[研究生入学考试]第六章数理统计基础

139第二篇 数 理 统 计第六章 数理统计的基本概念【数学1，3】2009考试内容 (本大纲为数学1，数学3需要根据大纲作部分增删)总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 2c 分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布考试要求1． 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211()1ni i S X X n ==--å 2． 了解2c 的分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解上侧a 分位数的概念并会查表计算。

3． 了解正态总体的常用抽样方法。

本章导读 3大分布8类枢轴量。

一、总体和样本实际工程中，常常需要检测产品的某一个（或多个）数量指标（如研究100瓦灯泡的寿命这一数量指标）。

需要检测产品的全体称为总体（如6000个100瓦的灯泡），一个灯泡的寿命检测数据记为X ；总体中的某一元素称为样品或个体（如一个100瓦灯泡）。

我们不可能把全部6000个灯泡都测试，所以，需要从总体（6000个灯泡）中随机抽取n 个（如取50n =）样品组成样本，称为抽样，n 称为样本容量，并把样本看成是n 个相互独立且具有完全相同分布的随机变量（ 以后简称 “独立同” ），记为()1250, ,, X X X L ，称为简单随即样本。

显然，如果测试还没开始，则()1250, ,, X X X L 就是一个50维随机变量，如果测试已经完成，则()1250, ,, X X X L 就对应有一组具体值()1250, ,, x x x L ，称为样本观察值，即样本值。

样本（12,,,n X X X …）每次测试的所有可能值的全体称样本空间，记为W ，一次测试所得的一组样本观察值()12, ,, n x x x L 是W 中的一个样本点，容量为n 的简单随机样本的数字特征及分布就代表了总体的特性，例如，研究50个灯泡的寿命就能代表6000个灯泡的寿命。

第6章数理统计的基本概念一、随机样本1．总体与个体在数理统计中，将试验的全部可能的观察值称为总体，每一个可能观察值称为个体．2．简单随机样本设X是具有分布函数F的随机变量，若是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本．3．样本值称样本的观察值为样本值，又称X的n个独立的观察值．4．统计量设是来自总体X的一个样本，是的函数，若g中不含未知参数，则称是一统计量．5．样本均值6．样本方差7．样本矩（1）样本k阶（原点）矩（2）样本k阶中心矩二、常用的三个分布1．分布（1）定义设是来自总体N（0，1）的样本，则称统计量服从自由度为n的分布，记为．（2）性质①分布的可加性设，并且，相互独立，则有②分布的数学期望和方差若，则有（3）分布的上侧分位数对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件的点称为分布的上侧α分位数．2．t分布（1）定义设X～N（0，1），，且X，Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为t～t（n）．t分布又称学生氏分布，t（n）分布的概率密度函数为（2）性质①h（t）的图形关于t＝0对称；②；③．（3）t分布的上侧分位数对于给定的α，0＜α＜1，满足条件的点称为t（n）分布的上侧α分位数．3．F分布（1）定义设，，且U，V相互独立，则称随机变量服从自由度为的F分布，记为．分布的概率密度为（2）性质①若，则；②．（3）F分布的上侧分位数对于给定的α，0＜α＜1，满足条件的点称为分布的上侧α分位数．三、正态总体的常用抽样分布1．定理一设是来自正态总体的样本，是样本均值，则有2．定理二设是来自总体的样本，，分别是样本均值和样本方差，则有：（1）；（2）与相互独立．3．定理三设是来自总体的样本，，分别是样本均值和样本方差，则有4．定理四设与分别是来自正态总体和的样本，且这两个样本相互独立．设，分别是这两个样本的样本均值，且分别是这两个样本的样本方差，则有：（1）；（2）当时，有其中。

第六章 数理统计的基本概念§6.1基本概念 §6.2样本数字特征一、填空题1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ； 2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； .3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ；4．设总体2(,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ；.5．设n X X X ,,21 ，是来自总体2(,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间222211()(),n n i i i i X X b a μμ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑的长度的数学期望为 。

