应用题
1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和
7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C
【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件
08071210672219
x y x y x y x y ≤≤??≤≤??
+≤??+≥?+≤??画
出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7
5x y =??=?代入目标函数4900z =
2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，
这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）
与时间t （单位：年）满足函数关系：30
0()2
t
M t M -
=，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为
???
???
?
≥<=A
x A
c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A
件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距
10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等
差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
【答案】67
66
6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大
桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20
辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()
v x 的表达式;
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()
.f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分
12分）
解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设
再由已知得
1,2000,32060,200.
3a a b a b b ?
=-?+=???
?+=??=??解得
故函数()v x 的表达式为60,020,()1
(200),202003x v x x x ≤≤??=?-≤≤??
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1
(200),202003x x f x x x x ≤
当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；
当20200x ≤≤时，
211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=
当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。
所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000
.
3
综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000
3333
3≈。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
7.（湖南理20）。如图6，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，
速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为
()
c c R ∈。E 移动时单位时间内的淋雨
量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与
v c
-×S
成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1
2，记y 为E 移动过程中的
总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3
2时。
（Ⅰ）写出y 的表达式 （Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。
解：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||20
2v c -+
， 故100315(||)(3||10)
202y v c v c v v =-+=-+，
（II ）由（I ）知
当0v c <≤时，55(310)
(3310)15;
c y c v v v +=-+=- 当55(103c)
10,y (3v 3c 10)15.
v v c v -<≤=-+=+时
故(310)
15,0,5(103)15,10.c v c v
y c c v v 5+?-<≤??=?
-?+<≤??
（1）当
10
03c <≤
时，y 是关于v 的减函数， 故当
min 310,20.
2c
v y ==-时 （2）当10
5
3c <≤时，在
(]0,c 上，y 是关于v 的减函数， 在
(],10c 上，y 是关于v 的增函数，
故当
min 50,.v c y c ==
时
8.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去
阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高
与底面边长的比值。
本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读
能力及解决实际问题的能力。满分14分. 解：设馐盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得
