当前位置：文档之家 › 数理统计的基础知识

数理统计的基础知识

  • 格式：doc
  • 大小：1.04 MB
  • 文档页数：15

下载文档原格式

  / 15

合集下载

数理统计的基础知识

数理统计的基础知识
样本值：( x1 , x2 , , xn ) =（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）
样本容量：=10
1 10 1 (2)x xi (100+85+&&+86)=78.1 10 i 1 10
n 1 1 * 2 2 2 s ( x x ) [21.9 6.9 i n 1 i 1 9
1. 定义 设 1 ,
称为自由度为n的 分布.
2. 临界值表的结构和使用 设 ~ 2(n)，若对于： 0<<1，
存在
则称
2
0 满足 2 2 P{ } , 为 2 (n) 分布的上分位点。
2
( ; n)
2 2
例16.3 给定=0.05,自由度n=25,求 满足下面等式的临界值:
2 *2
1 x,1 x 0, 解：分布密度为 p( x) 1 x,0 x 1, 0, 其它
则 E x(1 x)dx x(1 x)dx 0
1 0
0
1
1 D x (1 x )dx x (1 x )dx 1 0 6
(4) F 统计量及其分布
总体 ~ N （1， 12），（1， 2， ... n1 )为样本， ,S
*2 1
1 2 ( ) i n1 1 i 1
2 2
n1
总体 ~ N （2， ），（1， 2， ... n2 )为样本， , S 2*2 1 n2 2 ( ) i n2 1 i 1
(1) P{F 2 } (2) P{F 1}
解 (1)2 F ( ; n1, n2 ) F (0.1;10,5) 3.3

根据数理统计知识点归纳总结(精华版)

根据数理统计知识点归纳总结(精华版)

根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。

2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。

通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。

以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。

如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。

数理统计的基础知识

数理统计的基础知识

第4章数理统计的基础知识数理统计与概率论是两个有密切联系的学科, 它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计。

数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。

本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布。

由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。

但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资料。

数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.§4.1 总体与样本一、 总体与总体分布1.总体：具有一定的共同属性的研究对象全体。

总体中每个对象或成员称为个体。

研究某批灯泡的质量，该批灯泡寿命的全体就是总体；考察国产 轿车的质量，所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体；某高校学习“高等数学”的全体一年级学生。

个体与总体的关系，即集合中元素与集合之间的关系。

统计学中关心的不是每个个体的所有具体特性，而是它的某一项或某几项数量指标。

某高校一年级学生“高等数学”的期末考试成绩。

对于选定的数量指标 X （可以是向量）而言，每个个体所取的值是不同的，这一数量指标X 就是一个随机变量（或向量）；X 的概率分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况。