.二、选择题1. 设(1,4)X N ，12,,n X X X ,为X 的样本，则（C ）（A ）1~(01)2X N -，； （B ）1~(01)4X N -，； （C~(01)N ，； （D~(01)N ，. 2．设12,,n X X X ,是总体X 的样本，则有（D ）（A ）()X E X =； （B ）()X E X ≈； （C ）1()X E X n=； （D ）以上三种都不对. 3．设总体(2,9)X N , 1210,,X X X ,是X 的样本，则（B ）（A ）(20,90)X N ； （B ）(2,0.9)X N ； （C ）(2,9)X N； （D ）(20,9)X N .4．设总体2(,)X N μσ , 其中μ已知, 1234,,X X X X ,是X 的样本，则不是统计量的是（C ） （A ）145X X +； （B ）41i i X μ=-∑； （C ）1X σ-； （D ）421i i X =∑.5．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数a u 满足{}a P X u α>=，若{||}P X x α<=，则x 等于（C ）（A ）2a u ； （B ）12a u-；（C ）12a u -； （D ）1a u -.6．设12,,n X X X ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则（C ）（A ）2222()E X S μσ-=-； （B ）2222()D X S μσ+=+； （C ）22()E X S μσ-=-； （D ）22()D X S μσ+=+.三、 计算题5. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体2(,)N μσ中的一个大小为4的样本，其中μ已知，但2σ未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？ （1）1234X X X X +++；（2）42211()ii Xμσ=-∑； （3）12max{,}X X ；（4）4X μ+； （5）141()2X X +； （6X . 其中4114i i X X ==∑.6. 12,,n X X X ，是取自正态总体2(,)N μσ中的一个样本，12, m U X X X =+++12 m m n V X X X ++=+++ ( )n m >.求,U V 的联合密度函数。

数理统计基本知识§6.1 总体与样本6.1.1 总体与个体在概率统计中，我们把对某个问题研究对象全体组成的集合称为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体，例如，某班的全体学生构成一个总体，则每个学生为个体。

在处理实际问题时，人们关心的不是总体中每个个体的特殊属性，而是表征总体状况的某一个或几个数量指标X 。

对于一个总体来说，它的每一个数量指标X 对于不同的个体其指标值可能是不同的，即就是说数量指标X 是一个随机变量（或随机向量），所以我们常常把研究对象的某一个数量指标X 的可能取值的全体组成的集合称为总体，而直接把总体与随机变量X 等同起来，说”总体X ”， X 的概率分布称为总体分布，X 的数字特征称为总体的数字特征。

6.1.2 样本要了解总体X 的分布规律，就必须从该总体中按一定法则抽取一部分个体进行观测或试验，以获得有关总体的信息，从总体中抽取有限个个体的过程称为抽样，所抽取的部分个体称为样本，样本中所含个体的数目称为样本的容量。

例如，为研究某批电视机的质量，通常把使用寿命X 作为体现质量特征的数量指标，为了解总体X 的概率分布情况，我们从这批电视机中抽样n 台进行观测或试验，第i 台电视机的使用寿命记为i X （,1=i …n ,）， 这样),,,(21n X X X 就是来自总体X 的一个容量为n 的样本，需要注意的是：由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取之前无法预知它们的数值，因此样本),,,(21n X X X 是一个n 维随机向量，在抽取以后，通过观测或试验得到一组数值，用),,,(21n x x x 表示，称为样本的观测值。

抽取样本的目的是为了对总体的特性作出估计与推断，为了能使样本很好地反映总体的特性，数理统计中常用的一种抽样方法是简单随机抽样，指的是对总体X 的n 抽样结果1X ,….n X 相互独立，且每个i X 与总体X 同分布，这样的样本称为简单随机样本。

考研数学数理统计基础知识点总结在准备考研数学的过程中，掌握数理统计基础知识是非常重要的。

本文将为您总结一些常见的数理统计基础知识点，帮助您更好地备考。

一、概率论基础知识1. 事件与样本空间：事件是指样本空间中的某个子集，样本空间则是指随机试验的所有可能结果的集合。

2. 概率的定义：概率是指事件发生的可能性大小，其取值范围在0到1之间。

3. 概率的运算：包括加法公式和乘法公式。

加法公式适用于互斥事件的概率计算，乘法公式则适用于独立事件的概率计算。

4. 条件概率：指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

5. 贝叶斯定理：用于计算事件的后验概率，在已经得到一些信息的情况下，通过先验概率和条件概率计算出事件的后验概率。

二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念：随机变量是指随机试验结果的某个函数，可以是离散的或连续的。

2. 概率质量函数与概率密度函数：对于离散型随机变量，其概率可以通过概率质量函数来描述；对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数。

3. 常见的离散型随机变量：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

4. 常见的连续型随机变量：包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

三、统计推断1. 抽样与抽样分布：抽样是指从总体中选取一部分个体进行研究，抽样分布则是指统计量在大量抽样下的分布情况。

2. 参数估计：根据样本数据对总体的某个参数进行估计，可以使用点估计和区间估计两种方法。

3. 假设检验：对总体参数的某个假设进行检验，包括设置原假设和备择假设，以及计算检验统计量和判断拒绝域。

4. 方差分析：一种用于比较两个或多个总体均值是否有显著差异的统计方法，适用于独立样本、配对样本和重复测量样本。

四、相关与回归分析1. 相关分析：用于判断两个变量之间的相关性强弱，包括计算相关系数和进行假设检验。

2. 简单线性回归分析：用于建立一个自变量与因变量之间的线性关系模型，通过最小二乘法来估计回归系数。

3. 多元线性回归分析：在简单线性回归的基础上，将多个自变量引入回归模型中进行分析，以探究多个变量对因变量的影响。