高一数学第二章函数同步辅导讲义

高一数学第二章讲解一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高一数学第二章的内容。

该章节涵盖了高中数学的基础知识与核心概念，包括函数的概念、性质、图像以及简单的函数变换等。

我的任务是使学生通过系统的学习，掌握函数的基本理论，形成对函数的直观认识，并能运用所学知识解决实际问题。

此外，我还需引导学生理解数学的抽象思维方式，培养他们的逻辑推理和数学思维能力。

2、教学对象本章节的教学对象是高中一年级的学生。

他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但面对更为抽象的函数概念，可能仍感到困惑。

因此，我需要针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，帮助他们顺利过渡到高中数学的学习，激发他们对数学的兴趣和探索欲望。

同时，考虑到学生个体差异，教学过程中应注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解函数的概念，掌握函数的定义及其表述方式，能够识别并区分不同类型的函数。

（2）掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，并能够运用这些性质解决相关问题。

（3）学会绘制函数图像，掌握基本初等函数的图像特点，能够通过图像分析函数的性质。

（4）掌握基本的函数运算，如函数的加、减、乘、除以及反函数的求法，并能够应用于实际问题的解决。

（5）学会运用函数模型解决实际问题，培养建模能力和实际应用能力。

2、过程与方法（1）通过启发式教学，引导学生积极参与课堂讨论，培养他们的逻辑思维和数学表达能力。

（2）采用问题驱动的教学方法，鼓励学生主动探究，发现问题，解决问题，提高他们的自主学习能力。

（3）运用案例分析法，让学生在实际问题中感受函数的应用价值，培养他们的数学应用意识。

（4）结合信息技术，如数学软件、图形计算器等，辅助教学，提高学生对函数图像和性质的直观认识。

（5）注重团队合作，开展小组讨论和交流，培养学生协作能力和沟通能力。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使他们形成积极向上的学习态度。

高一数学第二章 第1节 函数新人教B 版必修1一、学习目标：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； （2）了解分段函数及其表示； （3）会求某些函数的解析式。

二、重点、难点：重点：函数的三要素难点：函数解析式的表示方式，理解和表示分段函数三、考点分析：函数是数学中的重要概念之一，它贯穿于中学代数学习的始终，高考主要考查求解析式和函数的定义域、值域，考查内容具有综合性。

1.函数的概念设B A ,是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =。

其中x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做因变量，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集。

2.函数的三要素一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域如果两个函数的定义域、对应关系和值域都相同，就称这两个函数相同。

（1）已知函数的解析式求函数的定义域，即求使函数的解析式有意义的自变量的取值集合，一般要考虑以下几点：①如果是分式，分母不能为0；②如果是偶次根式，被开方数不能小于0；③对于0,0≠=x x y 有；④对于实际问题，要考虑其实际意义。

（2）求函数)(x f y =的值域，就是求y 的取值X 围，即求所有函数值组成的集合，常用的方法有：①配方法；②分离常数法；③换元法；④判别式法。

（3）求函数解析式即求函数的对应关系常用的方法有：①凑配法；②换元法；③待定系数法；④构造法。

知识点一：函数的定义域、值域、对应关系例1. 判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数：（1）2)(x x f =，2)()(x x g = （2）2)(x x f =，2)1()(+=x x g（3）11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x g（4）x x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=)0x (,x )0x (,x )x (g（5）0)(x x f =，)0(1)(≠=x x g （6）x x x f 1)(+=，tt t g 1)(+= 【思路分析】【题意分析】逐一分析两个函数的定义域、对应关系和值域。

第2章函数定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域;如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域.【例1】求下列函数的值域:(１）y＝错误!未定义书签。

；（2）y=错误!未定义书签。

；(３)f(x）＝x＋3ｘ-２.思路点拨：(1)用直接法(观察法）；(２)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法;(3)中含有根式，可利用换元法求解．［解](1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2ｘ≥0,即x≥０.所以函数ｙ=错误!未定义书签。

