2008年高考数学试题分类汇编
数列
一．选择题：
1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ）
A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3
2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，
10
a 10S A ．64 B ．100
C ．110
D ．120
8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C
A.63
B.64
C.127
D.128
9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，4
1
252=
=a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=C （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）
332（n --41） （D ）3
32（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2
S a =（ C ） A. 2 B. 4 C.
15
D.
17 ,b 若
－
4.（湖北卷15）观察下列等式： ……………………………………
可以推测，当x ≥2（*
k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-=
==+ 12
k 2k a -= .，0
5.（重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72
三．解答题： 1.（全国一22）．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；
（Ⅲ）设1(1)b a ∈，
，整数11ln a b
k a b
-≥．证明：1k a b +>．
1， 若存在某≤满足i ，则由⑵知：1k i +
2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则k
k k k a a b a b a ln 1--=-+ b ka b a ln 11--≥)(1
1b a b a --->0=，即1k a b +>成立. 2.（全国二20）．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ． （Ⅰ）设3n
n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值范围．
解：
（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n
n n S S +=+，
由此得1
13
2(3)n n n n S S ++-=-． ······················· 4分
因此，所求通项公式为
13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················· 6分
1n n -*
2分 【解】：由题意知12a =，且
两式相减得()()1121n
n n n b a a b a ++--=-
即12n
n n a ba +=+ ①
（Ⅰ）当2b =时，由①知122n
n n a a +=+
于是()()1122212n
n
n
n n a n a n +-+?=+-+?
又1
112
10n a --?=≠，所以{}
12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11
22n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+
当2b ≠时，由由①得 因此11112222n n n n a b a b b ++??-
?==-? ?--??
得1
211n n n n a -=??=???? 6n +32 ……
21n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得2
11n n a a q q --+++=L （2n ≥）．
所以当2n ≥时，1
1,,.
1,111n n q q q a n q
-≠=?-+
?=-???
上式对1n =显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5
2
2
8
q q q q -=-，由0q ≠得3
6
11q q -=-， ①
整理得323()20q q +-=，解得32q =-或3
1q =（舍去）．于是q =
另一方面，2113
3
(1)11n n n n n q q q a a q q q
+--+--==---，
则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3
1110k k a ca c c +=+-≥-=≥
1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立
(2) 设 1
03
c <<
，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时， 103
C <<
∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥
(3) 设 103c <<
，当1n =时，2
120213a c
=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1
1(3)0n n a c -≥->
6.（山东卷19)。(本小题满分12分)
将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1
a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
……
项
则(12)1(1)12(1)
k k S q k k k k =
==--+-+g （k ≥3）. 7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求
1
a d
的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．
若删去2a ，则有2
314,a a a =g 即()()2
11123a d a a d +=+g 化简得2
14a d d +＝0，因为d ≠0，所以
1
a d
=4 ； 若删去3a ，则有2
14a a a =g ，即()()2
1113a d a a d +=+g ，故得
1
a d
=1．
n a 数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且
113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.
（1）求,n n a b ； （2）求证
121113
4
n S S S +++3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64n n nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-?====?
??=+=?
①
由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==
1
n -λ（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 2
2=a 1a 3,即
,0949
4
9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1
［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1
(
3
2
a n -2n +14) =
32(-1)n
·（a n -3n +21）=-3
2b n 又b 1x -(λ+18),所以
当λ＝－18，b n =0(n ∈N +
),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴
3
2
1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3
2
为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－
3
2）n -1
，于是可得
）. (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n n a b S b b b a -=
=+++L 证明：当1
62.n n S n
≥-<时， 解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2
2
311(1cos
)sin 12,2
2
a a a π
π
=++=+=
一般地，当*
21(N )n k k =-∈时，2
22121(21)21
[1cos
sin 22
k k k k a a ππ+---=++
＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=
所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=
当*
2(N )n k k =∈时，2
2222222(1cos
)sin 2.22
k k k k k a a a ππ
+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k
k a =
故数列{}n a 的通项公式为*
21,21(N ),2
2n n n n k k a +?=-∈?=?
令2
(2)
(6)2n n n c n +=
≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683
1.644
n c c ?≤==< 于是当6n ≥时，
2
(2)
1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，1
2.n S n
-<
11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的首项13
5a =
，1321n n n
a a a +=+，12n =L ，，．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??
-- ?++??
≥
，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2
121
n n a a a n +++>+L ．
则22
121111
11133n n
n n n n a a a n n n +++=>
+??+-+- ???
L ≥． ∴原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n
f x x x x ??
=
-- ?++??
，
则2222
22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????
-+--+- ? ?????'=-
-=+++g
0x >Q ， ∴当23n x <时，()0f x '>；当2
3
n x >时，()0f x '<，
∴当2
3n
x =
时，()f x 取得最大值212313n n n
f a ??
== ???+．
}的 21
.2x ≥ ③
下用反证法证明：2211
..22
x x ≤>假设
由①得2121131
2()(2).22
n n n n n n x x x x x x ++++++=+++
因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为1
2
的等比数列.故
*
121111((N ).222
n n n x x x n +--=-∈ ④
又由①知 211111311
()2(),2222
n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-
是首项为21
2
x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211
()(2)(N ).22
n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得
1*221511
(2)()(2)(N ).222
n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得
，
数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1
4
q =
，求{}n x 的前n 项和n S ． 【解析】（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==
αβ ∴+=+=p
αβ，
==q αβ
（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得
+=??=?
s t p st q ， 消去t ，得2
0-+=s ps q ，∴s 是方程2
0x px q -+=的根，由题意可知，
12,==s s αβ
∴
数列
{
}
n
n
x α是以1为公差的
等
差
数
列
，
1
2(1)111∴
=
+-?=
+-=+n
n
x x n n n α
αα
α
,∴=+n n n x n αα
综上所述，11
,(),()++?-≠?
=-??+=?
n n n n n x n βααββααααβ
（3）把1p =，14q =
代入20x px q -+=，得2
104-+=x x ，解得12
==αβ
14.（浙江卷22）（本题14分） 已知数列
{}
n a ，0≥n a ，01=a ，)(12
121?++∈=-+N n a a a n n n ．记
n
n a a a S +++=Λ21．
)
1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=
ΛΛ． 求证：当?
∈N n 时，
11k k k ++得22
231()(1)n n a a a a n a ++++--=L ． 因为10a =，所以2
1n n S n a =--．
由1n n a a +<及22
11121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-． （Ⅲ）证明：由22
1112k k k k a a a a +++=+≥，得
所以
2342
1
(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++L ≤≥，
于是
2222
232211
(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++L ≤≥，
故当3n ≥时，211
11322
n n T -<++
++分
分
那么当n =k +1时，
22
221122(1)(1)(1)(2)(2)k
k k k k k
a a
b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．
所以当n =k +1时，结论也成立．
由①②，可知2
(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ·········· 7分
（Ⅱ）
11115
612
a b =<+．
n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． ··········· 9分
故
112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??
+++<++++ ?+++??+??
…… 综上，原不等式成立． ··························· 12分
