计量经济学的数理统计学基础学习资料

计量经济学的数理统计学基础 学习—————好资料

精品资料 计量经济学的数理统计学基础 一、随机变量的概率分布 1．随机变量 随机变量是指取值具有随机性的变量。 随机变量有两种：离散随机变量和连续随机变量。

2．离散随机变量的概率分布 （1）概率函数 通常用一个二维表格直观描述离散随机变量X的概率分布：

其中11niip，

10ip

（2）分布函数 累计分布概率： 

xxi

i

pxXPxF}{)(

X 1x 2x … nx

P 1p 2p … np 学习—————好资料

精品资料 3．连续随机变量的概率分布

（1）概率函数 用概率密度函数)(xf描述， 它满足以下性质： xxf,0)(；

1)(dxxf；

badxxfbXaP)()(

（2）分布函数 累计分布函数 xdxxfxXPxF)(}{)(

；

另有： )()()()(bxaPaFbFdxxfba

（3）常用分布 学习—————好资料

精品资料  正态分布

定义：如果随机变量X的密度函数为 ])(21exp[21)(22xxf 则称X服从参数为μ、σ的正态分布，通常记为X(,2)。

令xz， 那么z服从标准正态分布(0,1)，

]21exp[21)(2zzf

 卡方分布 学习—————好资料

精品资料 假设n维向量XN(0,n

I)，那么

)(~)...(222221'nXXXXXn；

 t-分布 学习—————好资料

精品资料 假设两个独立的随机变量

ZN(0,1)， Y)(2n ，那么

)(~ntnY

Z

 F-分布 学习—————好资料

精品资料 假设1Y)(~12n和2Y)(~22n是两个独立

的卡方分布，那么),(~//212211nnFnY

nY

二、随机变量的联合分布 1.联合概率 对于两个离散的随机变量X,Y，

它们的联合分布为 ,2,1,(),(jipyYxXPijii…) 学习—————好资料 精品资料 对于两个连续的随机变量，它们

的概率分布由联合概率密度决定 badcdyyxfdxdYcbXaP),(),(

2.边际概率 与联合概率函数),(yxf相对应，)(),(yfxfyx都称为边际概率函数。 njijixpxXPxf1)()(

dyyxfxfx),()(

3.条件概率 )(),()(jjijiyYPyYxXPyYxXP

)(),()(yfyxfyxfYYX 学习—————好资料

精品资料 三、随机变量的数字特征（分布参数）

1．数学期望 数学期望 记为EX或X



对于离散变量，niiixpEX1； 对于连续变量，xdxxfEX)( 性质：

互相独立和XX)()()()()(2121212121EXEXXXEEXEXXXEXECXCECCE

2．方差 方差 记为DX或2X

222)()()(EXXEEXXEDX

性质： 学习—————好资料

精品资料 0)(CD；.

DXCCXD2)( 互相独立和212121)(XXDXDXXXD

3．标准差（均方差） 标准差 DXX

4．矩 )(nXE称为变量X的n阶原点矩，

1n时就是X的期望。

nEXXE)(

称为变量X的n阶中

心矩，n=2时就是X的方差。 学习—————好资料

精品资料 5．偏度和峰度

偏度S度量了X围绕其均值的非对称性，峰度K则度量了凸起或平坦程度。

33)(XXXES



44)(XXXEK



对于正态分布，K=3，S=0。

6．协方差 协方差用于度量两个变量的线性相关程度，记为xy或),cov(YX； )])([(),cov(EYYEXXEYX )()()(YEXEXYE. 学习—————好资料

精品资料 0xy

意味着两个变量同方向变

动，称之为正相关； 0xy

称之为负相关；

0xy

称之为不相关。

四、从总体到样本 1．总体和样本 所谓总体就是一个随机变量X。 X的分布函数通常记为);(xF，其中就是待估参

数。 在进行n次重复独立实验后，得到总体X的n个观察值

nxxx,...,,21，而在实验之前，nxxx,...,,21实际上是相互独立均与总体X同分布的n个随机变量

nXXX,...,,21。称nXXX,...,,21为总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本；称n

xxx,...,,21

为样本的一个观察值，简称样本值。 学习—————好资料 精品资料 2．样本统计量  统计量的概念 设n

XXX,...,,21是来自总体X的一个样本，若随机变

量nXXX,...,,21的函数),...,,(21nXXXg中不含有任何未知参数，则称),...,,(21nXXXg为一个统计量。 注意：统计量本身是一个随机变量；其值可由样本值计算出来。

 最常见的统计量有： 样本均值 niiXnX11；

样本方差212)(11niiXXnS； 样本标准差21)(11niiXXnS； 样本k阶原点矩 nikikXnM11； 样本k阶中心矩 kniikXXnM)(11'。 假设),(iiYX，ni,...,1，是某个X和Y联合分布的样本，那么 学习—————好资料 精品资料 样本协方差 ))((111YYXXnSiniiXY

3．抽样分布  样本均值的分布 总体X  (,2)

样本nXXX,...,,

21 (,2)

则：X (,2/n)

 样本方差的分布 22)1(Sn

)1(2n 学习—————好资料

精品资料  样本均方差的分布

nSX)1(nt

五、参数估计 1．点估计 2．区间估计  临界值的概念

设X的分布函数为F，x满足1(){},01FxPXx，则

称x为F的临界值。 对称分布~(0,1)UN的临界值

学习—————好资料

精品资料 非对称分布22~(1)n的临界值

 区间估计 对于参数，如果有两个统计量),,,(ˆˆ2111nXXX,),,,(ˆˆ2122nXXX

，满足对给定的)1,0(，有 1}ˆˆ{21P

则称区间[1ˆ，2

ˆ]是的一个区间估

计或置信区间，1ˆ、2ˆ分别称作置信下限、置信上限，1称为置信水平。 学习—————好资料 精品资料 置信水平为1-，在实际上可以这样理解:如取%951，就是说若对某一参数取100个容量为n的样本，用相同方法做100个置信区间。[)(1ˆk，)(2ˆk]，

k=1,2,…,100,那么其中有95个区间包含了真参数．因此,当实际上只做一次区间估计时，我们有理由认为它包含了真参数。这样判断当然也可能犯错误，但犯错误的概率只有5%。

寻找置信区间的通常方法是从已知抽样分布的统计量，如上文提到的U，X和

T入手，由于分布和概率已知，只要确定临界值就可以了。

单个正态总体参数的区间估计 设nXXX,,,21为),(2N的样本，对给定的置信水平1，10，求 参数的区间估计。 情况1（2

已知）

由于)1,0(~/NnXU， 所以容易找到临界值2/U，使得





1}/{2/2/UnXUP，

那么的区间估计是：