高中数学 第13课时《映射》教案(学生版) 苏教版必修1

苏教版数学必修一映射的概念公开课（教学设计）上学期三维目标：一.知识与技能：1.理解映射的概念，并会判断某些对应是否为集合A到集合B的映射；2.正确区分映射与函数概念，函数是一类特殊的映射，映射是函数概念的推广。

二.过程与方法：1．渗透特殊与一般的思想；2．类比函数的概念，启发学生得出映射的概念。

三. 情感，态度与价值观：1．通过分析，讨论，启发，类比使学生理解并掌握映射的概念；2．让学生感知函数的概念是映射的概念的生长点，了解知识间的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

教学重点：1．理解映射的概念；2．映射与函数的本质区别和联系。

教学过程：一.问题情景：在学习函数概念时，我们曾遇到过这样一个问题：判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：（其中为的面积）A={三角形}，B=R，:f x y y x二.学生活动：（学生讨论。

）问题1：函数是什么？问题2：上述问题中哪一点不符合函数的概念？（提问学生。

）结论：函数概念中对集合A，B要求是非空数集，而上述问题中A为三角形的集合，仅这点不符合函数概念。

问题3：就因为这一点不满足函数概念而被函数家族拒之门外，这是否有些可惜啊？你能否举些类似的例子？（从生活中，数学中找）（学生讨论。

）如：（1）高一（6）班的每一位学生都有唯一的学号与之对应；（2）高一（6）班的每门学科都有唯一的老师与之对应；（3）数轴上的每一个点都有唯一的数与之对应；x y与之对应。

（4）坐标平面内每一点都有唯一的有序实数对(,)三. 数学建构：既然现实世界和数学世界都存在大量类似的单值对应，但又不是函数，我们就有必要研究它，给出一个具体的、明确的概念——映射。

定义：一般地，设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射（mapping ），记作:.f A B →注意点：1. 定义中的关键字“每一”、“唯一”；2. 映射:f A B →与:f B A →一般是不同的；3. 函数是映射概念的生长点，映射是函数概念推广的结果，区别是：函数对集合A ，B 要求是非空数集，映射对集合A ，B 则没有要求。

第19课 映射【知识点导航】1．设B A f →:是从集合A 到集合B 的映射，下列结论中，正确的是（ ）A ．B 必是与A 中元素对应的元素的集合B ．A 中的每一个元素在B 中必有元素与之对应C ．B 中每一个元素在A 中必有惟一元素与之对应D ．B 中的每一个元素在A 中必有元素与之对应2.已知}20{},40{≤≤=≤≤=y y Q x x P ，下列不表示从P 到Q 的映射的是（ ） A ．2:x y x f =→ B ．3:x y x f =→ C ．23:x y x f =→ D ．52:x y x f =→ 3.}{},{内的圆平面内的三角形是平面ααx B x x A ==,f ：三角形的内接圆三角形→，那么从A 到B 的对应 映射 函数（填“是”或“不是”）【典型例析】例1 下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射的个数是（ ）（1）2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== （2）2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-=（3）21:},0{,x y x f y y B R A =→>== （4）12:,,+=→==x y x f R B R AA ．1B ．2C ．3D ．4思路点拨 根据映射的定义，判断一个对应是否是映射，只要检验A 中的任何元素是否在B 中都有唯一的元素与之对应。

例2 已知}4,3{},2,1{==B A 集合，从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？请用图表示. 思路点拨 根据映射的定义画出所有的对应图。

【巩固练习】1．下列对应法则f 中，构成从集合P 到S 的映射的是 ---- （）A ．xy x f y y S y R P x =→<=∈=∈:,}0{,B ．2:,,x y x f N S y N P x =→=∈=∈+ 数轴上的点有理数数轴上的点有理数→==:}{}{.f ，S P C D. 以上答案都正确2.设映射,:N M f →对应法则f 使N 中元素2x y =与M 中元素x 对应，要使N M f →:不是映射,则M ，N 为（ ）。

