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应用多元统计分析第三章多元正态总体参数的假设检验(一)

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第三章 多元正态总体参数的假设检验(第3节、第4节 多总体均值向量(协差阵)的假设检验)

第三章 多元正态总体参数的假设检验(第3节、第4节 多总体均值向量(协差阵)的假设检验)

第三节
多总体均值向量的检验
解决多个正态总体均值向量的检验问题，实际上应用到多元方差分 析的知识。多元方差分析是单因素方差分析直接的推广。为了容易 理解多元方差分析方法，我们有必要先回顾单因素方差分析方法。 （一）单因素方差分析的基本思想及 Wilks 分布 设 k 个正态总体分别为 N (1 , 2 ) ， , N (k , 2 ) ， k 个总体取 从
任意
任意
2 任意
1
任意
n1 1 (1, n1 , n2 ) ~ F (n2 , n1 ) n2 (1, n1 , n2 )
n1 1 1 (2, n1 , n2 ) ~ F (2n2 , 2( n1 1)) n2 (2, n1 , n2 )
2
任意
任意
以上几个关系式说明对一些特殊的 统计量可以化为 F 统计量，而当
A1 和 A 2 相互独立，则称
A1 A1 A 2
为 Wilks 统 计 量 ， 的 分 布 称 为 Wilks 分 布 ， 简 记 为 ~ ( p, n1 , n2 ) ，其中 n1，n2 为自由度。 这里我们需要说明的是，在实际应用中经常把 统计量化为 T 2 统 计量进而化为 F 统计量，利用 F 统计量来解决多元统计分析中有 关检验问题。表 3.1 列举常见的一些情形。


2

nm ( X Y )2 (n m) 2
□ 第三章 多元正态总体参数的假设检验
第二节
单总体均值向量的检验
情形 2 两总体的协方差阵相等，但未知 假设
H 0：μ1 μ2 H1：μ 1 μ 2 对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为 (n m 2) p 1 2 F T ~ F ( p, n m p 1) (n m 2) p

多元课件第三章

多元课件第三章

H H D D ' ' ' 11 1 2 rO rO AB B O H H O O O O 21 2 2
22
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
结论2 当μi≠0(i=1,„,n),σ2 =1时,X′X的 分布常称为非中心χ2分布. 定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从 n n个自由度,非中心参数 i2 i 1` 2 的χ 分布，记为
2 2 n
X X ~ ( n , ), X X ~ ( )
第三章 多元正态总体参数的假设检验
一元统计中,参数μ ,σ 2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ 和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,乃至多个总体的检验问题。
3
第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都 是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验 统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于 以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分 析所涉及的假设检验问题的基础.
6
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
1 1 2 则Y Y X X ~ ( n , ), 其中 2 2


结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵, rk(A)= r,则 二次型 X'AX/σ2～χ2(r) A2＝A(A为对称幂等阵). 2 2 2 特例:当A=In时, X I X / X X / ~ ( n ) n

应用多元统计课件 (1)

应用多元统计课件 (1)

3
本课程的特点与教学方式
教学方式 : 授课与实际例题相结合. 本课程的特点是将常用的多元分析方法的 介绍与在计算机上实现这些方法的软件紧 密地结合起来，不仅介绍每种多元分析方 法 的实际背景、统计思想、统计模型、数 学原理和解题的思路，并结合实例介绍应 用编程软件(Matlab)解决问题的步骤和计算 结果的分析。
的考试成绩，可对学生进行分类，如按文、理 科成绩分类，按总成绩分类等。若准备给优秀 学生发奖，那么一等奖、二等奖的比例应该是 多少？应用多元统计分析的方法可以给出公平 合理地确定。
19
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
我在担任学生班主任期间,经常会遇到学 校下达的评选三好生,评选学习奖等任务.另 还有评选各种奖学金的工作;推荐研究生的 工作都要求班主任提出意见.
0.1025X 4 0.2852X12
Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数，
数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标
（主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指
标（主成分）的贡献小。
24
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什
么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为
23
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
最简单最直观地综合变量就是12门课的成绩总和
。但这个最简单的综合变量并不是最科学地代表12门
课综合成绩的指标，而用主成分分析得出的第一主成分
（原始变量的线性组合）Z1是最科学地代表12门课综合 成绩的指标。比如
Z1 0.3233X1 0.4525X 2 0.3502X 3