的定义域为[０，+∞)，因此错误!未定义书签。

≥０，所以函数y＝错误!的值域为［0,+∞).ﻬ（２）法一（分离系数法)：y＝错误!未定义书签。

=错误!＝2+错误!。

而错误!未定义书签。

≠0，所以2＋错误!未定义书签。

≠2,因此函数y=错误!的值域为(-∞,2)∪（2，+∞)．法二(反解法)：因为分式的分母不能为零,所以x+3≠０，即x≠－3,所以函数y＝错误!的定义域为｛x∈Ｒ|x≠－3｝．又由y=错误!未定义书签。

，得x＝错误!未定义书签。

而分式的分母不能为零,所以２－y≠0,即ｙ≠2.所以函数y＝错误!未定义书签。

的值域为(-∞,２)∪(2，＋∞).(3）令3x-２＝ｔ,则t≥0，x=错误!未定义书签。

=错误!ｔ2＋错误!未定义书签。

,∴y=13ｔ2+错误!+t＝错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

-错误!.∵t≥０，∴y≥错误!未定义书签。

,∴函数f（x)=x＋错误!未定义书签。

的值域为错误!未定义书签。

常见的求值域的方法(1)直接法(观察法):对于有些函数直接求出函数值,并将所有函数值组成集合,就得到函数的值域.例如求函数ｆ(x）=5x＋1 (ｘ∈{1，2，3,４})的值域,只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数ｆ(ｘ）的值域为{6，１1,16，21｝。

数学必修一第二章函数知识点
第二章函数知识点包括以下几点：
1. 函数的定义：函数是一种确定的关系，把一个数集的每一个元素都对应到另一个数集的唯一元素上。

函数可以用公式、图像或者表格来表示。

2. 自变量和因变量：函数中，自变量是输入的数值，通常用x表示；因变量是输出的数值，通常用y表示。

函数表示为y = f(x)。

3. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

4. 函数的图像：函数的图像是函数关系的几何反映，通常用平面直角坐标系或者极坐标系来表示。

5. 常见函数的类型：
- 线性函数：y = ax + b，其中a和b是常数，直线图像。

- 幂函数：y = x^n，其中n是正整数，曲线图像。

- 指数函数：y = a^x，其中a是大于0且不等于1的常数，曲线图像。

- 对数函数：y = log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数，曲线图像。

- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

6. 函数的性质：
- 奇偶性：如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

- 单调性：函数在某个区间上的函数值随着自变量的增加或减小而单调增加或减小。

- 周期性：如果函数存在一个正数T，对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数具有周期T。

这些是数学必修一第二章函数的主要知识点，还有一些其他的概念和性质需要进一步学习和理解。

第二章函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容1．映射、一一映射的定义和概念的理解2．函数的定义、表示。

