重庆市第一中学2017-2018学年高三9月模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年重庆一中高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．122．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1}C．[0，1]D．3．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x|D．4．下列说法中正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．“若，则”的否是“若，则C．若，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0D．若p∧q为假，则p，q均为假5．一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为（）A．B．C．D．6．已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件 D．充要条件7．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]9．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种10．已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．1811．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，E n（n∈N）为边AC上的一列+点，满足，其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，则{a n}的通项公式为（）A．2•3n﹣1﹣1 B．2n﹣1 C．3n﹣2 D．3•2n﹣1﹣2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{a n}的前n项和，则a=．14．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石．15．已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x2，0），D（x1，0），其中x2＞0，x1＞0，且，，若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC 面积的最大值．18．2015年高考结束，某学校对高三毕业生的高考成绩进行调查，高三年级共有1到6个班，从六个班随机抽取50人，对于高考的考试成绩达到自己的实际水平的情况，并将抽查（）根据上述的表格，估计该校高三学生年的高考成绩达到自己的实际水平的概率；（2）若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值．19．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．20．已知平面上的动点P（x，y）及两定点M（﹣2，0）、N（2，0），直线PM、PN的斜率之积为定值，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（y0＞0）是曲线C上一动点，过Q作两条直线l1，l2分别交曲线C于A，B两点，直线l1与l2的斜率互为相反数．试问：直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．（1）求证：PM2=PB•PA；（2）若⊙O的半径为2，OB=OM，求MN的长．23．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年重庆一中高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1}C．[0，1]D．【考点】交集及其运算．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出B中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．3．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x|D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．故选：C4．下列说法中正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．“若，则”的否是“若，则C．若，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0D．若p∧q为假，则p，q均为假【考点】的真假判断与应用；四种．【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断B．根据否的定义进行判断C．根据含有量词的的否定进行判断D．根据复合之间的关系进行判断【解答】解：A．若f（x）=x2，满足f（0）=0，但函数f（x）不是奇函数，若f（x）=，满足函数f（x）是奇函数，但f（0）不存在，即“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，故A错误，B．“若，则”的否是“若，则，正确，故B正确，C．的否定￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，故C错误，D．若p∧q为假，则p，q至少有一个为假，故D错误，故选：B5．一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，已知第一只是好的，则盒子里还有5只好晶体管，4只坏晶体管，，故可求概率．【解答】解：根据题意，已知第一只是好的，则盒子里还有5只好晶体管，4只坏晶体管，∴若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为故选C．6．已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可．【解答】解：若P（ξ＞a）=0.5，则a=1，若关于x的二项式的展开式的常数项为3，==•a3﹣k•x3﹣3k，则通项公式T k+1由3﹣3k=0，得k=1，即常数项为=3a2=3，解得a=1或a=﹣1，即“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：A7．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得3tan2α+20tanα﹣7=0，解方程求得tanα的值．【解答】解：若，且，则cos2α﹣sin2α=（cos2α+sin2α），∴cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα=0，即3tan2α+20tanα﹣7=0．求得tanα=，或tanα=﹣7（舍去），故选：B．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，输出y∈[0，2]，故选：A．