当前位置：文档之家 › 合情推理重在“合情合理”

合情推理重在“合情合理”

  • 格式：doc
  • 大小：103.00 KB
  • 文档页数：4

1
合情推理重在“合情合理”
山东省实验中学（东校） 250109 张蕴禄
1.引言
直觉思维能力与逻辑思维能力都是相当重要的.新课改以前，我们将绝大多数精力放在了学生的逻辑思
维能力的培养上，进而忽视了直觉思维能力的培养.1999年笔者撰写了《能否少问学生几个‘为什么’》（见
文［1］）.文章指出由于老师问了学生太多的“为什么”而抑制了学生思维的“跨越”从而不利于学生直觉
思维能力的培养.因为有一些猜测、猜想是“只可意会，不可言传”的，要说明为什么有时是非常困难的，
甚至是讲不出为什么的.南京大学哲学系郑毓信先生对文［1］作了点评（见文［2］）.郑先生指出尽管有时
是很困难的，但是一个好的猜想（或者说，一个“合理”的猜想）又总是有“道理”可言的，尽管这并不
等同于严格的证明.当时阅读了郑先生的文章也没有引起笔者更深层次的思考.时过境迁，如今高中数学课
程已发生了重大变化，合情推理在高中已不再是渗透，而是高中数学选修2-2，1-1推理与证明的一个重要
内容.笔者在进行合情推理教学时面对学生五花八门的猜测才真正意识到合情推理重在“合情合理”，合情
推理是能够讲出“为什么”的.
众所周知，无论是归纳推理，还是类比推理所得出的结论未必一是定正确的. 其结果的正确与否有待
于进一步验证或证明.但通过类比或归纳得到的猜想，可以给人们提供一定的线索，作为进一步研究的起点，
可以帮助人们发现问题和提出问题. 现实生活中公安人员确定犯罪嫌疑人的过程，以及大夫给病人诊断病
症的过程就是一个不完全归纳的过程.另外中学数学教材中有一些公式和定理，在学生基础知识有限的情况
下，为了让学生暂且接受其真实性，常常用不完全归纳法给出.例如，等差数列和等比数列的通项公式以及
立体几何中的某些判定或是性质定理，在教材中都是用不完全归纳法得到的.这样的处理方法，在理论上是
有缺陷的，但就教材的整体结构而论是合理的，是合乎学生的认知规律的，也有助于学生从具体的事例中
发现一般规律.
也就是说，合情推理重在发现，演绎推理重在证明.可是老师在进行合情推理教学时往往会遇到这样的
困惑：面对同一个问题，学生往往会从不同的角度猜想出许许多多的不同结论.学生的这些猜测或是猜想有
一些是合理的，也有一些是不合情理的，甚至可以说是“乱猜”.然而老师往往很难对学生的猜想的正确性
作出判断，有时即便是知道学生的推理有误，但老师们的“反驳”也难以令学生信服.这样，学生也就很难
悟出合情推理的真谛与一般规律.事实上，无论是归纳还是类比，都有其一般规律，都不是“乱猜”，更不
是“瞎猜”.
2.有关类比推理的实例
有一次一位老师布置了这样的作业（例1、例2）：
2

例1 正三角形的中心到对边的距离等于三角形高的三分之一，请类比得出正四面体的类似性质.
学生的作业提供了若干答案.有的说正四面体的中心到对面的距离是正四面体高的三分之一，也有的说
是四分之一、还有说是九分之一、二十七分之一等等.
例2 三角形的面积公式：ABC的三边长为cba,,，r为其内切圆的半径，则rcbaSABC)21（.
请类比得出三棱锥的类似性质.
学生也提供了若干答案：三棱锥P—ABC的四个侧面面积分别为4321,,,SSSS,其内切球半径为r，则
三棱锥的体积rSSSSVABCP)(214321；rSSSSVABCP)(314321，
rSSSSVABCP)(414321

.