多元统计分析第三章假设检验与方差分析

多元统计分析第三章假设检验与方差分析

多元统计分析第三章假设检验与⽅差分析第3章多元正态总体的假设检验与⽅差分析从本章开始，我们开始转⼊多元统计⽅法和统计模型的学习。

统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。

按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计⼀个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进⾏统计推断，是⾃然科学和⼯程技术领域常⽤的⼀种研究⽅法。

由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论⽅法研究的出发点。

所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要⽤概率来表明其可靠程度。

统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建⽴模型，作出推断”。

统计推断有参数估计和假设检验两⼤类问题，其统计推断⽬的不同。

参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多⼤?”之类的问题,⽽假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。

本章主要讨论多元正态总体的假设检验⽅法及其实际应⽤，我们将对⼀元正态总体情形作⼀简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断，两个总体均值的⽐较推断，多个总体均值的⽐较检验和协⽅差阵的推断等。

3.1⼀元正态总体情形的回顾⼀、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,⼀个作为原假设（或称零假设），另⼀个作为备择假设（或称对⽴假设），分别记为0H 和1H 。

1、显著性检验为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来⾃总体),(2σµN 的样本，我们要检验假设100:,:µµµµ≠=H H （3.1）原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有⼀个正确。

备择假设的意思是，⼀旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。

当2σ已知时，⽤统计量nX z σµ-=在原假设0H 成⽴下，统计量z 服从正态分布z )1,0(~N ，通过查表，查得)1,0(N 的上分位点2αz 。

第3章 多元假设检验

第3章 多元假设检验

第三章 多元假设检验3.1 实例从本节开始，我们转入多元统计的实际应用。

在实际问题中，有时要同时考虑多个随机性的指标，而且这些指标之间还存在着一定的联系。

例如，检查某人的健康情况，就得检查这个人的体重、体温、血压、心脏等多项指标。

一般仅是单项指标异常还不能立即诊断是什么原因，而必须对各项指标综合分析，才能作出结论。

多元统计分析的精髓之一就是必须对p 个相关变量同时进行分析。

首先让我们看2个例子：例3.1测量20名健康女性排汗量1x 、钠含量2x 、钾含量3x 得表3.1。

问健康女性1x 、2x 、3x 的均值是不是4、50、10？表3.1 20名健康女性排汗量1x 、钠含量2x 、钾含量3x 数据例 3.2 为了研究日美两国在华企业对中国经营环境的评价是否存在差异，从两国在华企业对中国的政治、经济、法律、文化等环境打分，得表3.2。

试分析日美两国在华企业对中国经营环境的评价是否存在差异？表3.2这些问题涉及多个项目同时比较，例如例3.1要检验3个指标(1x )=4,E(2x )=50,E(3x )=10是否同时成立？例3.2要检验美日两国企业四个评价指标是否相同?Ey1=Ex1,Ey2=Ex2,Ey3=Ex3,Ey4=Ex4是否同时成立？本章总作多元正态假设：设)',...,(21p x x x x =服从),(∑μN 。

例3.1和例3.2即是要做复合检验⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10504321μμμ和⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43214321y y y y x x x x μμμμμμμμ 按照概率论基础知识的方法，我们可以对每个指标进行t 检验或F 检验。

例如对例1先检验E(1x )=4, 再检验E(2x )=50,然后再检验E(3x )=10。

但是可能会遇到这样的情况：单独检验E(1x )=4不否定原命题（例如接受概率P(A)=0.4），再单独检验E(2x )=50也不否定原命题（例如接受概率P(B)=0.5）；而单独检验E(3x )=10也不否定原命题（例如接受概率P(C)=0.6）;但是联合起来检验E(1x )=4,E(2x )=50,E(3x )=10，接受域概率P(ABC)是0与0.4间的不定数，依A 、B 、C 的关系而定：若A 、B 、C 重合，则P(ABC)=0.4；若A 和B 互斥，则P(ABC)=0。