数学概率论与数理统计的基础知识

数学概率论与数理统计的基础知识

数学概率论与数理统计的基础知识概率论和数理统计是数学中的重要分支，它们研究了随机事件的发生规律以及通过对数据进行统计分析来了解事物的规律性。

本文将介绍数学概率论与数理统计的基础知识，帮助读者了解这两个领域的重要概念和方法。

一、概率论的基础知识1. 随机试验和样本空间随机试验是在相同条件下具有不确定性的实验，其结果不能事先预知。

样本空间是随机试验所有可能结果的集合。

2. 事件和概率事件是样本空间的子集，表示一些感兴趣的结果。

概率是事件发生的可能性大小的度量，介于0和1之间。

3. 古典概型古典概型是指具有有限样本空间且样本点等可能出现的随机试验。

在古典概型中，事件的概率可以通过样本点的数目来计算。

4. 条件概率条件概率是指事件B在另一个事件A已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)。

条件概率的计算可以使用“乘法规则”。

5. 独立事件事件A和B称为独立事件，如果事件A的发生不会对事件B的发生产生影响。

独立事件的概率计算可以使用“乘法规则”。

二、数理统计的基础知识1. 总体和样本总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分个体。

统计学中，我们通常通过对样本的统计分析来推断总体的特征。

2. 随机变量和概率分布随机变量是取值具有随机性的变量，可以是离散的或连续的。

概率分布描述了随机变量各个取值的概率。

3. 参数和统计量参数是总体的特征指标，统计量是样本的特征指标。

通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计。

4. 抽样分布和中心极限定理抽样分布是指统计量的分布，它反映了统计量的随机性。

中心极限定理表明，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

5. 置信区间和假设检验置信区间用于对总体参数进行估计，假设检验用于对总体参数的假设进行推断。

通过置信区间和假设检验，我们可以对统计结论进行推断和验证。

三、应用案例概率论和数理统计在各个领域都有广泛的应用。

例如，金融领域中的风险评估和投资决策，医学领域中的临床试验和流行病学研究，工程领域中的质量控制和可靠性分析等等。

数理统计基础知识

数理统计基础知识

多元线性回归分析
01
02
03
多元线性回归分析是研究多个自 变量与一个因变量之间线性关系 的回归分析方法。
多元线性回归模型可以表示为： y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+ε ，其中β0,β1,...,βk为模型参数， ε为随机误差项。
多元线性回归分析的步骤与一元 线性回归分析类似，但需要考虑 多个自变量的影响以及自变量之 间的相关性问题。
02 概率论基础知识
概率的定义与性质
概率的直观定义
01
描述某一事件发生的可能性大小的数值。
概率的性质
02
非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）、可加性（互
斥事件的概率之和等于它们并事件的概率）。
古典概型与几何概型
03
古典概型中每个样本点等可能出现，几何概型中样本点连续且
等可能分布。
条件概率与独立性
通过对样本进行重复抽样，生成大量自助样本，然后基于自助样本 得到参数的置信区间。
估计量的评价标准
无偏性
估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次抽样下的平均 值等于总体参数真值。
有效性
对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差更小的估计量更有效。
一致性
随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近总体参数真值。
F检验
用于检验两个正态总体方差是否存在显著差异。
非参数假设检验
符号检验
用于检验两个相关样本的中位数是否存在显 著差异。
秩和检验
用于检验两个独立样本的中位数是否存在显 著差异。
游程检验
用于检验两个相关样本的分布是否存在显著 差异。
06 方差分析与回归分析

数理统计基本知识

数理统计基本知识

2 (5), Y
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
P{ (n)}
2 2
2 2 ( n ) 的点 为分布 (n) 的上分位点.


( n)
2
f ( y)dy
19
•当n充分大(>45)时,有
2
1 ( z 2n 1 ) 2 2

i 1
n
X i 2 等均
1 ( X 1 X 2 ) 等都不是统计 2 Xi i 1 2 量，因为它们含有未知参数 ,
为统计量，而
1
n
2
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的
随机变量．
10
几个常用的统计量 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X
的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
§6.2
抽样分布
一、统计量 样本是进行统计推断的依据.但在应
用时,往往不是直接使用是样本本身,而是针对不同 的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进 行统计推断. 定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任 何未知参数，则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
n 11
0
18
y


2 分布的可加性 设 12 ~ 2 (n1 ), 2 ~ 2 (n2 ) 2 2 2 2 2 且 1 与 2相互独立,则有 1 2 ~ ( n1 n2 )
分布的数学期望和方差
例： X