9．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种【考点】计数原理的应用．【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D．10．已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，E n（n∈N）为边AC上的一列+点，满足，其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，则{a n}的通项公式为（）A ．2•3n ﹣1﹣1B ．2n ﹣1C ．3n ﹣2D ．3•2n ﹣1﹣2【考点】数列与向量的综合；数列递推式；数列与解析几何的综合．【分析】利用，可得=+，设m=，利用，可得=a n +1， m=﹣（3a n +2），即a n +1=﹣（3a n +2），证明{a n +1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论．【解答】解：因为，所以=+，设m =，则因为，所以=a n +1， m=﹣（3a n +2），所以a n +1=﹣（3a n +2），所以a n +1+1=3（a n +1）， 因为a 1+1=2，所以{a n +1}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以a n +1=2•3n ﹣1， 所以a n =2•3n ﹣1﹣1． 故选：A ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{a n }的前n 项和，则a= 1 ．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】由等比数列的前n 项和公式求出该数列的前三项，由此利用，能求出a ．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和，∴a 1=S 1=2a +a ﹣2=3a ﹣2，a 2=S 2﹣S 1=（4a +a ﹣2）﹣（3a ﹣2）=2a ， a 3=（8a +a ﹣2）﹣（4a +a ﹣2）=4a ，∵，∴（2a）2=（3a﹣2）×4a，解得a=0（舍）或a=1．故答案为：1．14．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为168石．【考点】简单随机抽样．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×≈168石，故答案为：168．15．已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，3] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式满足的平面区域，由ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可．【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示，由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤3恒成立，根据图形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞k AB==﹣3，解得：a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．16．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x2，0），D（x1，0），其中x2＞0，x1＞0，且，，若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，可得x1，x2为方程mx2﹣x+m=0的两个不同实数解，x1+x2=，x1x2=1，表示出圆柱的体积，利用配方法，即可得出结论【解答】解：由题意，令y1=y2=m，x1，x2为方程mx2﹣x+m=0的两个不同实数解，∴x1+x2=，x1x2=1，矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积V=πm2|x1﹣x2|=πm2•=π，∴m2=时，矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间．（2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，==，由，可解得：．又因为x∈（0，π），所以f（x）的单调递增区间是和．（Ⅱ）由，可得，由题意知B为锐角，所以，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：，即，且当a=c时等号成立，因此，所以△ABC面积的最大值为．18．2015年高考结束，某学校对高三毕业生的高考成绩进行调查，高三年级共有1到6个班，从六个班随机抽取50人，对于高考的考试成绩达到自己的实际水平的情况，并将抽查（2）若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据表格确定出50人达到自己实际的水平的人数，即可求出所求概率；（2）确定出调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，进而求出各自的概率，得到分布列，即可求出所求期望．【解答】解：（1）根据题意得：调查的50人中达到自己实际的水平有：3+6+6+6+4+3=28（人），所求的概率为P==0.56；（2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，当P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==，则E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．19．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（I）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD；（Ⅱ），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH=．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，FD=，∴FD∥EH．FD=EH∴四边形EHDF 为平行四边形．∴EF∥HD∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，∴AH⊥BC，分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．则B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）．由得令z=1，得=（，2，1）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z）．