R语言版应用多元统计分析多元正态总体的假设检验

R语言版应用多元统计分析多元正态总体的假设检验

应用多元统计分析第3章 多元正态总体的假设检验- 1-•在一元正态总体 中,关于参数 的假设检验涉及到一个总体和多个总体情况,推广到多元正态总体 ,关于参数 的假设检验问题也涉及一个总体和多个总体情况。

本章我们只讨论关于均值向量 的假设检验问题。

•在多元统计中，用于检验 的抽样分布有维希特(Wishart)分布、霍特林(Hotelling)分布和威尔克斯(Wilks)分布，它们都是由来自多元正态总体 的样本构成的统计量。

在第2章中，我们已经讨论了维希特分布的定义和性质，本章我们讨论后两个统计量的分布。

霍特林 分布在一元统计中，若 ，且 相互独立，则或等价地下面把 的分布推广到多元正态总体。

定义3.1 设 ， ，其中 ，且 与 相互独立。

则称统计量 为 统计量，其分布称为自由度为n的霍特林 分布，记为分布的性质性质1 设 是来自正态总体 的随机样本， 和A 分别是样本均值向量和样本离差阵，则性质2 分布与F分布的关系为：若 则分布的性质性质3 设 是来自正态总体 的随机样本， 和A 分别是样本均值向量和样本离差阵，记则性质4 分布只与n,p有关，而与 无关。

威尔克斯 分布定义3.2 设 ，称协方差阵 的行列式 为的广义方差。

若 是来自总体 的随机样本，A为样本离差阵，则称或 为样本广义方差。

定义3.3设 ，这里 ，且 与 独立，则称广义方差比为 统计量，其分布称为威尔克斯 分布，记为 。

当p=1时， 分布正是一元统计中参数为 的贝塔分布，即。

分布的性质性质1当 时，若 ，则当 时，若 ，则当p=1时，当p=2时，若 ，则当 时有下列极限分布其中 。

下面是 分布的两个有用性质。

性质6 若 ，则存在 ， 且 之间相互独立，使得性质7 若 则单总体均值向量的假设检验设总体为 , 为来自该总体的随机样本。

欲检验下列假设：其中 为已知常数向量。

1. 当 已知时均值向量的假设检验此时于是有若检验统计量取为则当原假设 成立时， 。

多元统计分析：第三章 多元正态总体参数的假设检验(补充)

多元统计分析：第三章 多元正态总体参数的假设检验(补充)
18
第三章 多元正态总体参数的假设检验
所涉及的最大似然估计量—单个总体
ˆ X时 (4) 当 0 (0 0巳知)时, 取 似然函数达最大值:
L( X , 0 ) 2
np 2
0
n 2
n 1 etr - 0 A 2
19
第三章 多元正态总体参数的假设检验
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
所涉及的最大似然估计量—单个总体
单个p维正态总体Np(μ,Σ)，设X(i)(i=1,…,n)为来自p 维总体的随机样本.样本的似然函数为
L( , ) 2
np 2
1 ˆ A时, 似然函数达最大值 : ˆ X , (1)当 n n np A 2 A np L( X , ) 2 2 exp - n n 2
9
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.6正态性检验--p维数据的正态性检验
D2(1)≤ D2(2) ≤…≤ D2(n) 统计量 D2 的经验分布函数取为
.
其中H(D2(t) |p)表示χ2 (p)的分布函数在D2(t)的值. 设χ2 分布的pt分位数为χt2 ,显然χt2满足: H(χt 2 |p)= pt. 即χ2 分布的pt 分位数χt2 ＝H-1(pt |p). 由经验分布得到样本的pt 分位数D2(t)=Fn-1(pt ). 若H(x|p)≌Fn(x)，应有D2(t) ≌ χt2 ,绘制点(D2(t) , χt2 )的散 布图,当X为正态总体时,这些点应散布在一条直线上. 10
(1) (1) ( 2) ( 2)
np 2
A1 A2 n
(t )
np 2 2
e
X )( X