高一数学教案：《映射》教学设计高一数学教案：《映射》教学设计教学目标1．了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．（1）明确映射是特别的对应即由集合，集合和对应法则f三者构成的一个整体，知道映射的特别之处在于必需是多对一和一对一的对应；（2）能精准使用数学符号表示映射，把握映射与一一映射的区分；（3）会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法．2．在概念形成过程中，培育同学的观查，比较和归纳的力量．3．通过映射概念的学习，逐步提高同学对学问的探究力量．教学建议教材分析（1）学问结构映射是一种特别的对应，一一映射又是一种特别的映射，而且函数也是特别的映射，它们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：由此我们可从集合的包含关系中帮忙我们把握相关概念间的区分与联系．（2）重点，难点分析本节的教学重点和难点是映射和一一映射概念的形成与熟悉．①映射的概念是比较抽象的概念，它是在学校所学对应的基础上进展而来．教学中应特殊强调对应集合中的唯一这点要求的理解；映射是同学在学校所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是"对B中之唯一'，而只要是对应就必需保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满意一对一和多对一的对应就能体现出"任一对唯一'．②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，打算了它在学习中是比较困难的．教法建议（1）在映射概念引入时，可先从同学熟识的对应入手，选择一些详细的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种状况，让同学仔细观查，比较，再引导同学发觉其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让同学的熟悉从感性熟悉到理性熟悉．（2）在刚开头学习映射时，为了能让同学看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让同学可以比较直观的熟悉映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：，．这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系．除此之外，映射的一般表示方法为，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面熟悉函数是三件事构成的整体是特别有帮忙的．（3）对于同学层次较高的学校可以在给出定义后让同学依据自己的理解举出映射的例子，老师也给出一些映射的例子，让同学从中发觉映射的特点，并用自己的语言描述出来，最终老师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于同学层次较低的学校，则可以由老师给出一些例子让同学观查，老师引导同学发觉映射的特点，一起概括．最终再让同学举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特殊是求原象的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不怜悯况(有唯一解，无解或有很多解)加深对映射的熟悉．（5）在教学方法上可以采纳启发，商量的形式，让同学在实例中去观查，比较，启发同学查找共性，共同商量映射的特点，共同举例，计算，最终进行小结，老师要起到点拨和深化的作用．教学设计方案2.1 映射教学目标(1)了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．(2)在概念形成过程中，培育同学的观查，分析对比，归纳的力量．教学方法：启发商量式教学过程：一、引入在学校，我们已经初步探讨了函数的定义并讨论了几类简洁的常见函数．在高中，将利用前面集合有关学问，利用映射的观点给出函数的定义．那么映射是什么呢?这就是我们今日要具体的概念．二、新课在前一章集合的初步学问中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射是重点讨论两个集合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟识的对应说起(用投影仪打出一些对应关系，共6个)我们今日要讨论的是一类特别的对应，特别在什么地方呢?提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素?让同学认真观查后由同学回答，对有争议的，或漏选，多选的可具体说明理由进行商量．最终得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合条件的(用投影仪将这几个集中在一起)提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？经过师生共同推敲，将映射的定义引出．(主体内容由同学完成，老师做必要的补充)(板书)一．映射(3)通过映射概念的学习，逐步提高同学的探究力量．教学重点难点：:映射概念的形成与熟悉．教学用具：实物投影仪。

2．3映射的概念教学目标1．理解映射的概念及表达方法．2．会判断一个对应是否为映射．教学过程映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有m n个．【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．(1)(2)答案：(1)135(2)45 6【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________．答案：41．怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B 中的元素b．(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．2．为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B 实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．题型一映射的概念【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|；(2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|；(3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±x．解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．(2)中，当x＝2∈A时，|x－2|＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射．(3)中，因为y＝(x－1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射．(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射．反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射．题型二映射的个数问题【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f 的个数为__________．解析：因为从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，所以，(1)当f (a )＝2时，有⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝0或⎩⎨⎧ f (b )＝－2，f (c )＝－2或⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝－2.(2)当f (a )＝0时，有⎩⎨⎧f (b )＝－2，f (c )＝－2. 综上，从M 到N 满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射f 的个数是4．答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．【例3】已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{6,7}，则以A 为定义域，B 为值域的不同函数的个数为__________．解析：当A 中有三个元素对应B 中元素6时，另一个元素必须对应B 中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有三个元素对应B 中元素7时，另一个元素必须对应B 中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有两个元素对应B 中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．答案：14反思：求解此题要特别注意集合B 必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B 恰好是集合A 中的所有元素所对应的元素组成的．题型三 映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．例如I am your f riend 添一个o ，分组为：Ia my ou r f ri en do ，得到⎩⎨⎧⎭⎬⎫91，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，⎩⎨⎧⎭⎬⎫186，⎩⎨⎧⎭⎬⎫189，⎩⎨⎧⎭⎬⎫514，⎩⎨⎧⎭⎬⎫415． 其中9表示I 在26个英文字母中的序号，1表示a 在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x y ⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2x ＋3y y ′＝x ＋4y 来进行变换． 由⎩⎨⎧⎭⎬⎫91⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×9＋3×1＝21y ′＝9＋4×1＝13＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2113， 21÷26＝0余21,21对应字母u,13÷26＝0余13,13对应字母m ，即Ia 变成um ．将⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325变成x ′＝2×13＋3×25＝101除以26得余数为23，即w ；y ′＝13＋4×25＝113除以26得余数为9，即i ．试按上述方法及变换公式将明文I am your f riend 写成密文．解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×15＋3×21＝93≡15(mod 26)y ′＝15＋4×21＝99≡21(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，即ou 不变； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫186⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×6＝54≡2(mod 26)y ′＝18＋4×6＝42≡16(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫216，即rf 变成bp ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫189⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×9＝63≡11(mod 26)y ′＝18＋4×9＝54≡2(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即ri 变成kb ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫514⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×5＋3×14＝52≡0(mod 26)y ′＝5＋4×14＝61≡9(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫09，即en 变成zi ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫415⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×4＋3×15＝53≡1(mod 26)y ′＝4＋4×15＝64≡12(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即do 变成al ． 故密文为umwioubpkbzial ．反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算．1下图中表示的是从集合X 到集合Y 的对应，其中能构成映射的是__________．解析：图象中必须满足对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应．答案：①2若A ＝{(x ，y )|x ∈Z ，|x |＜2，y ∈N *，x ＋y ＜3}，B ＝{0,1,2}，从A 到B 的对应关系f ：(x ，y )→x ＋y ，说明f 是A 到B 的映射，并画出对应图，指出B 中的元素2与A 中的哪个元素对应．分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的．解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，∴f是A到B的映射．2与A中对应的元素有三个，即(－1,3)、(0,2)、(1,1)．3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？(2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之．解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)．(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑．A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B 中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，规定为：f：x→(x＋1，x 2＋1)，试求2在B 中的对应元素及35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素． 解：由条件知当x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3． 所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)；再由⎩⎨⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12， 说明点35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素为12． 5已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射是f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A ．解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素在B 中都有惟一元素与它对应，但1|x |－1≠0， ∴0在集合A 中不存在元素与它对应．当1|x |－1＝1时，得x ＝±2； 当1|x |－1＝12时，得x ＝±3； 当1|x |－1＝13时，得x ＝±4． ∴A 中元素最多只能有6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。

