２）绝对收敛； ②０＜Ａ＜１，级数（２）条件收敛； ＜０，级数（２）发散； ＝０，级数（２）可能发散，也可能条件收 敛，但不会绝对收敛； ⑤Ａ＝１，级数（２）收敛，