第3章 多元正态总体参数的假设检验3.2-3.3

第3章 多元正态总体参数的假设检验3.2-3.3

例1 人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了20 名健康成年女性的出汗量(X1)，钠(X2)的含量和钾(X3)的含量 试检验： H0 : 0 (4, 50,10) ; H1 : 0 ( 0.05) Σ 未知 解： 随机向量X ( X1 , X 2 , X 3 ), 假定 X ~ N3 ( , ) 检验假设: H0 : 0 ; H1 : 0 p 3, n 20
给定显著性水平

,拒绝域: W {F F1 ( p, n p)}
由样本计算: T 2 , F 的值 判断: 若 F F1 , 则拒绝 H 0 , 否则接受 H0
例1 人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，
今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)， 钠(X2)的含量和钾(X3)的含量（数据见下表） ( 0.05) 试检验： H0 : 0 (4, 50,10) ;
二、置信域 （Σ 未知） 总体: X ~ N p ( ，) 样本: X( i ) ( xi1 ,L , xip )(i 1,L , n)
2 2 2 11 TT nn (X ) ((X S (X )S X ) ) ~ T ( p, n 1) ( n 1) p 1 2 n p 或者 F T T 2 ~ F ( p, n p) ( n 1) p ( n 1) p
n p ( n 1) p 1 2 2 ~ F ( p, n p) 2 ＝ T F T 检验统计量： ( n 1) p ( n 1) p F (3,17) 拒绝域:W {F F1 ( p, n p)} {F F0.95 (3,17)}
1 由样本计算：T n( X 0 ) A ( X 0 ) 9.7388 n 1 X (4.64, 45.4, 9.965)

第三章多元正态总体参数的假设检验

第三章多元正态总体参数的假设检验

第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布一、正态变量二次型的分布1、分量独立的n 维随机向量X 的二次型设),,1)(,(~21n i N X i i =σμ，且相互独立，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n X X X 1，则),(~2n n I N X σμ，其中)',,(1n μμμ =。

X 的二次型具有以下一些结论：结论1 当),,1(0n i i ==μ，12=σ时，则)(~'212n XX X ni iχξ∑===；当),,1(0n i i ==μ，12≠σ时，则)(~'122n X X χσ（或记为)(~'22n X X χσ）。

结论2 当),,1(0n i i =≠μ，X X '的分布常称为非中心2χ分布。

Def3.1.1 设n 维随机向量)0)(,(~≠μμn n I N X ，则称随机向量X X '=ξ为服从n 个自由度、非中心参数∑===ni i 12'μμμδ的2χ分布，记为)(~'),(~'22δχδχn X X n X X 或。

若时且1),0)(,(~22≠≠σμσμn n I N X ，有)(~'122δχσn X X 。

结论3 设),0(~2n n I N X σ，A 为对称矩阵，且r A rank =)(，则二次型 A A r AX X =⇔222)(~/'χσ（A 为对称幂等矩阵）。

结论4 设),(~2n n I N X σμ，'A A =，则),(~'122δχσr AX X ，其中A A A =⇔=22'1μμσδ，且)()(n r r A rank ≤=。

结论5 二次型与线性函数的独立性：设),(~2n n I N X σμ，A 为n 阶对称矩阵，B 为n m ⨯矩阵，令)(,'维随机向量为m Z BX Z AX X ==ξ，若O BA =，则AX X BX '和相互独立。