U ( 0, 4), 则 E ( X Y ) _____ D( X Y ) _____ . 分布的分位点 对于给定正数 (0<<1), 称满足

数理统计主要知识点

数理统计主要知识点

数理统计主要知识点数理统计是统计学的重要分支，旨在通过对概率论和数学方法的研究和应用，解决实际问题上的不确定性和随机性。

本文将介绍数理统计中的主要知识点，包括概率分布、参数估计、假设检验和回归分析。

一、概率分布概率分布是数理统计的基础。

它描述了一个随机变量所有可能的取值及其对应的概率。

常见的概率分布包括：1. 均匀分布：假设一个随机变量在某一区间内取值的概率是相等的，则该随机变量服从均匀分布。

2. 正态分布：正态分布是最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有均值和标准差两个参数。

3. 泊松分布：泊松分布描述了在一定时间内发生某个事件的次数的概率分布，例如在一天内发生交通事故的次数。

4. 二项分布：二项分布描述了进行一系列独立实验，每次实验成功的概率为p时，实验成功的次数在n次内取特定值的概率。

二、参数估计参数估计是根据样本数据来推断随机变量的参数值。

常见的参数估计方法包括：1. 最大似然估计：假设数据服从某种分布，最大似然估计方法寻找最能“解释”数据的那个分布，计算出分布的参数值。

2. 矩估计：矩估计方法利用样本矩来估计分布的参数值，例如用样本均值估计正态分布的均值，样本方差估计正态分布的方差。

三、假设检验假设检验是为了判断一个统计假设是否成立而进行的一种统计方法。

它包括假设、检验统计量和显著性水平三个重要概念。

1. 假设：假设指的是要进行验证的观察结果，分为零假设和备择假设两种。

2. 检验统计量：检验统计量是为了检验零假设而构造的统计量，其值代表目标样本符合零假设的程度。

3. 显著性水平：显著性水平是用来决定是否拒绝零假设的标准，通常为0.01或0.05。

四、回归分析回归分析是用来研究和描述两个或多个变量之间关系的统计方法。

它可以帮助人们了解因果关系，做出预测和控制因素的效果。

1. 简单线性回归：简单线性回归是一种简单的回归分析方法，它描述一个因变量和一个自变量之间的线性关系。

2. 多元线性回归：多元线性回归描述多个自变量和一个因变量之间的关系，通过多元回归模型可以找到最佳的回归系数，从而用来预测未来的结果。

4-1数理统计的基础知识

4-1数理统计的基础知识

T6
1 2
(
X
2 1
X
2 2
X
2 3
).
不是
2. 常用统计量
设( X1, X2 , , Xn它)反是映来了自总总体体均值X的一个样本, ( x1, x2 , , xn )是这一样 的信本息的样本值.
(1)样本平均值
1 n
X n i1 Xi ;
其观察它的值反信映息了x 总 体n1 方in1差xi .
数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐
述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计
推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以 有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, 带有 随机性的数据资料,对所考察问题的统计规律性尽可 能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决 策和行动提供依据和建议.
n维r.v.(抽样具有随机性）
样本容量：样本中所含的个体的数目n.
样本值：样本的一次观察值或实现值 ( x1, x2 , xn ).
(2) 简单随机样本 1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体X 有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 注：以后所考虑的样本均为简单随机样本， 并简称为样本.
样本矩具有下列性质:
性质 设总体X的期望E( X ) ,方差D( X ) 2 ,
( X1, X2 , , Xn )为来自总体X的样本,则有 :
(1) E( X ) ;
(2)
D( X )
1 n
2;
(3)
E( S02 )
n1 n

数理统计的基本知识

数理统计的基本知识

• 这些观测值仍分别称为样本均值，样本方差，样本标准差，样本k阶原 点矩，样本k阶中心矩。 记作 k 存在，则当n→∞时 • 我们指出，若总体X的k阶原点距 E ( X k ) ， p A k , k 1,2,... k • • 即：样本的k阶原点距依概率收敛于总体的k阶原点距。 • 事实上，由于Ｘ１，Ｘ２，．．．，Ｘｎ相互独立，且与X同分布，故 X1k，X2k，...，Xnk相互独立，且与Xk同分布，故有 • E（X1k）=E（X2k）=E（Xnk）=μk，k=1,2,... • 由第五章的辛钦大数定律知
二· 常用的统计量
• 样本均值
• 样本方差 • 样本标准差
1 n X Xi n i 1 2 n n 2 2 1 1 2 S ( Xi nX ) (Xi X ) n 1 i 1 n 1 i 1 S S2 1 n 2 (Xi X ) n 1 i 1
F (n , n ) f ( x)dx 1 2
• 的点Fɑ（n1，n2）为F（n1，n2）分布的上ɑ分位点 。 • 如图
f（x）
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
ɑ
x
0.5 1 1.5
1 • F分布的上分位点具有如下性质：F1 (n1, n2 ) F (n2 , n1 )

如果总体Ｘ的分布函数为Ｆ（ｘ），则样本Ｘ１，Ｘ２，...Ｘｎ的联合分布函数为 F*(x1,x2,...xn)=F(x1)F(x2)· · · F(xn)= n 如果总体X是离散型随机变量，且概率密度为 F ( xi ) P{X=xi}，i=1,2,... i 1 则样本Ｘ１，Ｘ２，...Ｘｎ的联合概率密度为 P*{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}· · · P{Xn=xn}=

