数理统计基础1 PPT课件

04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。

b}P{anpnnpbnp}
npq npq npq
(bnp)(anp)
npq
npq
-25-
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0. n ,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
-11-
二 随机变量的收敛性
定义1 设 X1,X2,,Xn, 为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的 0, 有
ln i P m X n a 1
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为 Xn Pa
定义2 设 X1, X2, ,为一列随机变量,X是随机变量
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 X为一随机变量, 其数学期望 E( X )和方差 D( X )
都存在，则对于任意 0, 有
PXE(X) 22
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
设 r.v (X ,Y) ，满足 EX 2 , EY 2 则有
E(XY)2 EX2EY2
-3-
贝努里（Bernoulli） 大数定律
n i1
Xi
b}P{ani1
Xi n bn
}
n
n
n
(bn)(an)
n
n
-20-

为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
2
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。 定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。 样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。 样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)

数理统计基础知识
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6.1.1 总体
§6.1 总体和随机样本
总体:研究对象的全部可能观察值叫做总体. 个体:组成全体的每个观察值叫做个体.
如:考察某校学生的身高
总体:该校的所有学生的身高 个体:每个学生的身高
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实际问题中，要研究的是有关对象的各种数量指标. 总体可以用一个随机变量及其分布来描述.
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由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必 须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
从一批产品中抽5件,检验产品是否合格.
数理统计基础知识
样本容量为5
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计基础知识
总体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 个体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 的一个取值
常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.
如：总体X或总体F X
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有限总体 总体
无限总体
1.考察某校大一新生（共2000人）的身高. 有限总体
2.观测某地每天最高气温. 无限总体 3.某厂生产的所有电视显像管的寿命. 无限总体

医药数理统计方法
01-04-13
地区
东部 南部 西部 中部
订单百 易碎品订
分比 单百分比
30
25
40
10
20
5
10
3
医药数理统计方法
01-04-14
课堂讨论题 某发报站分别以概率
0.6和0.4发出信号“*”和“–”，若通
讯系统受到种种干扰，当发出信号 “*”时，收报站分别以概率0.8和 0.2收到信号“*”和“–”；当发出信 号为“–”时，收报站分别以概率0.9 和0.1收到信号“–”和“*”。求收报 站收到信号“*”时，发报站确实发 出信号“*”的概率。
n
P(B) P(Ai)P(B|Ai) i1
医药数理统计方法
A3 A2
… B
A1
An
01-04-04
医药数理统计方法
01-04-05
例 有3个外形完全相同的袋子，在 第1个袋子中装有2个白球、1个红球； 在第2个袋子中装有3个白球、1个红 球；在第3个袋子中装有2个白球、2 个红球。先随机地挑选一个袋子，
医药数理统计方法
0.6 “*”
0.8 0.2
0.4 “–”
0.1 0.9
01-04-15
“*” “–”
医药数理统计方法
01-04-16
例 癌症的早期诊断、治疗是提高
疗效的关键。近年来，甲胎蛋白免 疫检测法（简称 AFP 法）被普遍应 用于肝癌的普查和诊断。
医药数理统计方法
01-04-17
设 A={肝癌患者}，B={AFP检验 结果为阳性}；且已知AFP检测方法 的真阳性率 P(B|A)=0.94，假阳性率 P(B| A )=0.04；在人群中肝癌的发病 率 P(A)=0.0004；今有一人 AFP 检测

.
19
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其中 m()是样本空间,m 的 (A)度 是量 构成事 A 件 的子区域的 )这度样量借助于几量 何来 上合 的理 度 规定的概率 几称 何为 概 . 率
对偶律: A B A B;
A B AB.
证明 对偶律.
.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
.
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
.
10
5.事件的互不相容(互斥):
若 AB,则A 称 与 B 是 互 不 ,或 相 互 容 ,即 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
A B
A
.
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且A B，则A称 与B互为逆事件

解 5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本 事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中 的基本事件总数)为5！。
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
16
例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)