学生的每一种猜测似乎都有一定道理，例如例1中，猜测31，是由于正三角形有此性质，正四面体也
应该有此性质，持这种观点的学生还不在少数；猜测41，是由于正三角形的中心把三角形分为面积相等的
三个三角形，正四面体的中心把正四面体分成四个全等的三棱锥；也有的学生尽管也猜测41，但是所提供
的理由与前者有所不同，这部分学生认为原来是线段的长度，现在是面积，前面的系数应该由21变为41；
猜测91、271的学生认为应该有一个平方关系或是立方关系.例2中，学生猜测31，是由于三角形的面积是

21底高，而三棱锥的体积是31底面积高；猜测4
1
，是由于由线段的长类比为面积的大小，应该有个平

方关系；猜测21，是仅仅把边长类比为面积而系数不做变化.
针对类似的问题，办公室里老师们经常为了其合理性而争论不休.有时一方很难说服另一方.特别是学
生往往认为自己的猜测是合理的，对于一些由于学生知识水平所限而无法证明的结论，老师往往又很难提
供让学生信服的理由，这是许多老师经常遇到的困惑.
数学中的许多发现来源于对实际的观察，仅仅对事物、现象作一表面的观察是远远不够的，还需要对
获得的信息进行系统的，有条理的整理，进行客观、全面精确和深刻的分析、推理论证.大家知道，类比推
理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是一种由特殊到特殊
的推理.那么，我们要根据甲类事物的某种性质来推测乙类事物是否也有类似性质，怎么推测才合情合理
呢？或者说类比推理有没有一般规律呢？回答是肯定的.要推测乙类事物是否有类似于甲类事物的性质，或
者说应该有什么性质，首先要弄清楚甲类事物为什么有此类性质，等弄清楚了以后我们再猜测乙类事物所
具有的性质，此时就不会出现乱猜、瞎猜的错误了，这就是类比推理的基本规律.比如例1，首先做的不是
如何猜测的问题，而是要搞清楚正三角形的中心为什么有此性质.正三角形的中心把三角形分成了全等的三
部分，每一部分的面积等于三角形面积的三分之一.此时再来猜测正四面体的有关性质，就会很容易的得出
3

由于正四面体的心把正四棱锥分成了四个全等的三棱锥，于是正四面体的中心到对面的距离是正四面体高
的四分之一.再比如例2，首先搞清楚rcbaSABC)21（，是由于三角形的内心把三角形分成了三个高
相等的三角形，而三棱锥的内心把三棱锥分成了高相等的四个三棱锥，所以应该有
rSSSSVABCP)(314321

.还有学生认为由于acabcba)(，而习惯的认为

yxyxlglg)lg(；yxyxsinsin)sin(.就是没有搞清楚为什么acabcba)(
成立的情况

下所作出的猜测.
3.有关归纳推理的案例
不仅类比推理需要研究其合理性，归纳推理也需要研究其合理性.有一次笔者听课时一位老师出示了下
面的例3.

例3 若Raa21,，则有不等式2212221)2(2aaaa成立，请把不等式推广到更一般的情形.
当时课堂气氛十分活跃，学生从不同角度把不等式作了推广，得到了下面的诸多答案：
若Raa21,，则分别有不等式：nnnaaaa)2(22121；2212221)(naanaa；

nnnnaanaa)(2121；m
mm
naan
aa)(2121

成立；

若Raaan,,,21，则分别有不等式：22122221)2(2nnaaaaaa；
22122221)(naaanaaann；n
nnnnnnaaanaaa)(2121



；

m
nmnmmnaaanaaa)(2121



成立.

由于许多不等式学生无法证明，老师仅就学生的推广作了表扬，并没有对各种猜想的合理性和正确与
否进行说明.从课堂教学的实际情况来看，大部分学生仅停留在“形式”的推广上，诸如把两个数推广到
n
个数，把2推广到n等等.尽管以上各种猜想都有其合理的成分，但归纳推理绝不仅仅是形式上的推广.归
纳推理的本质是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物所有对象都具有这种性质.如果归纳
的个别情况越多，那么推广的一般性命题就越可能为真.如果当年哥德巴赫仅根据3+3=6，就提出哥德巴赫
猜想显然是不妥当的.归纳推理是要有思维过程的.学生如果不能证明n个数情形是否成立，可以证明两个
数推广到3个数的情形，即便是三个数的情形也无法证明，还可以选一些特殊值进行验证，不仅要验证大
于号，还要验证等号成立的条件.这种验证和试探的过程是归纳推理的重要组成部分.例如选（1，1，1）时
4

