2007年高考数学试题分类汇编——导数(三)

【2012年高考试题】 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 （A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值 2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 【答案】B 【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为, 3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）A. 为的极大值点B.为的极小值点C. 为的极大值点D. 为的极小值点[学 4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 A． B． C． D． 【答案】B ，再由定积分的几何意义，可求得面积为. 6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。

【答案】 【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为， 曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的距离应为，所以，解得或（舍去）。

8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。

【答案】 【解析】。

9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______. 10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ． 11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。

2007年高考中的“不等式”试题汇编大全一、选择题：1. (2007安徽理)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ B ）(A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥12．（2007北京理)如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ A ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一3（2007全国Ⅱ文）不等式203x x ->+的解集是（ C ） (A)(-3,2)(B)(2,+∞)(C) (-∞,-3)∪(2,+∞)(D) (-∞,-2)∪(3,+∞)4.（2007上海理）设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ C ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b <5.(2007安徽理)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为（ A ）（A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-6.(2007安徽文)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为（ A ）(A)23(B)154- (C)122- (D)12-7.(2007北京理)若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（D ）Ａ.43a ≥ Ｂ.01a <≤ Ｃ.413a ≤≤ Ｄ.01a <≤或43a ≥8.(2007北京文)若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（C ）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或7a ≥9．（2007辽宁文、理）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（A ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞，，D ．[36]，10.(2007全国Ⅰ文)下面给出的四个点中，位于⎩⎨⎧>+-<-+01,01y x y x 表示的平面区域内的点是（ Ｃ ）（A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0)11.（2007全国Ⅰ理）下面给出的四个点中，到直线x-y+1=0的距离为22，且位于⎩⎨⎧+--+01,01 y x y x 表示的平面区域内的点是（ C ）（A ）（1，1） （B ）（-1，1） （C ）（-1，-1） （D ）（1，-1）12.（2007四川文、理）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ B ）A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元13.（2007天津文）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为（C ） Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．1414.（2007天津理）设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（Ｂ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．1415．（2007江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（A ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14二.填空题:1. (2007广东理)（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ 6 ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 [ -1，1] .2．（2007山东文）当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 5m -≤ ．3.（2007浙江理）不等式211x x --<的解集是 {}02x x << ．4.（2007上海理）若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 161．5.（2007福建文、理)已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,30,2,2y y x y x 则z ＝2x －y 的取值范围是 [-5,7] .6.（2007湖北文、理）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+≥+-.32,0,03x y x y x 则目标函数2x+y 的最小值为23-7.（2007陕西理）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-,033,022,042y x y x y x ，则z =x+2y 的最大值为 8 .8.（2007陕西文）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 8 .9.（2007山东理）设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1,40,32102y x y x y x ，表示的平面区域，则D 中的点P （x ,y ）到直线x +y =1010.（2007浙江文）y 2x z +=中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥+-0y x 0x 3052y x ,则z 的最小值是53．11.（2007重庆理）已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1421x y x y x ，则函数z = x+3y 的最大值是__7__.12.（2007重庆文）已知y x z y y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+300-632则，的最大值为 9。

2007年高考分类汇总----导数1．（北京理19 本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得)y x r =<<222()x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的221(22)22S x r r x =+-最大值．因此，当12x r =时，S 22r =．即梯形面积S 2． 2．(北京文9)()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是3．3．（福建理、文11）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．（福建理22 本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()nn F F F n n +*>+∈N ．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．5．（福建文20 本小题满分12分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．6．(广东理、文20 本小题满分14分) 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ∆=++=++= 得 32a -±=当 32a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <因此a 的取值范围是 1a > 或a ≤;7．（广东文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．（海南理10）曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e9．（海南理21 本小题满分12分）设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2． 解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．（ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则a -a =若a =()x ∈+∞，2()f x '=当2x =-时，()0f x '=，当222x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+∞，2()0f x '=>，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即a >或a <，则22210x ax ++=有两个不同的实根1x =，2x =．当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞． ()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．10．（海南文）曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e10．（海南文19 本小题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<．所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．11．（湖北理20 本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．12．（湖北文13）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿． 13．（湖北文19 本小题满分12分）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =．当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-121617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<．解法2：（I ）同解法1． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a-==，由（I ）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<．14．（湖南理13）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ． 15．（湖南理19 本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，3(km)OA =． （I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是ＯAEDBHP设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则PD ==[12]∈，． 记总造价为1()f x 万元， 据题设有2211111()(1)(224f x PD AD AO a x x a =+++=-++ 2143416x a a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝当14x =，即1(km)4BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，504y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有22131()1224f y PD y a ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．则()212f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭，由2()0f y '=，得1y =．当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数．故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，B12302x y +≤≤，总造价为S 万元，则211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥1322y ≥，当且仅当114x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值6716a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭))2111114334416x a y y a a ⎛⎫⎡⎤=-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭143416a a ⨯+≥ 6716a =．当且仅当114x =且11)y y ，即11114x y ==，同时成立时，S 取得最小值6716a ，以上同解法一． 16．（湖南文21 本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．17．（江苏9）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3218．（江苏13）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ▲ .19．（江西理9）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3220．（江西理13）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ▲ .21．（江西文8）若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >22．（辽宁理12）已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值23．（辽宁理22 本小题满分12分）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =．（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥．24．（辽宁文22 本小题满分12分）已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围． 25.（全国一理20 本小题满分12分） 设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥， 故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x +=，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （11）（全国一文）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）Ａ．19Ｂ．29 Ｃ．13Ｄ．2326.（全国一文20本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．27．（全国二理22 本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．28．（全国二文8）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．429．（全国二文22本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