3．函数的三要素及函数的表达方法。

二、重点、难点讲解1．映射、一一映射〔1〕集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则f.其中集合A和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.〔2〕一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：①集合A中的每一．．个．元素〔一个不漏地〕在集合B中都有象〔但集合B中的每一个元素不一定都有原象〕；②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一．．的一个〔集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个〕.也就是说，图1和图2〔3〕对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则这样的映射称为“集合A到集合B上．的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A 到集合B上的一一．．映射”.例1如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={a、b、c、d、e}.判断以下对应中，〔1〕哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；〔3〕哪些是集合A到集合B上的一一映射.图3①BA②③BA④图1 图2解〔1〕②和④是集合A 到集合B 的映射，①中集合A 的元素3在集合中没有象；③中集合A 的元素3在集合B 中有两个象，它们都不是映射.〔2〕②是集合A 到集合B 上的映射.④中集合B 的元素b 在集合A 中没有原象. 〔3〕②是集合A 到集合B 上的一一映射. 例2 已知集合A={30≤≤x x }，B={10≤≤y y }.判断以下各对应f 是否是集合A到集合B 的映射？一一映射？并说明理由. (1)f :x y x 31=→； (2) f :x y x 41=→；(3)f :2)2(-=→x y x ； (4) f :291x y x =→；(5)f :2)1(41-=→x y x解 〔1〕∵30≤≤x ， ∴1310≤≤x . 因此对集合A 的每一个元素x ，B x y ∈=31，所以对应f :B A →是集合A 到集合B 的映射.对于集合B 中的每一个元素y ，由y x3=及10≤≤y ，有30,330≤≤≤≤x y .即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f :B A →是一一映射.〔2〕∵30≤≤x ， ∴43410≤≤x .所以对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，因此对应f :B A →是映射.而集合B 中有些元素，如1=y ，在集合A 中没有原象，因此映射f :B A →不是一一映射. 〔3〕∵30≤≤x ， ∴122≤-≤-x ， ∴4)2(02≤-≤x .由此知集合A 的某些元素，如0=x ，在集合B 中没有象，因此对应f :B A →不是映射，更不是一一映射.〔4〕∵30≤≤x ， ∴19102≤≤x .因此对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f :B A →是映射.由291x y=，对于集合B 中的每一个元素y ，A y x ∈=3，即集合B 中的每一个元素在集合A 中有唯一的原象，因此映射f :B A →是一一映射.0=x 和2=x ，都对应于集合B 中的同一个元素41，所以对应f :B A →是映射，但不是一一映射. 2. 函 数〔1〕函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的. 集合A 到集合B 的映射f :B A →要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A 、B都是非空集合；②集合A 、B 都是数的集合.其中集合A 就是函数的定义域，而集合B 不一定是值域.一般地说，值域C 是集合B 的子集，即B C ⊆.〔假设集合B C =，则这个映射就成为集合A 到集合B 上的映射〕. 〔2〕函数的三要素.定义域A ，值域C 和定义域A 到值域C 的对应法则f，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. 〔3〕区间设a 、R b ∈，且b a <.用闭区间[b a ,]表示集合{b x a x ≤≤}，用开区间),(b a 表示集合{b x a x <<}，用半开半闭区间],(b a 表示集合{b x a x ≤<}，用半开半闭区间),[b a 表示集合{b x a x <≤}.〔4〕函数的表示法.函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号)(x f 和)(a f 〔a 为常数〕的区别.一般情况下，)(x f 是一个随自变量x 的变化而变化的变量，而)(a f 是当自变量a x =时函数的值，是一个确定的量.与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中〔或不同条件下〕表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线.例3 判断以下各对函数是否是同一个函数，并说明理由. (1) 2)(x x f = ， 2)()(x x g = ；(2).)(33x x f = ， x x g =)( ；(3)11)(2+-=x x x f ， 1)(-=x x g ； (4)1)(-=x x f ， ⎩⎨⎧<->-=);1(,1),1(,1)(x x x x x g (5)2)(x x f = ， x x g =)( ；(6)21)(x x f -= ， 21)(t t g -= .解 〔1〕不是同一个函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为),(+∞-∞和),0[+∞.〔2〕不是同一个函数，它们的对应法则和值域都不同.x x f =)( ，其值域为),(+∞-∞； x x g =)(，其值域为),0[+∞.),1()1,(+∞---∞ 和),(+∞-∞.〔4〕不是同一个函数，它们的定义域不同，定义域分别是),(+∞-∞和),1()1,(+∞-∞ .〔5〕是同一个函数，)()(x g x x f == .〔6〕是同一个函数，虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、值域和对应法则都相同.例4 已知32)(-=x x f ， 12)(2+=x x g ，求 )]([x g f 和 )]([x f g .解)]([x g f =143)12(23)(222-=-+=-x x x g .)]([x fg =192481)32(21)]([2222+-=+-=+x x x x f .