2
321232221

)2(2aaaaaa



就已经不成立了，也就没有必要再进行推广了.我们应该让学生在推理

中体验这种归纳推理的思维过程.
合情推理是新课程的新增内容，无论是在教学理念或是实际教学中都会遇到一系列的问题，也会产生
许多困惑.应该指出的是无论类比推理还是归纳推理都有其规律可循.只要老师们把握好这些基本规律，就
能够在实际教学中做到游刃有余，进而改进我们的教学.正如郑先生在文[2]中所提到的，数学方法论所关
注的主要是数学发现、创造过程的“理性重建”，也即是希望能通过方法论的分析使数学中的发明、创造
活动成为“可以理解”的，“可以学到手”和“可以加以推广应用”的；进而，又成为我们改进数学教学
的一个重要手段，即是应当以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学.

参考文献
[1] 张蕴禄 能否少问学生几个“为什么”.中学数学教学参考，1999，10.
[2] 郑毓信 如何培养学生的猜想和直觉能力由《能否少问学生几个“为什么”》 引出的思考.
中学数学教学参考，2000，1~2合期 .

合集下载

合情推理与演绎推理之合情推理

合情推理与演绎推理之合情推理

2．1 合情推理与演绎推理——合情推理一、三维目标：（一）知识与能力：1. 通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法，并把它们用于对问题的发现中去。

2. 明确归纳推理的一般步骤和类比推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

（二）过程与方法：1. 归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2. 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（三）情感态度与价值观：1. 正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2. 认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理。

三、教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想。

四、教具准备：多媒体课件、与教材内容相关的资料。

五、课时安排：1课时六、教学过程：【问题探究：】（1） 已知数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出)(n f 的值。

（2） 若数列{}n a 为等差数列，且),,(,+∈≠==N n m n m y a x a n m ，则nm ny mx a n m --=+。

现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列，且),,(,+∈≠==N n m n m y b x b n m ，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）434111)1(1=-=-=a f 64329843)911()1()1)(1()2(21==⋅=-⋅=--=f a a f85161532)1611()2()1)(1)(1()3(321=⋅=-⋅=---=f a a a f 由此猜想，)1(22)(++=n n n f （2）结论：n m n m n m yx b -+=1)( 证明：设等比数列}{n b 的公比为q ，则n m n m q b b -⋅=，所以n m n m n m y x b b q --==11)()( 所以n m n m n m n n m n m y x y x x q b b --+=⋅=⋅=1)()( 【学生回答：】（学生思考并回答）【归纳总结：】（学生回答后归纳总结）七、教学小结：1. 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

合情推理教学设计人教版

合情推理教学设计人教版

答案：通过观察，我们可以发现冬天和夏天的气温有很大的差异，冬天通常比夏天冷，这是因为地球在公转过程中，距离太阳的远近不同，导致季节的温度变化。
5. 例题：请用合情推理的方法，解释为什么植物需要阳光才能生长。
答案：观察植物的生长过程，我们可以发现植物在阳光下生长得更好，这是因为阳光是植物进行光合作用的必要条件，没有阳光，植物无法进行光合作用，从而无法获得生长所需的营养。
2. 学生能够在解决实际问题时，灵活运用合情推理方法，例如在科学研究中提出假设、在日常生活决策中做出合理的选择等。
3. 学生能够在小组讨论中积极发表自己的观点，与小组成员共同分析问题、推理解决问题，并能够清晰地表达自己的思考过程。
4. 学生能够通过实践活动，亲身体验合情推理的过程，加深对合情推理方法的理解，并能够将所学知识应用到实际操作中。
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《合情推理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要推理的情况？”（举例说明）比如，当你看到天空中乌云密布时，你会推理出可能会下雨，于是你会带上雨伞。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索合情推理的奥秘。
三、学情分析
本节课的授课对象为初中一年级的学生，他们已经掌握了基本的数学知识和一定的逻辑思维能力。在学习合情推理方面，他们具备以下特点：
1. 知识基础：学生在小学阶段已经接触过简单的推理和逻辑思维训练，对推理概念有初步的认识。部分学生对数学证明和逻辑推理有一定的了解，但还未系统学习合情推理方法。
2. 能力水平：学生具备一定的分析问题和解决问题的能力，但面对复杂的合情推理问题时，部分学生可能会感到困惑和无从下手。他们的数学思维能力和逻辑推理能力还有待提高。
合情推理