01第一章 数理统计的基础知识

01第一章 数理统计的基础知识

为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
2
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。 定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。 样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。 样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)

第五章 数理统计基础知识

第五章 数理统计基础知识

（3）对360个零售商店调查零售额（单位：元）的结果 如下：
商店数 零售额
61 135
110
42
12
1000 (1000 ,5000 ] (5000 ,10000 ] (10000 ,20000 ] (20000 ,30000 ]
这是一个容量为360的样本的观察值，对应的总体是所 有零售店的周零售额.不过这里没有给出每一个样品的观 察值，而是给出了样本观察值所在的区间，称为分组样本 的观察值.
这便是一个容量为30的样本观察值，其样本均值为：
x

1 (156 30

134





161

151)

153.5
它反映了该厂工人周工资的一般水平.
例3(分组样本均值的近似计算）如果在例2中收集
得到的样本观察值用分组样本形式给出（见下表)，
此时样本均值可用下面方法近 似计算：以 xi ，表示
第 i 个组的组中值(即区间的中点），ni 为第 i 组的频
（2）对某型号的20辆汽车记录每加仑汽油各自行驶的 里和数（单位：公里）如下：
29.8 27.6 28.3 28.7 27.9 30.1 29.9 28.0 28.7 27.9 28.5 29.5 27.2 26.9 28.4 27.8 28.0 30.0 29.6 29.1
这是一个容量为20的样本的观察值，对应的总体是该 型号汽车每加仑汽油行驶的里程.
即下表所示.
X
0
1
P
1 p p
其中 X 是一个随机变量，表示抽查一台彩电的质量后 所得到的不合格数，X 0 表示该彩电合格，X 1 表示该 彩电不合格.不同厂家的总体间的差异就体现在不同的 p 上.

第五章数理统计的基础知识

第五章数理统计的基础知识

第五章数理统计的基础知识在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。

知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。

在概率论的许多问题中,概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性,即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。

但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。

例如:1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。

2、检测一批灯泡是否合格,则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0—1）分布,但其中的参数p 未知。

对这类问题要深入研究,就必须知道与之相应的分布或分布中的参数.数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数.数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。

数理统计研究的内容非常广泛,可分为两大类：一是:怎样有效地收集、整理有限的数据资料.二是:怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。

第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。

总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系。

在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X .例如：研究一批灯泡的平均寿命时,该批灯泡的全体构成了研究的总体,其中每个灯泡就是个体.但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X 表示该批灯泡的寿命）。