评析 由此可见，在求)]([x g f 时，只要用)(x g 代替)(x f 表达式中的x ，然后再将)(x g 的表达式代入其中，就可以求得)]([x g f .一般来说，)]([)]([x f g x g f ≠.例5 〔1〕已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧-,12,2,02x 求)2(f ，)1(-f ，)]0([f f ，)]22([-f f ； 〔2〕已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<--≤+=),2(,23),21(,),1(,32)(2x x x x x x x g 且3)(=t g ， 求t .解 〔1〕∵02>， ∴0)2(=f .∵01<-， ∴11)1(2)1(2=--⋅=-f .0)2()]0([==f f f .2)0(]1)22(2[)22([2==--⋅=-f f f f . (2)当132)(,1≤+=-≤x x g x ； 当40,212<≤<<-x x ；当423)(,2≥-=≥x x g x ..3),2,1(3.3,3)(,3)(2=∴-∉-±===∴=t t t t g t g例6 〔1〕画出函数342+-=x x y 的图像；〔2〕画出函数342+-=x x y 的图像；〔3〕已知函数)(x f y =的图像如右图，写出)(x f 的解析式.解 〔1〕⎩⎨⎧<-+≥--=+-=).0(,1)2(),0(,1)2(34222x x x x x x y (x > 0), (x = 0),(x < 0),图像如以下图左. (2)当0342≥+-x x ,即1≤x 或3≥x 时，1)2(3422--=+-=x x x y ；当0342<+-x x，即31<<x 时，1)2(34)34(222+--=-+-=+--=x x x x x y .∴⎨⎧≥≤--=),3,1(,1)2(2x x x y 或 〔2〕由第〔2〕题可见，画)(x f y =的图像，只要把)(x f y =的图像在x 轴下方部分“翻到”x 轴上方，即作出这一部分图像关于x 轴的对称曲线，而在x 轴上方的曲线保持不变，就可以得到函数)(x f y =的图像.〔3〕函数的定义域如果没有特别说明，通常指使式子有意义的一切自变量x 的集合，在实际问题中，还应考虑自变量x 要满足的实际问题的条件.我们现在涉及到的使式子有意义的情况，仅是分母不能为零，负数不能开偶次方.今后学习了其他函数，还会出现另外一些情况. 例7 求以下函数的定义域： 〔1〕 2312+-=x x y； 〔2〕xy 21211++= ；〔3〕7522--=x x y .解 〔1〕.21,0)2)(1(,0232≠≠≠--≠+-x x x x x x且∴定义域为{}R x x x x ∈≠≠,2,1且.〔2〕由;0,2≠x x由22212+=+x xx, 2-≠x ； 由2232212121++=++=++x x x x x, 32-≠x . ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠≠≠R x x x x x,32,2,0且且 .〔3〕271,0)72)(1(,07522≥-≤≥-+≥--x x x x x x或 . ∴定义域为}27,1{≥-≤x x x或.评析 对于繁分式，一条分数线即有一个限制条件，此题有三条分数线，因此有三个限制条件.例8 已知函数)(x f y =的定义域为[-1，2]，求函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域. 解 由)(x f 中的x 必须满足21≤≤-x ，因此)(x g 中的x 必须满足：⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-,211,211x x 即 ⎩⎨⎧≤≤≤≤-.30,12x x∴)(x g 的定义域为{}10≤≤x x .例9 〔1〕已知11)11(2-=+xx f ，求)(x f ；〔2〕已知函数)(x f 的定义域是),0()0,(∞-∞ ，且x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ；(3)已知32)2(+=-x x f ，求)(x f .解 〔1〕设x t 11+=，则 11-=t x)1(≠t ， ∴t t t t f 21)1()(22-=--= )1(≠t ， ∴x x x f 2)(2-= )1(≠x .〔2〕由x x f x f4)1(2)(3=+， ① 将x 换成x 1，得xx f x f4)(2)1(3=+， ② 3×①－2×② ，得 xx x f812)(5-= ， ∴xx x f 58512)(-=. (x ≠0) 〔3〕令2-=x t ，则 2,)2(2-≥+=t t x .∴)2(11823)2(2)(22-≥++=++=t t t t t f . ∴).2(1182)(2-≥++=x x x x f例10 设⎩⎨⎧-=,1)(x f 解 由已知，-)1(x f ∴⎩⎨⎧≥<-=).1(,1),1(,1x x y图像如下图.一、选择题1．设f是从集合A B 中都有象；②集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；③集合A 中不同的元素在集合B 中的象也不同；④集合B 中不同的元素在集合A 中的原象也不同，其中正确的选项是 〔 〕A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④2．已知集合A={}60≤≤x x ，B={}30≤≤y y ，则以下对应关系f 中，不能看成是从集合A 到集合B 的映射的是 〔 〕A ．f ：x y x 21=→B ．f ：x y x 31=→C ．f：x y x =→ D ．f：x y x 61=→3．以下三个命题：①函数是从定义域到值域的一一映射；②函数的定义域和值域可能是数集，也可能不是数集；③函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 〔 〕A ．①B ．②C ．③D ．①和③4．以下各组函数：①2)(+=x x f ，44)(2++=x x x g ；②11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x g ；③xx f =)(，xx x g =)(；④1)(+=x x f ，⎩⎨⎧<--≥+=)0(,1)0(,1)(x x x x x g .其中)(x f 和)(x g 表示同一个函数的是 〔 〕 A ．① B ．①和② C ．③ D ．④ 5．函数xx y-=1的定义域是 〔 〕A ．),0()0,(+∞-∞B ．),1()1,0()0,(+∞-∞C ．)0,1()1,(---∞D ．)0,(-∞ 6．已知函数)(x f 的定义域是)1,0(，则函数)1(2-x f 的定义域为 〔 〕A ．)2,1( B ．)2,1()1,2( --C ．)0,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题7．已知),(y x 在映射f 下的象是)2,2(y x y x -+，则)3,1(在f下的原象是 。

