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正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法有以下几种：
1. 比较判别法：如果对于正项级数∑a_n和正项级数∑b_n，有
a_n≤b_n对于所有的n成立，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也发散。
2. 极限判别法：如果对于正项级数∑a_n，有
lim(n→∞)a_n/a_(n+1)=L，其中L为有限值，则当L<1时，级数∑a_n收敛；当L>1时，级数∑a_n发散；当L=1时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
3. 比值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)a_(n+1)/a_n=q，则级数∑a_n收敛；如果
lim(n→∞)a_(n+1)/a_n＞1，则级数∑a_n发散。
4. 根值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)√(a_n)=q，则级数∑a_n收敛；如果lim(n→∞)√(a_n)＞1，则级数∑a_n发散。
需要注意的是，这些判别法只对正项级数有效，即级数中的每一项都是非负的。
对于一般的级数，可以考虑正项级数的收敛性质来推导一般级数的收敛性。
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