多元正态分布参数的假设检验

多元正态分布参数的假设检验

2 22.74 32.56 51.49 61.39 9 22.62 32.57 51.23 61.39 16 23.02 33.05 51.48 61.44
3 22.60 32.76 51.50 61.22 10 22.67 32.67 51.64 61.50 17 23.02 32.95 51.55 61.62
5
武汉理工大学统计学系唐湘晋
一、Σ已知时单个总体均值向量的检验
设 X1, X2,…, Xn 是来自正态总体 N p ( μ , Σ ) 的样本, 考虑假设: H 0 :μ = μ 0 ,
H 1 :μ ≠ μ 0
a) p = 1 b) p > 1
U 1 )
T02 = n ( X − μ 0 )′ Σ − 1 ( X − μ 0 ) .
4
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.2 多元正态分布的均值向量的检验
p维正态总体 N p (μ, Σ) 的统计推断问题，包括均 值向量的检验和均值的置信域问题。 p维正态随 机向量的每一个分量都是一元正态变量，若将p 维均值向量的检验问题化为p个一元正态的均值 检验问题，虽然可以使问题简化，但忽略了p个 分量间的互相依赖关系，常常得不出正确的结 论。
13
武汉理工大学统计学系唐湘晋
解:
⎡ X 1 ⎤ ⎡ 22.82 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X 2 ⎥ ⎢ 32.79 ⎥ ⎥ = X=⎢ ⎢ X 3 ⎥ ⎢ 51.45 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X 4 ⎥ ⎣ 61.38 ⎦ ⎢ ⎦ ⎣
1 21 V= ∑ (Xi − X)(Xi − X)′ 21 − 1 i=1 ⎡ 70.3076 ⎤ ⎢ −52.1469 ⎥ 73.5511 ⎥ =⎢ ⎢ 3.4462 −19.3637 ⎥ 90.4098 ⎢ ⎥ 1.2022 −33.6989 40.0895⎦ −6.9624 ⎣

第三章 多元正态总体参数的假设检验

第三章 多元正态总体参数的假设检验

§3.2例3.2.1x=[3.7 48.5 9.3;5.7 65.1 8;3.8 47.2 10.9;3.2 53.2 12;3.1 55.5 9.7; 4.6 36.1 7.9;2.4 24.8 14;7.2 33.1 7.6;6.7 47.4 8.5;5.4 54.1 11.3;3.9 36.9 12.7;4.5 58.8 12.3;3.5 27.8 9.8;4.5 40.2 8.4;1.5 13.5 10.1;8.5 56.4 7.1;4.5 71.6 8.2;6.5 52.8 10.9;4.1 44.1 11.2;5.5 40.9 9.4]u0=[4 50 10]';n=20;T2=n*(n-1)*(mean(x)'-u0)'*inv(19*cov (x))*(mean(x)'-u0),p=3;F=(n-p)*T2/((n-1)*p),p=1-fcdf(F,3,17)T2 =9.7388F =2.9045p =0.0649在显著性水平0.05下，接受原假设。

