多元正态分布及检验
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多元正态分布的性质正态分布是统计分析中最重要的概率分布之一,它能够帮助我们更好地理解数据的特性,也可以帮助我们做出更好的决策。
多元正态分布可以用来描述一组随机变量之间的关系,在许多计量方法和定量分析中,它被广泛应用。
本文尝试回答以下三个问题:一是什么是多元正态分布?二是多元正态分布的性质是什么?三是多元正态分布如何使用?首先,什么是多元正态分布?多元正态分布是指一个有两个或多个变量的正态分布,可以用来描述一组随机变量之间的关系,可以用来解释一个变量的分布特征。
与单变量正态分布不同的是,多元正态分布的特征取决于对角矩阵中的参数,即协方差矩阵或协方差矩阵。
与单变量正态分布不同,多元正态分布是以向量形式定义的,但可以使用同样的统计分析理论来描述多变量正态分布的性质,例如期望和方差。
其次,多元正态分布的性质是什么?多元正态分布存在着许多性质,根据多元数学理论可以列举出以下性质:1.元正态分布的期望向量表示为 m = (m_1,m_2,...,m_n),这里的m_i表示每个随机变量的期望值;2.元正态分布的协方差矩阵S表示为:S=[s_ij],sij表示第i 个和第j个随机变量之间的协方差;3.元正态分布的方差向量表示为:var=(var_1,var_2,...,var_n),其中var_i表示第i个随机变量的方差;4.元正态分布的对称性,即对于n个随机变量X_1,X_2,...,X_n 及其期望向量m和协方差矩阵S,当存在变换矩阵A,使得AX=y有解,则有:E(X) = mvar(X) = S5.元正态分布的共轭性,即如果X_1,X_2,...,X_n是一组多元正态分布随机变量,则任意一组X_1X_2...,X_n也是多元正态分布随机变量,且具有相同的期望向量m和协方差矩阵S。
最后,多元正态分布怎么使用?多元正态分布的使用是建立在统计分析的基础之上的。
在使用多元正态分布时,可以根据观测数据来估计期望向量m和协方差矩阵S。
目录一元正态分布回顾多元正态分布多元正态分布及 的极大似然估计 及 的抽样分布多元正态的估计一元正态性多元正态性评估正态性多元正态分布的性质多元正态分布的性质多元正态的估计一元情形的回顾基于服从正态分布 的总体的独立同分布样本 :样本均值 服从:样本方差 服从:与 相互独立多元正态的估计多元情形类似于一元的情形,基于服从正态分布 总体的独立同分布样本 :样本均值 服从:样本方差 服从:这里的 表示 个自由度的Wishart分布 与 相互独立多元正态的估计Wishart分布Wishart 分布的定义:假设 维向量 独立同分布且服从 ,则:假设两个 的随机矩阵 和 分别服从分布 、且彼此独立,则:如果 , , 为 的常数矩阵,则有:目录一元正态分布回顾多元正态分布多元正态分布及 的极大似然估计 及 的抽样分布多元正态的估计一元正态性多元正态性评估正态性多元正态分布的性质多元正态分布的性质评估一元正态性图像方法:直方图、QQ图偏度和峰度统计检验:•Shapiro-Wilks 检验•Kolmogorov-Smirnov 检验•Cramer-von Mises 检验•Anderson-Darling 检验•……Histogram for 100 random numbers from N (0,1)y1F r e q u e n c y-4-20240102030Histogram for 100 random numbers from Exp(2)y2F r e q u e n c y0.00.5 1.0 1.52.0 2.53.0 3.50204060Histogram for 100 random numbers from t(1)y3F r e q u e n c y-4-202451020Histogram for 100 random numbers from -Exp(2)y4F r e q u e n c y-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00204060-2-112-3-1012Q-Q plot for Y1 from N (0,1)Theoretical Quantiles S a m p l e Q u a n t i l e s-2-10120.01.02.03.0Q-Q plot for Y2 from Exp(2)Theoretical QuantilesS a m p l e Q u a n t i l e s-2-112-60-40-2020Q-Q plot for Y3 from t(1)Theoretical Quantiles S a m p l e Q u a n t i l e s-2-1012-3.0-2.0-1.00.0Q-Q plot for Y4 from -Exp(2)Theoretical QuantilesS a m p l e Q u a n t i l e s根据QQ图的形状来判断正态性:直线(公式箭头) 正态反“S”形 比正态厚尾“S”形比正态薄尾凸弯曲右偏凹弯曲左偏评估一元正态性偏度和峰度我们可以用偏度和峰度对正态性进行粗略的判断,它们应该在(0,3)左右评估一元正态性统计检验图像方法的缺点:•图像方法对于小样本并不适用•图像方法以及偏度峰度法只提供了一个粗糙而不正式的检验方法,没有一个明确的决定准则。