合情推理

所谓归纳推理是一种从个别到一般，从 实验事实到理论的一种寻找真理的手段，但 它又不同于数学归纳法，我们这里的归纳推 理就是通过归纳而得到的猜想结论．
下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适 当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )； (2)23，1,112，214，338，( )； (3)34，58，12，292，3112，( )； (4)32,31,16,26，( )，( ),4,16,2,11.
值是
()
A．13
B．14
C．15
D．16
[答案] B
[解析] ∵1＋2＋3＋4＋5＋…＋13＝13×(123＋1)＝ 91，∴第 100 项的值是 14.
3．若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N，下列说法中正确的是 ()
A．f(n)可以为偶数 B．f(n)一定为奇数 C．f(n)一定为质数 D．f(n)必为合数 [答案] B [解析] ∵f(n)＝n(n＋1)＋21，n(n＋1)是偶数， ∴n(n＋1)＋21是奇数．
[例5] 在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，则c2 ＝a2＋b2，类比在三棱锥中有何结论．
[误解] 在三棱锥 V－ABC 中，有 S2△VAB＋] 应在VA、VB、VC两两相互垂直的三棱锥V－ABC中， 才有以上结论成立．
[正解] 在三棱锥 V－ABC 中，VA、VB、VC 两两相互 垂直，S2△VAB＋S2△VBC＋S2△VAC＝S2△ABC.
巩固练习
1．命题“对顶角相等”的说法中正确的是( ) A．前提是“对顶角”，结论是“相等” B．前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角 相等” C．前提是“两个角相等”结论是“这两个角是对顶 角” D．前提是“两个角相等”，结论是“两个角相等” [答案] B [解析] 经判断B正确．
培养学生的合情推理能力

培养学生的合情推理能力

培养学生的合情推理能力作者：满瑞敏来源：《考试周刊》2013年第04期摘要：在小学数学课堂教学中，教师应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养。

本文以“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”这一课时的教学案例加以说明。

关键词：小学数学教学合情推理能力培养方法《数学课程标准》在总体目标的“数学思考”中明确指出：让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。

可见，合情推理的重要性。

那么，何为合情推理呢？合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。

合情推理就是一种合乎情理的推理，它是数学发现的方法之一，而在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。

在教育实践中，教师要结合教材和学生的认知特点，加强合情推理能力的培养。

下面仅以“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”这一课时的教学案例加以说明。

一、引发猜想，为合情推理营造氛围。

新课引入时，给学生创造具有合理自由度的思维空间。

教学中教师要依据教材的内容特点，在新旧知识的连接点上，设计问题情境。

并且注意问题的提出要有难度和开放性。

然后，借助问题引发猜想，激发了学生求知欲和探求问题的积极性，为合情推理营造了良好的氛围。

案例：在教学“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”时，安排了“复习铺垫，引发猜想”这一环节：复习：把下列各小数变成整数，说说小数点是怎样移动的，小数发生了什么变化？2.5、1.0026、0.78、40.125谈话：就像同学们刚才所说，小数点位置移动可以引起小数大小变化，如果小数点向右移动一位，两位，三位……就相当于小数乘10，100，1000……猜想：大家设想一下，一个小数的小数点位置还可以怎样移动？如果小数点向左移动是否也可以引起小数大小变化呢？这其中有没有规律可循呢？至此，学生产生强烈的求知欲望和主动探索的兴趣，教师很自然地引入新知，为合情推理营造了良好的氛围。