第二类错误的计算，用非中心的F分布计算，非中心的参数为p67页，中间的参数。

ncfcdf(3.2,3,17,20*(mean(x)-[4 50 10])*inv(cov(x))*(mean(x)-[4 50 10])')ans =0.36218248472391例3.2.2x=[3.7 48.5 9.3;5.7 65.1 8;3.8 47.2 10.9;3.2 53.2 12;3.1 55.5 9.7; 4.6 36.1 7.9;2.4 24.8 14;7.2 33.1 7.6;6.7 47.4 8.5;5.4 54.1 11.3;3.9 36.9 12.7;4.5 58.8 12.3;3.5 27.8 9.8;4.5 40.2 8.4;1.5 13.5 10.1;8.5 56.4 7.1;4.5 71.6 8.2;6.5 52.8 10.9;4.1 44.1 11.2;5.5 40.9 9.4]S=cov(x),[v,d]=eig(S),n=20;p=3;c2=(n-1)*p*3.2/ (n*(n-p)),d123=diag(sqrt(d))*sqrt(c2)S =2.8794 10.0100 -1.809110.0100 199.7884 -5.6400-1.8091 -5.6400 3.6277v =-0.8175 0.5737 0.05080.0249 -0.0530 0.9983-0.5754 -0.8173 -0.0291d =1.3014 0 00 4.5316 00 0 200.4625c2 =0.5365d123 =0.83561.559210.37032、联立置信区间由3.2.4式计算的T2区间为：x=[3.7 48.5 9.3;5.7 65.1 8;3.8 47.2 10.9;3.2 53.2 12;3.1 55.5 9.7; 4.6 36.1 7.9;2.4 24.8 14;7.2 33.1 7.6;6.7 47.4 8.5;5.4 54.1 11.3;3.9 36.9 12.7;4.5 58.8 12.3;3.5 27.8 9.8;4.5 40.2 8.4;1.5 13.5 10.1;8.5 56.4 7.1;4.5 71.6 8.2;6.5 52.8 10.9;4.1 44.1 11.2;5.5 40.9 9.4]S=cov(x),[v,d]=eig(S),n=20;p=3;c2=(n-1)*p*3.2/ (n*(n-p)),d123=diag(sqrt(d))*sqrt(c2)[ mean(x)'-sqrt((n-1)*p*3.2/(n-p))*sqrt(diag(S )/n)mean(x)'+sqrt((n-1)*p*3.2/(n-p))*sqrt(diag(S)/ n)]ans =3.3971 5.882935.0472 55.75288.5700 11.3600按3.2.5计算的区间为：[ mean(x)'-tinv(0.975,n-1)*sqrt(diag(S)/n) mean(x)'+tinv(0.975,n-1)*sqrt(diag(S)/n)] ans =3.8458 5.434238.7848 52.01529.0736 10.8564§3.3例3.3.1一、假定两总体方差相同x=[65 35 25 60;75 50 20 55;60 45 35 65;75 40 40 70;70 30 30 50;55 40 35 65;60 45 30 60;65 4025 60;60 50 30 70;55 55 35 75]y=[55 55 40 65;50 60 45 70;45 45 35 75;50 50 50 70;55 50 30 75;60 40 45 60;65 55 45 75;50 60 35 80;40 45 30 65;45 50 45 70]n=10;m=10;p=4;mx=mean(x)',my=mean(y)',A1=( n-1)*cov(x),A2=(m-1)*cov(y),D2=(n+m-2)*(mx-my) '*inv(A1+A2)*(mx-my),T2=n*m*D2/(m+n),F=(n+m-p-1)*T2/((n+m-2)*p),p=1-fcdf(F,4,15)mx =64.000043.000030.500063.0000my =51.500051.000040.000070.5000A1 =490.0000 -170.0000 -120.0000 -245.0000-170.0000 510.0000 10.0000 310.0000-120.0000 10.0000 322.5000 260.0000-245.0000 310.0000 260.0000 510.0000A2 =502.5000 60.0000 175.0000 -7.500060.0000 390.0000 50.0000 195.0000175.0000 50.0000 450.0000 -100.0000-7.5000 195.0000 -100.0000 322.5000D2 =5.9725T2 =29.8625F =6.2214p =0.0037二、假定两总体方差不相同z=x-y;n=10;p=4,T2=(n-1)*n*mean(z)*inv((n*c ov(z,1)))*mean(z)',F=(n-p)*T2/((n-1)*p),p=1-fc df(F,p,n-p)p =4T2 =31.55365.2589p =0.0364在显著性水平0.05下拒绝原假设。

多元统计分析 第3章 假设检验

多元统计分析 第3章 假设检验
S x (X( a ) X)(X( a ) X) ， S y (Y( a ) Y)(Y( a ) Y) ，
a 1 a 1 n n
X (X1, X2 ,, X p ) Y (Y 1, Y 2 ,, Yp )
给定检验水平 ，查 F 分布表，使 p F F ，可确定 出临界值 F ，再用样本值计算出 F ，若 F F ，则否定 H 0 ， 否则接受 H 0 。
一个正态总体均值向量的检验-已知
设 X (1) , X (2) ,, X ( n) 是 来 自 p 维 正 态 总体 N p ( μ , Σ ) 的 样
n 1 n 本，且 X X ( ) ， S ( X ( a ) X )( X ( a ) X ) . n 1 a 1
( X 0 ) 2 z n 已知时，用统计量

