应用多元统计分析-第三章 多元正态分布

多元统计分析-第三章多元正态分布第三章多元正态分布多元正态分布是⼀元正态分布在多元情形下的直接推⼴，⼀元正态分布在统计学理论和应⽤⽅⾯有着⼗分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。

多元分析中的许多理论都是建⽴在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，⾸先要熟悉多元正态分布及其性质。

第⼀节⼀元统计分析中的有关概念多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在⼀起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，⾸先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的⽅便，先对⼀元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推⼴给出多元统计分析中相应的概念和性质。

⼀、随机变量及概率分布函数（⼀）随机变量随机变量是随机事件的数量表现，可⽤X 、Y 等表⽰。

随机变量X 有两个特点：⼀是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；⼆是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。

(⼆)随机变量的概率分布函数随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为：)()(x X P x F ≤=随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。

1、离散型随机变量的概率分布若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。

设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ，…，记为k k p x X P ==)(（ ,2,1=k ）称k k p x XP ==)(（ ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。

离散型随机变量的概率分布具有两个性质：（1）0≥k p ， ,2,1=k（2）11=∑∞=k kp2、连续型随机变量的概率分布若随机变量X 的分布函数可以表⽰为dt t f x F x∞-=)()(对⼀切R x ∈都成⽴，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率分布密度函数，简称为概率密度或密度函数。

多元正态分布正态分布，又称为高斯分布，是概率论与统计学中最为重要的概率分布之一。

正态分布的特点是其概率密度函数呈现出钟形曲线的形状，可以描述大多数自然现象中的分布情况。

本文的主要目的是介绍正态分布的定义、性质和应用，并对其多元形式进行讨论。

一、正态分布的定义和性质正态分布的定义如下：设X是一个连续型随机变量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中μ为均值，σ^2为方差，exp为自然指数函数，那么称X服从参数为(μ,σ^2)的正态分布，记作X~N(μ,σ^2)。

正态分布的性质如下：1. 正态分布是一个对称分布，其均值、中位数和众数都重合，位于分布的中心。

2. 正态分布的曲线在均值两侧呈现对称性，标准差决定了曲线的宽度，标准差越小，曲线越陡峭，反之越平缓。

3. 正态分布的累积分布函数可用标准正态分布的累积分布函数来计算。

4. 正态分布的随机变量相加仍然服从正态分布。

二、正态分布的应用正态分布在各个领域中都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。

1. 自然科学：正态分布常被用来描述测量误差、物理实验结果和自然现象。

例如，在物理实验中测量的误差往往服从正态分布。

2. 金融领域：正态分布被广泛应用于金融领域的风险管理和股票价格预测中。

基于正态分布的投资组合理论和资产定价模型是金融领域中的重要工具之一。

3. 质量控制：正态分布被应用于质量控制中，用于确定产品的标准差、设定合适的控制上限和下限，从而判断产品是否合格。

4. 社会科学：正态分布在社会科学领域的人口统计、心理学实验和经济学研究中得到广泛应用。

例如，身高、体重等指标的分布往往服从正态分布。

三、多元正态分布多元正态分布是正态分布的一种拓展形式，用于描述多个随机变量之间的相关性。

多元正态分布的定义如下：设X = (X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√((2π)^n|Σ|)) * exp(-1/2(x-μ)Σ^(-1)(x-μ)^T)其中x = (x1,x2,...,xn)，μ = (μ1,μ2,...,μn)为均值向量，Σ为协方差矩阵，|Σ|为协方差矩阵的行列式，exp为自然指数函数，Σ^(-1)表示Σ的逆矩阵，那么称X服从参数为(μ,Σ)的多元正态分布，记作X~N(μ,Σ)。

遵义师范学院课程教学大纲应用多元统计分析教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：64 学分数： 2.5执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：应用数学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：应用多元统计分析课程编码：学分：2.5总学时：64课堂教学学时：16实践学时：48适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、数理统计一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质应用多元统计分析是进行科学研究的一项重要工具，在自然科学，社会科学等领域方面有广泛的应用。

多元统计研究的是多个变量的统计总体，这使它能够一次性处理多个变量的庞杂数据，而不需要考虑异度量的问题，即它是处理多个变量的综合分析方法。

它可以把多个变量对一个或多个变量的作用程度大小线性地表示出来，反映事物多变量间的相互关系；可以消除多个变量的共线性，将高维空间的问题降至低维空间中，在尽量保存原始信息的前提下，消除重叠信息，简化变量间的关系；可以通过事物的表象，挖掘事物深层次的、不可直接观测到的属性即引起事物变化的本质；也可以透过繁杂事物的某些性质，将事物进行识别、归类。

（二）该课程的教学目标本课程的教学目的在于让学生熟练掌握多种多元统计方法的基本思想，数学原理的基础上，能够把大量的数据简化到人们能够处理的范围之内，能够构造一个综合指标代替原来的变量，能够进行判别和分类，能够对数学计算结果进行科学合理的解释，并从专业背景上给予分析；能将统计分析方法应用至实际中去，为避免繁冗的数学计算，本课程要求学生学会使用SPSS、Excel和SAS软件相关功能。

二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。

三、教学内容与要求第一章矩阵代数【教学目标】教学重点：矩阵的秩、特征值及特征向量、正定矩阵及非负定矩阵教学难点：矩阵的秩、正定矩阵及非负定矩阵、特征值的极值问题【教学内容和要求】教学内容：定义；矩阵的运算；行列式；矩阵的逆、秩；特征值、特征向量和矩阵的迹；特征值的极值问题。