由得令y=1，得=（，1，2）cos＜，＞====，∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣．20．已知平面上的动点P（x，y）及两定点M（﹣2，0）、N（2，0），直线PM、PN的斜率之积为定值，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（y0＞0）是曲线C上一动点，过Q作两条直线l1，l2分别交曲线C于A，B两点，直线l1与l2的斜率互为相反数．试问：直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）运用直线的斜率公式，化简整理可得曲线的方程；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣k，设l1：y﹣y0=k（x﹣x0），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得A的横坐标，同理可得B的横坐标，由直线的斜率公式可得AB 的斜率，再由椭圆上一点的切线的斜率，即可得到定值0．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x≠±2，k PM=，k PN=，由题意可得•=﹣，化简可得曲线C的方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣k，设l1：y﹣y0=k（x﹣x0），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8k（y0﹣kx0）x+4（kx0﹣y0）2﹣12=0，x0x A=，可得x A=，同理可得x B=，又3x02+4y02=12，k AB===，代入A，B的横坐标，可得k AB===，对+=1（y≠0）两边对x求导，可得x+y•y′=0，可得曲线在Q点处的切线的斜率为﹣，即有直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和为定值，且为0．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）＞0，即，所以．极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．（1）求证：PM2=PB•PA；（2）若⊙O的半径为2，OB=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连结ON，运用等腰三角形的性质和圆的切割线定理，即可得到PM2=PB•PA；（2）在Rt△COM中，由勾股定理可得CM，求得BM，AM，根据相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，代入计算即可得到MN的长．【解答】解：（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，则∠OCN=∠ONC，∵∠PMN=∠OMC=90°﹣∠OCN，∠PNM=90°﹣∠ONC，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN，由条件，根据切割线定理，有PN2=PB•PA，所以PM2=PB•PA，（2）OM=2，半径为2，在Rt△COM中，．，，根据相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，可得MN===2．23．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开利用即可得到曲线C2的极坐标方程．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，利用|TM|•|TN|=|t1t2|及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．2016年10月15日。

2017-2018学年英语试题卷共10页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I卷第一部分：听力理解（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the man like about the play?A. The story.B. The ending.C. The actor.2. Which place are the speakers trying to find?A.A hotel.B.A bank.C. A restaurant.3. At what time will the two speakers meet?A. 5:20.B. 5:10.C.4:40.4. What will the man do ?A. Change the plan.B. Wait for a phone call.C. Sort things out.5. What does the woman want to do ?A. See a film with the man.B. Offer the man some help.C. Listen to some great music.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）请听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6至8题。

6. Where is Ben？A. In the kitchen.B. At school.C. In the park.7. What will the children do in the afternoon?A. Help set the table.B. Have a party.C. Do their homework.听第7段材料，回答第8、9题8. What are the two speakers talking about?A. A Family holiday.B. A business trip.C. A travel plan.9. Where did Rachel go?A. Spain.B. Italy.C. China.听第8段材料，回答第10至12题。

2017-2018学年理科综合能力测试试题分选择题和非选择题两部分，满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Cl 35.5第一部分(选择题共126分)一、选择题：本题共13小题，每小题6分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的7．材料、能源、信息、环境与化学关系密切，下列说法不正确的是A．我们使用合金是因为它比纯金属具有更优良的机械性能B．钢化玻璃、有机玻璃、石英玻璃均属于硅酸盐材料C．高铁酸钾（K2FeO4）是一种新型、高效、多功能水处理剂，既能杀菌消毒又能净水D．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”【答案】B考点：考查化学与材料、能源、信息、环境等8．某羧酸酯的分子式为C57H104O6，1 mol该酯完全水解可得到3 mol羧酸M和1 mol甘油。