当假设成立时，该统计量服从标准正态分布，从 而否定域为 | z | z /2 ，z / 2 为 N (0,1) 的 / 2 上分位 点 z 2 n( X 0 )( 2 )1 ( X 0 ) ~ (1)
注意到，上式 t 统计量可以表示为：
2 ( X ) /1 2 2 1 t n ( X ) ( s ) ( X ) 2 s /n 2 对于多元变量而言，可以将 t 分布推广为 Hotelling T 分布。
Hotelling T2 分布
定义 3.1 设 X ~ N p ( μ , Σ ) ， W ~ Wp (n, Σ ) 且 X 与 W 相互独立，n p ， 则称统计量 T nX W X 的 分 布 为 非 中 心 HotellingT2 分 布 ， 记 为
否则接受 H 0 .
一个正态总体均值向量的检验-已知

第3章 多元正态总体参数的假设检验3.1

第3章 多元正态总体参数的假设检验3.1

n
则称随机阵 W X X X (i) X (i) 的分布为威沙特分布，
记为W ~ Wp (n ，)
i 1
X(i) ~ N p(，) (i 1,L , n) 相互独立
1 L p


则称 W X X 服从非中心参数为
MM
M
1 L p
非中心威沙特分布，记为 W ~ W p (n, , )，其中 MM
性质1 设X(i) ~ Np (，) (i 1,L , n)相互独立，
则样本离差阵A 服从威沙特分布
n
A ( X(i) X )( X(i) X ) ~ W p (n 1，) i 1
证明：A d
n1
Z
t
Z

t
,
t 1
Zt ~ N p (0, ) t 1, 2,L , n 1 相互独立
则称随机阵 W X X X (i) X (i) 的分布为威沙特分布，
记为W ~ Wp (n ，) n
i 1
p 1 时 W
X2 (i)
~ 2 2 (n) W1(n， 2 )
i =1
一般地，设X(i) ~ N p(，) (i 1,L , n) 相互独立
1
2
A
A A2，且 rank( A) r（r n）
2. 一般 p 维正态随机向量的二次型 结论1 设X ~ N p (，)， 0，
则 X 1X ~ 2 ( p， ) 其中 1.
证明： 0 CC （C为非退化方阵）
1 L
记
M


