多元正态均值向量和协方差矩阵的检验

第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。

2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。

3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。

4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。

5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X ， ，p X 是相互独立的。

6.多元正态分布的任何边缘分布为 。

7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵，d 为s 维常数向量，则~d AX + 。

8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。

9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。

10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。

11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。

12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则~X ，X 和S 。

13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα 。

14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。

二、判断题1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。

2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。

3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。

第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1。

设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v,有 ，则称X 与Y 相互独立。

2。

多元分析处理的数据一般都属于 数据。

3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。

4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为pR 中某个随机向量的密度函数的主要条件是和 。

5．若p 个随机变量1X ，2X ， ,p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X , ,p X 是相互独立的。

6。

多元正态分布的任何边缘分布为 。

7。

若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵,d 为s 维常数向量，则~d AX + 。

8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 . 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。

10。

多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。

11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。

12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵,则~X ，X 和S 。

13。

若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα .14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =,且相互独立,则~21k S S S S +++= 。

二、判断题1。

多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。

2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是:它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布.3。

μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质： （1)E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB)=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。

多元统计分析——均值向量和协方差阵检验均值向量检验是评估两个或多个总体均值是否相等的方法。

在多元统计分析中，均值向量检验常用于比较不同组别或条件下的均值是否有差异。

假设有k个样本组别，每个组别有n个观测值，那么总共有nk个观测值。

假设每个观测值有p个测量变量，那么每个样本组别的均值向量可以表示为一个p维的向量。

我们的目标是比较这k个均值向量是否相等。

常用的均值向量检验方法有Hotelling's T-squared统计量和Wilks' Lambda统计量。

Hotelling's T-squared统计量是基于方差-协方差阵的一个推广，它考虑了样本组别的大小和协方差结构。

它的计算公式为：T^2=n(p-k)/(k(n-1))*(x1-x)^TS^(-1)(x1-x)其中，n是每个组别的观测数，p是变量的个数，k是组别的个数，x1是第一个组别的均值向量，x是总体均值向量，S是协方差阵。

T^2的分布是一个自由度为k，维度为p的非中心F分布。

Wilks' Lambda统计量是基于协方差阵的特征值的一个变换，它的计算公式为：Lambda = ，W，/，B其中，W是所有组别的散布矩阵（Within-groups scatter matrix），B是总体的散布矩阵（Between-groups scatter matrix）。

Wilks' Lambda的分布是一个自由度为k和n-k-1的F分布。

协方差阵检验是评估两个或多个总体协方差阵是否相等的方法。

在多元统计分析中，协方差阵检验常用于比较不同组别或条件下的变量之间的协方差结构是否有差异。

假设有k个样本组别，每个组别有n个观测值，那么总共有nk个观测值。

假设每个观测值有p个测量变量，那么每个样本组别的协方差阵可以表示为一个p维的矩阵。

我们的目标是比较这k个协方差阵是否相等。

常用的协方差阵检验方法有Hotelling-Lawley's Trace统计量和Pillai-Bartlett's Trace统计量。

第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验一、填空题1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。

2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-'=，则~12T np p n +- 。

3.若()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为 分布，记为 。

4．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。

二、判断题1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W Sp ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22n p T T 。

2．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵S n 1去代替∑。

3.2HotellingT 分布是一元统计分布中t 分布的推广。

4．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT 分布。

5．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2χ分布。

6．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量服从多元正态分布。

7．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等, 在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT分布。

三、简答题1．试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。

2．试述多元统计分析中2HotellingT分布和一元统计中t分布的关系。