数学的数理统计学

数学的数理统计学

数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。

它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。

本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。

一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。

总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。

随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。

二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。

常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。

而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。

集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。

三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。

概率分布则用于描述随机变量的取值规律。

常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。

正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。

二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。

四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。

参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。

假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。

五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。

简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。

相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。

六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。

在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。

在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。

数理统计知识点

数理统计知识点

数理统计知识点数理统计是一门研究如何从数据中提取有用信息并做出推断的学科。

它不仅在科学研究、工业生产中具有重要应用，也经常被普通人用来分析数据和做出决策。

以下是一些数理统计中常见的知识点。

1. 总体与样本在数理统计中，我们通常关注的是一个特定的总体，总体是我们要研究或分析的对象。

由于总体往往很大，很难对其所有个体进行观察或测量，因此我们从总体中选取一部分称为样本进行研究。

样本是总体的一个子集，通过对样本的研究，我们可以对总体做出推断。

2. 数据类型在数理统计中，数据可以分为两种类型：定量数据和定性数据。

定量数据是可量化的，可以用数字表示，如身高、体重等。

而定性数据则是描述性的，不能用数字表示，如性别、颜色等。

根据数据类型的不同，我们可以采用不同的统计方法进行分析。

3. 描述统计描述统计是数理统计的一项重要工作，它旨在通过对数据进行整理、汇总和可视化，直观地揭示数据的特征和规律。

常见的描述统计方法包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。

通过描述统计，我们可以对数据的分布、集中趋势和离散程度有一个初步的了解。

4. 参数统计与非参数统计在进行统计推断时，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计。

参数统计是基于总体分布形态的方法，如正态分布、泊松分布等，通过对样本数据的分析，来推断总体参数的值。

非参数统计则是不对总体分布形态做出任何假设，通过对样本数据的分析，得出推断结果。

5. 假设检验假设检验是数理统计中的一项重要内容，它用于判断样本数据是否支持某个假设。

在假设检验中，我们首先提出原假设和备择假设，然后通过对样本数据的分析，得出是否拒绝原假设的结论。

假设检验可以帮助我们做出科学的决策，并保证决策的可靠性。

6. 回归分析回归分析是数理统计中一种常用的方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。

通过回归分析，我们可以建立数学模型，预测因变量对自变量的影响。

回归分析不仅可以用于预测和控制，还可以用于发现变量间的关联和趋势。

数理统计的基础知识

数理统计的基础知识

解 查 0 . 表 0,m 2 2 , 5 n 4 1 5 2 2.70 附表4-1
P F 1 0 .0 2 P5 F10.975表中无法查出.
由 F<1
PF1
1
1
0.025,
1 F
~
F15,24
查 12 .140 . 表 0 40, .4m 2 1 1 , 5 n 5 2 4 11 2.44
则称(X 1 ,X 2 , 为,简X n 单)随机样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形,今后,当说到“X1,X2,…,Xn
是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.
10若X总体是连r续 .v.概 型率密度f为(x)
样(X 本 1,X 2, ,X n)的概率密度为
f ( x 1 , x 2 , , x n ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
统计推断需要借助于样本.因此，对样本就很有讲究. 为此，我们必须对样本的抽取提出某些要求.要求的方式 很多，但在数学处理上比较方便，实际抽样中也比较 容 易办到的是满足下列条件的样本:
若总体 X 的样本(X 1 ,X 2 , 满,X 足n :)
1. 代表性：X1,X2, ,Xn与 X有相同的分布 2. 独立性：X 1,X2, ,Xn相互 . 独立
2. 常用的统计量－－样本的数字特征
1) 样本均值 2) 样本方差
X
1 n
n i1
Xi
S2n11 i n1(Xi X)2n11in1Xi2nX2
3)样本标准差
S
1 n
n1i1(Xi
X)2
4)样本的k阶原点矩 Akn 1i n1Xik
k1,2, .
5)样本的k阶中心矩 B kn 1i n1(XiX)k

数理统计知识点总结(总22页)

数理统计知识点总结(总22页)

数理统计知识点总结(总22页)一、基本概念1、统计学：统计学是一门研究人群或事物特性及变化规律的学科，是应用数理统计方法研究某种规律的学科，是整理、综合和分析统计资料的学科。