第二章 函数二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f是不同的，前者为变数，后者为常数函数的三要素： 对应法则f 、定义域A、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 二、区间的概念及求定义域的方法1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示{x|a ≤x ≤b}闭区间[a ，b]{x|a<x<b}开区间(a ，b){x|a ≤x<b}左闭右开区间[a ，b]{x|a<x ≤b}左开右闭区间 (a ，b)这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 2．求函数定义域的基本方法3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 三、映射设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应， 这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫 做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫 做元素b 的原象 关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）求平方B B①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性； ④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？ 回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都 有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可； 课 题：2.2函数的表示法讲解新课：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.函数值域的表示方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当ab x 2-=时，其最大值a b ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论4．换元法例．求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数例．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解 课 题：2.3 函数的单调性讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.间而言的.些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3．函数单调性的证明例1．判断并证明函数3)(x x f =的单调性 证明：设21x x <则)x x x )(x x (x x x )f(x )f(x 22212121223121++-=-=-∵21x x < ∴021<-x x ，043)2(22221222121>++=++xx x x x x x ,∴021<-)f(x )f(x 即)f(x )f(x 21< （注：关键021<-)f(x )f(x 的判断） ∴3)(x x f =在R 上是增函数. 4．复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 课 题：2.4 反函数讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=2、探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.4．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同课 题：2.5 指数函数1、定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反. 2、性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： na x ±=③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为03、常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）.注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.分指数1.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 指数函数1．指数函数的定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x 2，y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，y=x 10，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛101的图象.课题 2.6对数函数新课讲解对数的定义定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数1642=⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4= ; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围,0(+∞对数的性质积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±对数换底公式及推论1.对数换底公式：aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log ===对数函数1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数 对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞2．对数函数的图象由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x ay =的图象关于直线x y =对称xa y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质3．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表课题2.6 幂函数新课讲解定义：一般地，我们把形如a=y x的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。