M
p
M

r
1n

第3章 多元正态总体参数的假设检验_1

第3章 多元正态总体参数的假设检验_1
' 2 变量 X ' X 为服从 n 个自由度、非中心参数 i n
的

2
分布，记为 X X ~
2
'
(n, ) 或 X X ~ ( ).
2 ' 2 n
i 1
当X～Nn( , In )，≠0，且
2 1时，令
Yi
显然
1
i Yi ~ N , 1 (i 1,2,, n) ,
类似地，非中心 和非中心 F 分布在一元统计的相应检验
2
中，将应用非中心分布来计算第二类错误。
二、威沙特(Wishart)分布
1. 威沙特分布的定义 定义3.1.4 设 X(a) ~ Np( 0,∑ ) (a=1,…,n)相互独立,记 X ( X (1) ,, X ( n ) )'
为 n×p 矩阵，则称随机阵
2
) 的均值检
T
X 0
2
H 0下
~ t (n 1) ,
S n 否定域为{|T|>},其中满足：P{|T|>}= (显著性水平).
当否定H0时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率＝P{“以真当假”}=P{|T|>| = 0}|} =显著性水平 ;
当H0相容时，可能犯第二类错误，且
X ' AX 与 X ' BX 相互独立 AB O .
三、霍特林(Hotelling) T 2 分布 1. 霍特林 T 2 分布的定义
定义3.1.5 设 X～Np( 0 ,∑ ),随机阵W～Wp( n,∑ )(∑ > 0 , n ≥ p ), 且 X 与 W 相互独立，则称统计量 T 2 nX 'W 1 X为霍特林 T 2
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10
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
Wishart分布是一元统计中χ2分布的推广
.多元正态总体Np(μ,Σ)中,常用样本均值向 量X作为μ的估计，样本协差阵S＝A/(n-1)
作为Σ的估计.由第二章的定理2.5.2已给出
了X～Np(μ,Σ/n).S~? .
而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互独立,由定 义 3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).
16
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
由于Wishart分布是χ2分布的推广,它具有χ2分
结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵,
rk(A)= r,则二次型 X'AX/σ2～χ2(r)
A2＝A(A为对称幂等阵).
特例:当A=In时, X In X / 2 X X / 2~2 (n )7
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心 t 分布和F分布
设Xi ～N1(μi ,σ2)(i =1,...…,n),且相互独立，记
结论1
一般情况(μi ＝0，σ2 ≠1时),
5
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
结论2 当μi≠0(i=1,…,n),σ2 =1时,X′X的
分布常称为非中心χ2分布.
定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
其中
14
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
当X(α)～Np(μα ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立时，非 中心参数
这里
其中p为随机矩阵W的阶数,n为自由度,一元统计 中的σ2对应p元统计中的协差阵Σ.
15
第三章 多元正态总体参数的假设检验
是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验
统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于
以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分
析所涉及的假设检验问题的基础.
4
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p维正态总体时，随机矩阵W的分布是 什么?
互定独义立3，.1.则4 称设随X(机α) ～矩N阵p(0W ,Σ) (αn＝X1(,)…X(,n))相XX 1
的分布为Wishart分布(威沙特分布)，记 为W～Wp(n,Σ). n
一元统计中，用样本方差 作为σ2的估计，而且知道
s2
1n n1i1(X(i)
X)2
1
2
n
(X(i)X)2~
2(n1)
i1
11
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p元正态总体,样本协差阵S＝A/(n-1)
及随机矩阵A(离差阵)的分布是什么?
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
性质1 设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n)相互独立 ，则样本离差阵A服从Wishart分布，即
n
A (X ()X )X (()X )~ W p(n 1 , ) 1
证明 根据第二章§2.5的定理2.5.2知
n1
A Z Z 1
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
当否定H0 第一类错误的概率＝P｛“以真当假”｝ ＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0 ＝显著性水平α.
当H0 第二类错误的概率＝P｛“以假当真”｝ ＝P｛|T|≤λ|μ=μ1 ≠μ0 ｝
=β.
此时检验统计量T～t(n-1,δ),利用非中心 t分
布可以计算第二类错误β的值.
显然p=1时 W X2 ~22(n) , 即 () 1
13
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
一般地,设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立, 记
则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心 Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从
n
n个自由度,非中心参数 i2
的χ2分布，记为
i1`
X X ~ 2 (n ,),X X ~ n 2 ()
6
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
则 Y Y 1 2X X ~ 2(n ,)其 , 中 1 2
定义3.1.2
定义3.1.3
8
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
一元统计中，关于一个正态总体N(μ,σ2)的均 值检验中，检验H0：μ＝μ0时，检验统计量
否定域为{|T|＞λ}，其中λ满足： P{|T|＞λ}=α(显著性水平).验
应用多元统计分析
第三章 多元正态总体
参数的假设检验(一)
1
第三章 多元正态总体参数的假设检验
目 录(一)
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布
§3.2 单总体均值向量的检验及置信域
§3.3 多总体均值向量的检验
2
第三章 多元正态总体参数的假设检验
设X(α) (α＝1,…,n)为来自Np(0,Σ)的随机样本,
考虑随机矩阵 n
X(1)
W X()X() X(1),,X(n)
1
的分布.当p=1时，
XX X(n) pnnp
n
X(1)
W X2 () 1
X(1),,X(n)
XX~ X(n) 1nn1
2 2(n).
12
第三章 多元正态总体参数的假设检验
一元统计中,参数μ,σ2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题;
推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,
3
第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都