2、统计资料：统计资料是从实际中收集的有关统计对象的数据，也可以称为实验资料。

3、变量：历史的发展过程中，统计中的变量可分为定量变量和定性变量。

前者是指可以用数字表示的变量，又被称为被观察变量或解释变量；后者多由文字描述，不能量化，又被称为因变量或行为变量。

4、分类变量：又称为分类统计数据，是指按照一定的范围将变量等分，主要用于描述变量的构成状况。

5、样本：样本是用于做统计分析的一部分数据，它按照一定的要求从某种群体中抽取出来，它是统计资料的简写总结。

样本本身并非具有代表性，但在发现规律方面与总体相比，它有许多独特的优势。

二、数理统计方法1、数据描述：数据描述是指用定量和定性的方式把统计对象描述出来，也就是用汇总统计和分类统计的方法研究统计资料的特征。

2、分布类型：经过研究的统计资料各变量的分布可分为三种基本形式：正态分布、对数分布和正玄分布。

3、抽样技术：抽样是指在随机或不完全随机的情况下，从一个总体中抽出一定数量的抽样单位，用它们反映整体的一般特性的科学方法。

4、统计推断：统计推断是指借助于统计技术去评价样本资料与总体资料之间的联系，并借以判断在一定概率水平上总体参数的取值情况，并对总体参数做出推断。

5、回归分析：回归分析是利用统计方法，探索两个或多个变量之间存在的关系，及掌握这种关系的参数。

三、统计推断1、假设检验：假设检验是统计推断的基本方法，是统计方法求出的取值所处位置在参数特定范围内的概率，通常用统计量在假设下把允许的概率建模出来。

2、置信区间：置信区间是统计学中定量评价事物变化范围的一种分析方法，其作用是加以比较研究结果，以及让相应的概率参数可以被确定的概率范围的压缩，使数据更有说服力。

3、方差分析：方差分析是检验研究变量之间是否存在显著的差异性的统计分析方法，其研究的是变量的变异程度。

数理统计相关知识汇总

数理统计相关知识汇总

数理统计相关知识汇总数理统计是应用概率论和数学方法来研究数据的收集、分析、解释和预测的一门学科。

它广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、医学、经济学等，并在决策、规划和控制等方面发挥重要作用。

以下是数理统计相关的一些基本概念和方法。

1.数据收集与描述数据收集是数理统计的第一步。

可以通过统计调查、实验、抽样等方法来获取数据。

描述统计是对收集到的数据进行总结和展示的过程，一般包括以下几个方面：-资料整理：整理数据，包括删除错误或无效的数据，填补缺失值等。

-描述性统计：计算和描述数据的中心趋势（如均值、中位数、众数）和离散程度（如范围、方差、标准差）。

-分布特征：观察数据的分布情况，例如直方图、箱线图等。

2.概率基础概率是数理统计的理论基础，用于描述事件发生的可能性。

概率论包括以下几个重要概念：-随机试验：具有多个结果可能的试验，每个结果的发生概率是已知的。

-样本空间和事件：样本空间是随机试验所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集。

-概率的公理：概率遵循一些基本公理，如非负性、规范性、可列可加性等。

-条件概率和独立性：条件概率描述在已知一些事件发生的条件下，其他事件发生的概率。

独立事件是指两个事件的发生不相互影响。

-随机变量和概率分布：随机变量是根据试验结果取值的变量，概率分布描述随机变量取每个可能值的概率。

3.统计推断统计推断是基于样本数据对总体的推断。

主要包括参数估计和假设检验两个方面：-参数估计：根据样本数据推断总体参数的值。

常用的参数估计方法有点估计和区间估计。

点估计通过一个样本统计量来估计总体参数，如样本均值估计总体均值；区间估计给出总体参数估计值的一个范围，如置信区间。

-假设检验：根据样本数据对关于总体的一些假设进行推断。

假设检验常包括原假设和备择假设，通过计算样本统计量的观察值与假设下的期望值之间的差异来判断假设的合理性，从而做出接受或拒绝原假设的决策。

4.回归分析回归分析用于探索自变量和因变量之间的关系。

概率论和数理统计数理统计的基本知识

概率论和数理统计数理统计的基本知识

3/11/2021
〖定义〗 设总体X的 n个独立观测值为x1,x2,…,xn, 将它们从小到大
排序后为x1*,x2 *,…,xn *, 令
0,
Fn
(
x)
k n
,
1,
x x1*
x
* k
x
x* k 1
xn* x
称Fn(x)为总体X 的经验分布函数. （也称为样本分布函数）
① 0 Fn( x) 1 ② 单调不减； ③ 处处右连续.
n
P( X xi )
i 1
8
3/11/2021
例1 已知总体X ~（）分布，写出样本 (X1, X2,…, Xn)的分布律。
析：
X的分布律 P{ X k} k e ,
k!
可以写成 P{ X x} x e ,
x!
k 0,1,2, x 0,1,2,
样本 (X1, X2,…, Xn)的分布律
5
3/11/2021
❖3、样本
➢从总体X中随机抽取n个个体X1,X2,Xn所组成的一个个体 组（X1,X2,,Xn），称为总体X的一个样本，个体的数目n
称为样本容量。
➢ 通过试验对样本(X1,X2,,Xn)进行观测，得到的n个确定的 实验数据(x1,x2,,xn)，称为样本(X1,X2,,Xn)的一个观察值，
(X1 ,X2,…Xn1), (Y1 ,Y2,…Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则
3/11/2021
1> 当12= 22时
(X Y ) ( 1 2)
S
11 n1 n2
~
t(n1 n2 2)
其中S 2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第五章数理统计的基础知识在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。

知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。

在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。

但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。

例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。

2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1）分布，但其中的参数p未知。

对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。

数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。

数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。

数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类：一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。