安徽省07年高考模拟试题分类解析23——导数1．（(安徽省淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试5)理）若函数x e x f x sin )(=，则此函数图象在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ）A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角2、（(安徽省淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试5)文）曲线3123y x =-+在1x =-处的切线的倾斜角是（ ）A ．2π B .34π C ．4πD ．3π3．(安徽省合肥市2007年第三次教学质量检测数学12)过函数x x x x f sin 3cos )(-+=图象上一点的切线的倾斜角是θ，则θ的取值范围 A ．]43,3[arctan πB ．]43,3arctan [ππ- C ．]3arctan ,4[πD ．),43[]3arctan ,0[ππ⋃ 4、(安徽淮南2007年一模7)若a >3, 则方程x 3－ax 2+1=0在(0, 2)上恰有（ ）A 、0个根B 、1个根C 、2个根D 、3个根5、(安徽淮南2007年文科一模7)若f (x )= x 3－ax 2+1，则在点(0, 1)处曲线 f (x )的切线有（ ）A 、0条B 、1条C 、2条D 、3条 6．(安徽巢湖2007届3月联考7)已知函数f （x ）的导函数)('x f 的图像如左图所示，那么函数f （x ）的图像最有可能的是右图中的 A7.(安徽巢湖2007二模8)设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( C )8.(安徽巢湖2007二模5)若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，则其导函数）（x f '的图象可能是（ C ）9．（(皖南八校2007届一联文6）函数3445)(x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．（53，+∞） B ．（－∞，53） C ．（－53，+∞） D ．（－∞，－53） 10.（(皖南八校2007届一联理6）已知函数f (x )=x sin x +cos x ，则f (－3)与f (2)的大小关系是 （ ）A ．f (3)<f (2)B ．f (－3)>f (2)C ．f (－3)=f (2)D ．不能确定11．（(皖南八校2007届一联文7）已知函数f (x )=x 3+ax 2+(a +6)x +1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >212．（(皖南八校2007届一联9文）已知m x x x f +-=2362)(（m 为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上有最小值为（ ） A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．－1113 .（(皖南八校2007届一联理10）若函数在d cx x x x f +++=2321)(在[1，2]上为减函数，则c 的取值范围是（ ） A ．c ≤－8 B ．c ≤－3 C ．c ≤0 D ．c ≤114、(2007年安徽高考仿真二3)若函数f (x)= e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为 A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角 15、(2007年安徽高考仿真二11)已知222lim 2x x cx a x →++=-，且函数ln by a x c x=++在(1,)e 上具有单调性，则b 的取值范围是A 、(,1][,)e -∞+∞B 、(,0][,)e -∞+∞C 、(,]e -∞D 、[1,]e16．(安徽合肥2007年一模文2）过曲线y=x 2－2x －1上一点（2，－1）且与曲线相切的直线方程为 （ ）A ．2x －y －5=0B ．2x+y －3=0C ．x+2y=0D ．x －2y －4=017．(安徽省三市2007年第二次联合质量检测4月理科14)函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为 (0,1) ．18．(安徽合肥工大附中2007届第四次月考文14）与抛物线322--=x x y 相切且与直线012=+-y x 垂直的直线方程为 057168=++y x .19.(安徽巢湖2007二模)16关于函数⎩⎨⎧>-≤-=-）（）（0 120 2)(x ax x e x f x ，（a 是常数且a ＞0）。