羧酸M的分子式为（）A．C17H32O2 B．C18H34O2 C．C18H36O2 D．C19H36O2【答案】B【解析】试题分析：某羧酸酯的分子式为C 57H 104O 6，1 mol 该酯完全水解可得到3 mol 羧酸和1 mol 甘油，说明该酯中含有3个酯基，则反应的化学方程式为C 57H 104O 6＋3H 2O=3M ＋C 3H 8O 3，由质量守恒可知M 的分子式为C 18H 34O 2，故答案选B 。

考点：考查有机物的分子式的判断和酯的水解9．从海带中制取单质碘需要经过灼烧、溶解、过滤、氧化、萃取、分液、蒸馏等操作。

2018年重庆一中高2020级高一下期第一次月考数学试题卷2018.4一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<，则（ ）A ．{}0A B x x =< B ．A B =∅ C ．{}1A B x x => D ．A B R =2. 已知等差数列{}n a 中，31a =，86a =，则15a =（ ） A ．10 B ． 11 C ．12 D ．133. 已知向量(1,2)a =- ，(3,1)b = ，(,4)c k = ，且()a b c -⊥，则k =（）A ．B ．C ．D ． 4. 已知等比数列{}n a 满足22836a a π=，则5cos a （ ）A ．12-B ．2 C. 12± D ．2±5.ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，a =b =45B =︒，则角C 的大小为（ ）A ． 15︒B ． 75︒ C. 15︒或75︒ D ．60︒或120︒ 6.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设向量(,)m c a b =+，(,)n b a c a =--，若//m n ，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ． 3π C. 2π D ．23π7. 若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（ ）A ．7B ． 6 C. 5 D ．4 8. 设数列{}n a 满足12a =，1211n n a a +=-+，则15a =（ ）A ．12-B ．2 C. 13D ．-3 9. 在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2cos22C a bb+=，则ABC ∆为（ ） A ．正三角形 B ． 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形10. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =,60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A ． 53-B ．12- C. 12 D ．2311.（原创）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是边BC 和AC 上两动点，且满足AF CE = ，设AE BF ⋅的最小值和最大值分别为m 和M ，则（ ）A ．2M m ⋅=B ．7+2M m =-C.32M m = D ．3M m -= 12.(原创)已知定义域为R 的函数()f x 满足()4(2)f x f x=+，当[)0,2x ∈时，[)[)2321,0,1()1(),1,22x x x x f x x -⎧-++∈⎪=⎨∈⎪⎩， 设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()n a n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，若n S k <对任意的正整数n 均成立，则k 的最小值是（ ） A ．53 B ． 32C.3 D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数()()xx af x x e e=-为偶函数，则a = ． 14. 在等差数列{}n a 中，46101260a a a a +++=，则101413a a -= ．15. 已知向量,a b夹角为30︒，且1,2a a b =-= ，则b = ．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)2nn n nS a =--，n N *∈，则若存在正整数n 使得1()()0n n t a t a +--<成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆是锐角三角形，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin a B =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若6a =，且ABC ∆的面积S =，求ABC ∆的周长. 18. 己知向量,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-（Ⅰ）若c = //c a ，求向量c的坐标；（Ⅱ）若b 是单位向量，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S n N *=-∈ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2log ()n n b kn n a n N *=-∈，且{}n b 是递减数列，求实数k 的取值范围.20.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积222)ABC S a b c ∆=+-，向量2(0,1),cos ,2cos 2B n m A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求C ∠大小； （Ⅱ）求n m +的取值范围. 21.已知数列{}n a 满足11()22n n n a a n N a *+=∈+，且11a =. （Ⅰ）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若记n b 为满足不等式111()22k n n a n N *-<≤∈的正整数k 的个数，设(1)1(1)nn n nn n b T b b -=----， 求数列{}n T 的最大项与最小项的值.22. (原创)(本小题满分12分)已知向量)a x ω=，(sin ,cos )b x x ωω= ()R ω∈，若函数1()2f x a b =⋅+ 的最小正周期为π，且在区间[0,]6π上单调递减.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若关于x的方程25252()()2()()330123126a f x f x f x f x a ππππ⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,]4π有实数解，求a 的取值范围.2018年重庆一中高2020级高一下期第一次月考数学试题卷2018.4一、选择题1-5: ADCBC 6-10: BBABD 11、12：BA 二、填空题13. 