二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。

第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。

总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系.在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。

例如：研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。

但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X表示该批灯泡的寿命）。

则X就是我们研究的总体（所有灯泡寿命的集合），每一个灯泡的寿命就是一个个体。

再如：考查某一群体的身高和体重，则全体人员的（身高、体重）是总体，每个人的身高和体重是个体。

由此给出定义：总体：对所研究对象的某些指标进行试验，将试验的全部可能的观测值称为总体记为X。

个体：每一个可能的观测值称为个体。

对不同的个体，X的取值一般是不同的。

例如在试验中观察若干个个体就会得到X的一种数值，但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以X是一个随机变量或随机向量，而X的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。

为方便起见，以后我们将X的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称随机变量X为总体，X的分布也就是总体的分布。

例如：正态总体：是指表示总体某个数量指标的随机变量服从正态分布。

【注1】总体的分布一般情况下是未知的，这就需要利用总体中部分个体的数据资料来对总体服从的分布进行检验—这是分布拟合检验（非参数检验）问题；有时即使知道总体所服从的分布，但分布中的参数未知，这也需利用利用总体中部分个体的数据资料来对总体服从的分布中的未知参数进行统计推断（参数估计）。

而这就需要从总体中抽取若干个体进行观察，从中获得研究总体的一些观察数据，然后通过这些数据的统计分析，对总体的分布进行判断或对总体的参数做出合理的估计。

而一般的方法是按照一定的原则从总体中抽取若干个体进行观察，这个过程称为随机抽样。

二、样本与样本的分布由于每个个体的观察结果具有随机性，因此可以将第i 次抽取的个体记为i X ，则为随机变量，为此引入以下概念。

1、样本：从一个总体X 中，随机的抽出n 个个体12,,,n X X X L ，通常记为),,,(21n X X X 这样取得的12,,,n X X X L 称为总体X 的一个样本。

样本所含的个体数目称为样本容量.【注2】：（1）由于每个i X 都是从总体X 中随机抽出的，因此是一个随机变量，而样本),,,(21n X X X 就是n 维的随机向量。

（2）在依次取n 个个体12,,,n X X X L 观测完毕后，得到n 个具体的数据),,,(21n x x x ，称为样本),,,(21n X X X 的观测值—样本值。

因此样本本身是随机向量，而一经抽取就是一组确定的数值，这就是所谓的样本两重性。

2、简单随机样本我们的目的是根据从总体中抽取的一个样本值),,,(21n x x x 对总体X 的分布或某些特征进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本),,,(21n X X X 满足：（1）具有代表性。

即样本的每个分量X i 与总体X 有相同的分布；（2）具有独立性。

即12,,,n X X X L 是相互独立的随机变量，也就是说，n 次观察值之间是互相独立的；满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单随机样本。

在实际问题中，抽取简单随机样本的方法很简单：（1）放回抽样；（2）不放回抽样：有限总体，当样本容量远小于总体容量时，不放回近似代替放回； 无限总体，总是用不放回抽样.综合上述，给出明确的数学概念：定义一：一个随机变量X 或其相应的分布函数（分布律、密度函数）称为一个总体。

定义二：若随机向量12,,,n X X X L 是相互独立的随机变量且每个分量X i 与总体X 有相同的分布，则称12,,,n X X X L 是来自总体的容量为n 的简单随机样本。

简单随机样本的分布有如下性质：设总体X 的分布函数为()F x (称为总体分布函数)，或密度函数()f x 或分布律（称为总体概率密度），则来自总体的样本),,,(21n X X X 的 联合分布函数：121(,...)()nn ii F x x x F x，称为样本分布函数联合密度函数：121(,...)()nn ii f x x x f x，称为连续样本密度函数联合分布律：1211221(,,)(,...)()nn n n ii p x x x P X x X x X x P X x L ，称为离散样本密度【例1】 总体X 服从参数为p 的（0-1）分布，{1},{0}1P X p P X p ,求),,,(21n X X X 的分布。

