第八章 数理统计基础 (《高等数学与经济数学》PPT课件)

X
,X
n
n
其中是标准正态分布的临界值，由 1 ，求出.
2
(2) 2未知，求的置信区间。
取统计量T X ~ T n 1,
Sn
的置信度为1的置信区间为
X
S ,X
n
S n
其中是Tn1分布的临界值，由T T n 1，求出；
2
(3) 未知，求 2的置信区间。
取统计量 2
n 1 S 2
µ2
1 3
X2
2 3
Xn
中，µ2 较
µ1 有效.
答案
2、在总体 N 43,62 中，随机取一个样本容量为 36 的样本.
求样本均值 X 服从什么样的分布并求 D 2X 的值. 答 案
3、对一组样本 9.0，8.8，9.1，9.3，8.9，9.2. 求该样本均值和方差.
答案
4、对于正态总体 X : N , 2 若已知 2，求 的置信
2、数理统计的基本任务是应用概率论的知识从局部推断 整体，从而揭示随机现象的统计规律性；基本思想是 从样本出发，对样本进行“加工”结合具体问题构造
“合
适”的统计量，并讨论它们的分布，再通过参数估计和假 设 3、检在验数等理统统计计推中断，方应法注对重总如体何作根出据判问断题。的性质，采用“合 理” 的统计推断方法，在进行相关的计算中，应注意U
(1)
提出原假设
H
，明确所要检验的对象。
0
(2) 构造合适的统计量 。
(3) 求出临界值，确定拒绝域。
(4) 根据样本观测值计算出统计量 的观察值，并作出判断
及合理的解释。
假设检验的关键是统计量的选取，现将正态总体的有关检验 问题及统计量的选取方法见表 8-1。
表 8-1 正态总体假设检验
原假设 选取条件 选用统计量 H0
在置信度为95%的条件下，试求总体方差 2的置信区间。
解 已知n 16， 0.05，于是有
x 1 (12.15 12.12 L 12.06) 12.075， 16
s2 1 [(12.15 12.075)2 (12.12 12.075)2 L (12.06 12.075)2 ] 15
0.00244，
(1)无偏性；(2)有效性。 4、区间估计的定义；置信区间的计算。 5、假设检验的原理、步骤及方法。
二、本章重点、难点内容
1、怎样进行区间估计。 2、怎样进行假设检验。
3、怎样构造合适的统计量。
三、对学习的几点建议
1、概率论是数理统计的基础，请读者一定要把基础打好， 在学习数理统计的过程中，及时复习相关的概率知识。
5
0.035.
返回
4、解： Q X : N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U : N 0，1.
返回
返回
3、小概率事件原理：通常概率很小的随机事件在一次 试验或观察中是几乎不发生的，若发生了则该事件 可能不是小概率事件.
返回
4、 是 0.90 置信区间的意思是：由样本 X1, X 2,L X n 所确 定的一个置信区间 1 X1, X 2 ,L X n ，2 X1, X 2,L X n 中
区间时应选用的统计量是什么? 它服从什么分布? 答案
1、设 X1, X 2 ,L X n 是来自总体 X 的一个样本，我们把随
机变量 X1，X 2，L ，X n 的函数称为样本函数，若样本函 数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含 未知参数的样本函数叫统计量.)
返回
2、是数理统计不仅能估计未知参数值，而且能由给定 的置信度确定出估计的精度.
7 9
1.96，即110.43,119.57
.
例2 用某种仪器间接测量温度，重复测量7次，测得温度 (单
位：C)分别为120.0，113.4，111.2，114.5，112.0，112.9，
113.6，设温度X ~ N ， 2 ，在置信度为95%的条件下，试
求出温度的真值所在范围。
分析：设为温度的真值，X 为测量值，在仪器无系统偏差情况 下，即EX 时，重复测量7次，得到X的7个样本值，问题就是 在未知方差(即仪器精度)的情况，求的置信区间。
统计量服从 的分布
在显著水平 α 下的拒绝域
假设: μ= μ0
2 已知 U X 0 n
2 未知
T X 0
sn
U ~ N(0,1) T ~ T(n 1)
(, U ) U (U , )
2
2
(,T (n 1)) U (T (n 1), )
2
2
假设：
2
2 0
未知
2 (n 1)s02
2 0
2 ~ 2 (n 1)
-分布；T -分布； 2 -分布；F -分布表的使用方法和临界
值的查取。
四、本章关键词
简单随机样本 统计量 参数估计 假设检验
(二) 常见问题分类及解法
一、区间估计中置信区间的求法
对于正态总体X ~ N , 2 .
(1)已知 2，求的置信区间。
取统计量U X ~ N 0,1,
n
的置信度为1的置信区间为
X
:
N
43，62 36
，即
X
:
N 43，1.
D2X 4D X 4.
返回
3、解： 该样本均值为：
X
1 6
6 i 1
Xi
1 9.0+8.8+9.1+9.3+8.9+9.2
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
(0,
2 1
(n
1))
U
(
2 1
(n
1),
)
2
2
例4 已知滚珠直径服从正态分布，现随机地从一批滚珠中抽取 6个，测得直径 (单位：mm) 为
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
解 已知n 7， 0.05，由样本观测值可求得
x 1 120.0 113.4 L 113.6 112.8,
7
s
1 7 1
7 i 1
xi
x
2
1 6
120.0
112.82
113.4
112.82
L
113.6
112.8
2
1.29 1.136 ，
对于P{| T | } 0.05，T ~ T 7 1 T 6，查表得: 2.447，
身高总体的标准差 7，在置信度为0.95的条件下，试求出总 体均值 的置信区间.
解 已知 7，n 9， 0.05，并根据给出数据可求出
x 1 115 120 L 110 115，
9
又有
1 0.975，查表得 1.96 .
2
从而的0.95的置信区间为
115
7 1.96，115 9
第八章 数 理 统 计 基 础 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、本章主要内容
1、几个基本概念：总体、样本、样本容量、样本观测值、 简单随机抽样、简单随机样本。
2、统计量的定义及其分布，几个常用的统计量。 3、参数估计的定义以及估计量的评选标准：
故拒绝接受原假设，即不能认为这批滚珠的平均直 径为15.25 mm.
(三) 思考题
1、理解统计量的概念.
答案
2、数理统计区别于一般的统计的是什么？
答案
3、假设检验的推断原理是什么？
答案
4、请解释“参数 的 0.90 置信区间”是什么意思? 答案
பைடு நூலகம் (四) 课堂练习题
1、证明均值 的两个无偏估计量 µ1 Xi i 1，2，L ，n
含 真值的可能性为 90%.
返回
1、解： 显然，E
µ1
E i ，E
µ2
E
1 3
X
2
2 3
X
n
.
又
Q
D
µ1
2，D
µ2
1 2 4 2 5 2.
99 9
有 D µ2 D µ1
µ2 较 µ1 有效.
返回
2、解： Q X : N 43，62 ，n 36.
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下：
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
于是 () 0.975，查表得 1.96，
故拒绝域为
I
,
0
n
U
0
n
,
(,15.07) U(15.43, ). 又有
x 1 (14.70 15.21L 15.32) 14.49 I， 6
2
~
2n1，
则 2的置信度为1的置信区间为