03章—多元检验

第三章、多元统计推断 （一元）多均值的检验有两种类型： 1、设有s个总体),( , , ),( , ),(22221sNNN，检验s个总体的均值是否相等。（0H：12s）

2、设有一个p维总体 ),(pN，p1为p维均值向量，检验是否等于一个已知

向量0100p。（0H：1010pp









）

两种类型的检验显然不同。前者用方差分析，后者用均值向量的检验。 检验对象 总体个数 条件 0H 统计量 已知 0

 2

均值向量 单总体 已知 0



2T

两总体 21 21



21ΣΣ 21

§3.1 均值向量的检验 一、单总体均值向量的检验 设(1)(2)(),,,nxxx为总体),(pN的简单样本， 样本均值向量为：()11niixxn

样本协差阵为： ()()1()()niiiAxxxx。 1、 已知时（2检验） （1）00：H（0已知） 01：H （2）构造统计量。当0H成立时，统计量 211200()() ()()nxΣxnxΣxp





（）

～

（3）构造小概率事件。对给定的显著性水平，令 }{2P

（4）求出拒绝域。因2的分布已知，故可求出临界值，从而得到拒绝域 

2

即，当2时，拒绝0H。 （5）求出统计量2的值，作出判断。 注。关于统计量的解释：

因为 1(,)pxNn～，则 1(0,)pxNn～，所以121()()(0,)pzxNIn～，则 1112211()()()()zzxxxxnn



由2分布的定义 121()()zzxxpn

（）

～

问题1：为什么不直接用统计量z进行检验？ 因为：z是多元，zz是一个数了？而是一元。

例1、（《应用多元分析》，王学民编著，上海财经大学出版社，p102）。今测出某地6名农村2周岁男婴身高（x1）、胸围（x2）和上半臂围（x3）的数据（如下表）。该地城市2周岁男婴的这三项指标的均值为)16 58 0(90,,。在多元正态假定下检验：农村与城市的2周岁男婴的三项指标均值有无差异？（0.05） 试检验：00:H ， 01:H

1230

90

5816



n 身高x1 胸围x2 上半臂围x3 1 1 78 60.6 16.5 2 1 76 58.1 12.5 3 1 92 63.2 14.5 4 1 81 59.0 14.0 5 1 81 60.8 15.5 6 1 84 59.5 14.0

均值向量的差异性检验： 结果该地区农村男婴儿总的身体状况（身高、胸围、上半臂围）的2420T，(3,3)84F，0.00216p，表明，在0.05的显著性水平下，农村男婴儿的整体身体状况与城市男婴儿有显著性差异。 各单项指标均值的差异性检验： 身高2.18t，0.018p，故在0.05水平下，身高有显著性差异； 胸围2.19t，0.029p，故在0.05水平下，胸围有显著性差异； 臂围1.40t，0.045p，故在0.05水平下，臂围有显著性差异； 从表中的均值可看出： 身高：城市高于农村，胸围：城市高于农村，臂围：城市高于农村（相差不大）

注：如何在MathCAD中求出“p值”？ “dF(x，d1，d2)”—F分布的密度函数，x为自变量，d1为第1自由度，d2为第2自由度。 “pF(x,d1,d2)”—F分布的分布函数 “qF(p,d1,d2)”—F分布的分位点。它是分布函数pF(x,d1,d2)的反函数。 例2、（《多元统计分析》，于秀林编著，中国统计出版社，p.45）人出汗多少与体内钠、钾的含量有关。今测出20名健康成年女性的出汗多少（x1）、钠的含量（x2）和钾的含量（x3）。其数据如下表。健康人群这三项指标的均值为)10,50,4(0。 试检验：00:H ， 01:H n x1 x2 x3 1 1 3.7 48.5 9.3 4 2 1 5.7 65.1 8 50 3 1 3.8 47.2 10.9 10 4 1 3.2 53.2 12 5 1 3.1 55.5 9.7 6 1 4.6 36.1 7.9 7 1 2.4 24.8 14 8 1 7.2 33.1 7.6 9 1 6.7 47.4 8.5 10 1 5.4 54.1 11.3 11 1 3.9 36.9 12.7 12 1 4.5 58.8 12.3 13 1 3.5 27.8 9.8 14 1 4.5 40.2 8.4 15 1 1.5 13.5 10.1 16 1 8.5 56.4 7.1 17 1 4.5 71.6 8.2 18 1 6.5 52.8 10.9 19 1 4.1 44.1 11.2 20 1 5.5 40.9 9.4 1)在MathCAD中编写一个程序进行检验。（均值向量的检验.mcd）

2)应用“Statistica”软件进行检验（操作见附录） 计算结果如下。

均值向量的差异性检验： 健康成年女性的三项指标（出汗量、钠含量、钾含量）的29.739T，(3,17)2.905F，0.065p，表明，在0.05的显著性水平下，健康成年女性与健康人群的三项指标无显著性差异。 各单项指标均值的差异性检验： 出汗量1.687t，0.108p，故在0.1水平下，出汗量无显著性差异； 钠含量1.46t，0.162p，故在0.1水平下，钠含量无显著性差异； 钾含量0.08t，0.935p，故在0.1水平下，钾含量无显著性差异； 从表中均值可看出，健康成年女性与健康人群相比： 出汗量稍高，钠含量稍低，钾含量几乎相同。

注意：无显著性差异并非无差异。由于考虑的对象是随机事件，样本与理论值肯定会存在差异。 问题2： 2、 未知时（2T检验或F检验） （1）00：H（0已知） 01：H （2）构造统计量。当0H成立时

)1,()()( ))(1( )( )(21212npTXSXnnXAXnT～

（3）构造小概率事件 （4）求出统计量F的值。 （5）判断。

注1、关于统计量的解释： 因为)()2()1(,,,nXXX i.i.d),(pN（简单随机样本），由维希特分布的定义

) ,())((1)()(nWXXXXApniii～ 又X)1,(nNp～，所以)1,0(nNXp～。 又未知，故用样本niiixxnS1))((11代替 由T 2分布的定义 2121200() () (1)() ()()(,1)TnxAxnnxSxTpn



～

注2、此情形也可用F检验 根据第二章中关于2T分布与F分布的关系，也可用F检验

21(,1)npFTFpnpnp～

例、（《应用多元统计分析》，方开泰编著，华东师范出版社，p113）为检验某化验员化学分析是否有系统误差，今取了四个等级的铁矿石标样，)50.61 , 50.15 , 75.32 , 75.22(0，让他进行分析，对四个等级重复进化验了21次，数据如下表。问，该化验员化学分析是否有系统误差？ n 1 2 3 

4

1 22.88 32.81 51.51 61.51

2 22.74 32.56 51.49 61.39 3 22.6 32.74 51.5 61.22 4 22.93 32.95 51.17 60.91 5 22.74 32.74 51.45 61.56 6 22.53 32.53 51.36 61.22 7 22.67 32.58 51.44 61.3 8 22.74 32.67 51.44 61.3 9 22.62 32.57 51.23 61.39 10 22.67 32.67 51.64 61.5 11 22.82 32.8 51.32 60.97 12 22.67 32.67 51.21 61.49 13 22.81 32.67 51.43 61.15 14 22.67 32.6 51.3 61.27 15 22.81 33.02 51.7 61.49 16 23.02 33.05 51.48 61.44 17 23.02 32.95 51.55 61.62 18 23.15 33.15 51.58 61.65