【解】由题意X 的分布律为1{}(1),(0,1)xxP X x p p x ，设12(,,,)n x x x L 为来自X 的简单随机样本值，则),,,(21n X X X 的联合概率分布为【例2】总体X 服从2(,)N ，求样本),,,(21n X X X 的联合密度函数.【解】设12(,,,)n x x x L 为来自X 的简单随机样本值，则),,,(21n X X X 的联合概率分布为221221111(,,,)()]exp{()}22nnn i n ii i x f x x x x L 三、统计推断问题简述总体和样本是数理统计中的两个基本概念. 样本来自总体，自然带有总体的信息，从而可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）. 另一方面，由样本研究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）. 我们称通过总体X 的一个样本n X X X ,,,21 对总体X 的分布进行推断的问题为统计推断问题.总体、样本、样本值的关系:总体↙ ↖推断（个体）样本 → 样本值抽样在实际应用中, 总体的分布一般是未知的, 或虽然知道总体分布所属的类型, 但其中包含着未知参数. 统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断.通过观察或试验得到的样本值，一般是杂乱无章的，例如： 例1样本的一些例子与观察值的表示方法:(1) 某食品厂用自动装罐机生产净重为345克的午餐肉罐头, 由于随机性, 每个罐头的净重都有差别. 现在从生产线上随机抽取10个罐头, 秤其净重, 得如下结果:344 336 345 342 340 338 344 343 344 343这是一个容量为10的样本的观察值, 它是来自该生产线罐头净重这一总体的一个样本的观察值.(2) 对363个零售商店调查周售额(单位:元)的结果如下:这是一个容量为363的样本的观察值, 对应的总体是所有零售店的周零售额. 不过这里没有给出每一个样本的具体的观察值, 而是给出了样本观察值所在的区间, 称为分组样本的观察值.这样一来当然会损失一些信息, 但是在样本量较大时, 这种经过整理的数据更能使人们对总体有一个大致的印象.通过该例可以看出，以上的两种样本值的表示方法，虽然能够反应出总体的一些大致的信息，但不够直观，判断不出总体服从什么分布。

为了对总体的分布有一个大致的判断，就需要对所获得的样本值进行整理，而分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法.四、分组数据统计表和频率直方图1. 分组数据表：若样本值较多时，可将其分成若干组，分组的区间长度一般取成相等, 称区间的长度为组距. 分组的组数应与样本容量相适应. 分组太少，则难以反映出分布的特征，若分组太多，则由于样本取值的随机性而使分布显得杂乱. 因此，分组时，确定分组数（或组距）应以突出分布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则. 区间所含的样本值个数称为该区间的组频数. 组频数与总的样本容量之比称为组频率.2. 频数直方图：设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，又设总体具有概率密度f ，如何用样本来推断f ？注意到现在的样本是一组实数，因此，一个直观的办法是将实轴划分为若干小区间，记下诸观察值i X 落在每个小区间中的个数，根据大数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体在每一小区间上的密度。

具体做法如下： 设n x x x ,,,21 是样本的n 个观察值.(i) 求出n x x x ,,,21 中的最小者)1(x 和最大者)(n x ；(ii) 选取常数a （略小于)1(x ）和b （略大于)(n x ），并将区间],[b a 等分成m 个小区间（一般取m 使nm 在101左右）： mab t m i t t t i i,,,2,1),,[ , 一般情况下，小区间不包括右端点.(iii) 求出组频数i n ，组频率i i f nn，以及(iv) 在),[t t t i i 上以i h 为高，t 为宽作小矩形，其面积恰为i f ，所有小矩形合在一起就构成了频率直方图频率直方图能够大体刻画总体的分布情况。

实际上，我们就是用直方图对应的分段函数来近似总体的密度函数)(x f ．这样做为什么合理？我们引进“随机变量”，对每个小区间],(1j j t t ，定义则i Y 是独立同分布于两点分布：其中1{(,)}i j j p P X t t ，由大数定律，我们有以概率为１成立，于是当n 充分大时，就可用j f 来近似代替上式右边以)(x f ( x ],(1j j t t )为曲边的曲边梯形的面积，而且若m 充分大，j t 较小时，我们就可用小矩形的高度j j n t f x /)(来近似取代],(),(1j j t t x x f .课本例4 ：根据频率直方图可见，该零件的质量服从正态分布，其数学期望大约为209，这可通过第七章的分布拟合进行检验。