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高一数学映射 人教版
§2.1 映射
教学目标
1.使学生了解映射的概念、表示方法.
2.使学生了解象、原象的概念.
3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念.
4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。
教学重点
映射、一一映射的概念.
教学难点
映射、一一映射的概念.
教学方法
讲授法.
教具准备
幻灯片4张：
第一张：课本P47图2—1中四个对应图（记作A）。
第二张：初中学过的对应的例子（记作B）。
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。
第三张：判断下面的对应是否为映射（记作C）
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应，这个对应是否为集合A到集合B的映射？为什么？
（2）设A=N+，B={0，1}。集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数和集合B中的元素对应”，这个对应是否为集合A到集合B的映射？为什么？
第四张：课本P48图2—2。（记作D）。
教学过程
（I）复习回顾
师：前面一章，我们学习了元素与集合之间的关系 “∈”、“∉”，集合与集合之间的关系
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第5讲 映射、函数的概念
1.函数的定义
（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。
（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
2.函数的定义域
函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。如函数yx的定义域为{x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。
求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。
求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：
①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。
3.函数的对应法则
对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如f(x)=2x+6，f表示2倍的自变量加上6，如f(3)=2×3+6=12。
高考数学知识点解析映射的满射、单射与双射
高考数学知识点解析：映射的满射、单射与双射
在高考数学中，映射是一个重要的概念，而其中的满射、单射与双射更是经常被考查的重点。理解这些概念对于解决函数相关的问题以及培养逻辑思维能力都有着至关重要的作用。
首先，让我们来认识一下什么是映射。简单地说，映射就是一种对应关系。给定两个集合 A 和 B，对于集合 A 中的每一个元素，在集合
B 中都有唯一确定的元素与之对应，这种对应关系就叫做从 A 到 B 的映射。
满射，也称为映满或到上的映射。通俗地讲，如果在映射 f：A →
B 中，集合 B 中的每一个元素都至少是集合 A 中某一个元素的像，那么就称这个映射 f 是满射。比如说，集合 A ＝ ｛1, 2, 3}，集合 B ＝
｛4, 5}，如果映射关系是 f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 5，那么这个映射就是满射。因为 B 中的 4 和 5 都能在 A 中找到对应的原像。
单射，又称为一对一的映射或入射。在映射 f：A → B 中，如果对于集合 A 中任意两个不同的元素，它们在集合 B 中的像都不同，那么就称这个映射 f 是单射。举个例子，集合 A ＝ ｛1, 2, 3}，集合 B ＝
｛4, 5, 6}，映射关系为 f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6，因为 A 中 1、2、3 对应到 B 中的 4、5、6 各不相同，所以这是一个单射。 双射，也被称为一一映射。一个映射既是满射又是单射，那它就是双射。这意味着集合 A 中的每一个元素都能在集合 B 中找到唯一的对应元素，并且集合 B 中的每一个元素也都能在集合 A 中找到唯一的原像。例如，集合 A ＝ ｛1, 2, 3}，集合 B ＝ ｛4, 5, 6}，映射 f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6，这既是满射又是单射，所以就是双射。
理解这三种映射的概念对于解决数学问题有很大的帮助。比如在判断函数的性质时，我们可以通过判断其对应的映射是满射、单射还是双射，来确定函数的一些特点。
映射高等数学
高等数学中，映射是一个重要的概念。在高等数学中，映射是指一种关系，它定义了从一个集合（或多个集合）到另一个集合的对应。
对于两个非空集合X和Y，如果存在一个法则f，使得X中的每一个元素x都有唯一的y与之对应，那么我们称f为从X到Y的一个映射。这个映射由定义域X、值域Y以及对应法则f三个要素构成。
在映射中，每一个x都只有一个y与之对应，这是映射的唯一性。同时，映射可以不是双射或满射。
对于单射，每个x都有唯一的y与之对应；对于满射，每个y都至少有一个x与之对应；既是单射又是满射的映射被称为双射或一一映射。
此外，如果存在一个从X到Y的一一映射f，那么对于每个y∈Y，都存在唯一确定的x∈X满足f(x)=y。这个映射f的逆映射是存在的，它是从Y到X的一一映射。
复合映射是由两个或多个映射组合而成的。设有两个映射g：X→Y₁和f：Y₂→Z，其中Y₂⊂Y₁，那么由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每一个x∈X映成f[g(x)]∈Z。这个法则确定了一个从X到Z的映射，称为复合映射，记作f▫g：X→Z。
总之，映射是高等数学中的一个基本概念，它在许多数学分支中都有广泛的应用。掌握映射的定义和性质是理解高等数学的基础。