1 14. 10 15. 1144t -<< 三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B A =⇒=∵0<2A π<，∴3A π=；（Ⅱ）∵1sin 2S bc A ===283bc =， 由余弦2222362cos()383a b c bc b c bc b c π==+-=+-⇒+=.故ABC ∆的周长14l a b c =++=18.解:（Ⅰ）设(,)c x y = ，由c = 且//c a可得22018y x x y +=⎧⎨+=⎩所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩ 故(3,3)c =- ，或(3,3)c =-（Ⅱ）因为1a =，且()2a a b ⊥- ，所以()20a a b ⋅-= ，即220a a b --⋅= ，所以220a b -⋅= ，1a b ⋅=故cos 2a b a bθ⋅==⋅，4πθ=.19.解:（Ⅰ）11211a S ==-=，2n ≥时11121(21)2(2)nn n n n n a S S n ---=-=---=≥，11a =适合12n n a -=，故12()n n a n N -*=∈（2）因为{}n a 单调，故12n n a -=，22log (1)(1)n n b kn n a kn n n n k n =-=--=-++，则21(1)(1)(1)n b n k n +=-++++{}n b 单减12110n n b b n k +⇔-=--++<恒成立即2k n <-对一切n N *∈恒成立，故2k <20.解:（Ⅰ）由余弦定理222cos a b ab C +=，则2cos cos ABC S ab C C ∆==， 另一方面1sin 2ABC S ab C ∆=，于是有1sin cos 2ab C C =，即sin C C解得tan C =0C π<<，故3C π=；（Ⅱ）2cos ,2cos12B n m A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 2221cos 21cos 2cos cos 22A B n m A B +++++=+ 141441[cos 2cos(2)]1(cos 2cos cos 2sin sin 2)23233A A A A A πππ=++-=+++111111cos 221sin 2cos 21sin 2222226A A A A A π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--⨯=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵203A π<<，72666A πππ-<-<，12126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，111sin 22264A π⎛⎫-≤--< ⎪⎝⎭ 1151sin 22264A π⎛⎫≤--< ⎪⎝⎭，21524n m ≤+<n m ≤+< 21.解:（Ⅰ）由于11a =，122nn n a a a +=+，则0n a ≠ ∴1212n n n a a a ++=，则121111111222n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+-=，即11112n n a a +-=为常数又111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列从而1111(1)22n n n a +=+-⨯=，即21n a n =+（Ⅱ）由111()()22nn k a -<≤即1121()()212nn k -<≤+，得12121n n k +-≤<-， 又k N *∈，从而1(21)(21)2n n n n b +=---=故1211 1()1()122(1)21()2nn nn n nn T=---=-------当n为奇数时，111()121()2nnnT=+-+，nT单调递减，156nT T<≤=；当n为偶数时，111()121()2nnnT=---，nT单调递增，2712nT T-=≤<综上{}n T的最大项为15 6T=，最小项为27 12T=-22.解：（Ⅰ）211cos211()cos cos22cos2sin(2222222xf x x x x x x x xωωωωωωωω+=-+=-+=-=-22Tππω==，∴1ω=±当1ω=时，()sin(2)6f x xπ=-此时()[0,]6f xπ单增，不合题意，∴1ω≠；∴1ω=-，∴()s i n(2)s i n(2)66f x x xππ=--=-+，在[0,]6π单减，符合题意，故()sin(2)6f x xπ=-+（Ⅱ）()sin(2)6f x xπ=-+，55()sin(2)sin21266f x x xπππ+=-++=，23()sin(2)cos232f x x xππ+=-+=()sin(2)cos2636f x x xπππ+=-++=-方程方程25252()()2()()330123126a f x f x f x f x aππππ⎛⎫⎛⎫+++-+++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为：22(sin2cos2)2(sin2cos2)330a x x x x a+---+=令sin2cos2)[1,1]4t x x xπ=-=-∈-，由22(sin2cos2)(sin2cos2)2x x x x++-=，得22(sin2cos2)2x x t++=，于是22(sin2cos2)2x x t+=-原方程化为22(2)2330a t t a---+=，整理22230a t t a+--=，等价于22230at t a +--=在[]1,1-有解解法一：（1）当0a =时，方程为230t -=得[]31,12t =∉-，故0a ≠； （2）当0a ≠时，2(21)230a t t -+-=在[]1,1-上有解212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有解，问题转化为求函数[]2211,132t y t -=--上的值域；设32u t =-，则23t u =-，[]1,5u ∈，21(3)217(6)22u y u u u--=⋅=+-，设7()h u u u=+，在⎡⎣时，单调递减，t ⎤∈⎦时，单调递增，∴y的取值范围是3,1⎤⎦，212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有实数解13,11a a ⎤⇔∈⇔≥⎦或32a +≤-解法二：记2()223f t at t a =+--（1）当0a =时，()23f t t =-，若()0f t =解得[]31,12t =∉-不符合题意，所以0a ≠； （2）当0a ≠，方程()0f t =在[]1,1-上有解；①方程在[]1,1-上恰有一解(1)(1)015f f a ⇔-⋅≤⇔≤≤；②方程在[]1,1-上恰有两解[](1)0(1)0348(3)0211,1af af a a a a -≥⎧⎪≥⎪⎪--⇔⎨∆=++≥⇔≤⎪⎪-∈-⎪⎩或5a ≥；综上所述，a的范围是32a -≤或1a ≥.。