高中数学映射教学教案
教学目标：让学生了解映射的定义、性质和应用，并掌握相关的解题方法。

教学重点和难点：映射的定义和性质、映射的合成和逆映射、映射在几何中的应用。

教学准备：教材、课件、活动设计、练习题等。

教学流程：
一、引入（5分钟）
教师向学生介绍映射的概念，引导学生思考什么是映射，并举例说明。

二、概念理解（15分钟）
1. 讲解映射的定义和符号表示，让学生掌握映射的基本概念。

2. 讲解映射的性质，帮助学生理解映射的基本性质。

三、运用能力培养（20分钟）
1. 给学生一些简单的映射题目，让学生能够灵活运用映射的知识解题。

2. 引导学生进行映射的合成和逆映射的讨论和解题。

四、拓展应用（10分钟）
1. 讲解映射在几何中的应用，如平移、旋转等。

2. 给学生一些实例题目，帮助学生了解映射在几何中的具体应用。

五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点和难点，巩固学生对映射的理解，激发学生对数学的兴趣。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的练习题，让学生复习本节课内容，并巩固所学知识。

教学反思：老师可以根据学生的学习情况调整教学内容和方法，确保学生能够有效地掌握映射的相关知识。

同时，鼓励学生多进行实际操作，加深对映射的理解和应用能力。

高中数学映射的教案教学目标：1. 理解数学映射的概念和基本性质。

2. 掌握如何判断一个给定关系是否为映射。

3. 能够在实际问题中应用映射的概念解决问题。

教学重点：1. 映射的定义和基本性质。

2. 判断一个给定关系是否为映射。

3. 应用映射解决实际问题。

教学难点：1. 理解映射和函数的区别。

2. 能够准确地判断一个关系是否为映射。

教学准备：1. 教师备好教材、教具和课件。

2. 学生预先学习相关知识。

3. 教师准备案例题目和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾函数的概念，并告诉学生今天将学习数学映射的内容。

二、讲解映射的概念和基本性质（15分钟）1. 教师讲解映射的定义和基本性质，引导学生理解映射的概念。

2. 教师通过示例说明映射的性质，让学生加深对映射的理解。

三、判断关系是否为映射（15分钟）1. 教师讲解判断一个给定关系是否为映射的方法。

2. 教师通过案例指导学生如何判断一个关系是否为映射。

四、应用映射解决实际问题（10分钟）1. 教师给出一个实际问题，引导学生运用映射的概念解决问题。

2. 学生尝试独立解决问题，教师及时给予指导和反馈。

五、课堂练习（10分钟）学生完成几道与映射相关的练习题，巩固所学知识。

六、总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生对映射的概念进行复习。

七、作业布置（5分钟）布置相关习题作业，督促学生加强练习。

教学反思：本节课主要是对数学映射的基本概念和性质进行讲解，通过案例和练习引导学生深入理解映射的概念。

教学中应注意引导学生掌握映射的判定方法和应用技巧，激发学生对数学的兴趣和学习的动力。

高中数学映射教案
一、教学目标：
1. 理解映射的概念和性质；
2. 掌握映射的表示方法；
3. 能够根据给定的映射找出它的定义域、值域和像；
4. 能够进行映射的复合和逆映射的求解；
二、教学重点：
1. 映射的概念和性质；
2. 映射的表示方法；
3. 映射的定义域、值域和像的确定；
4. 映射的复合和逆映射的求解；
三、教学难点：
1. 映射的复合；
2. 映射的逆映射；
四、教学过程：
1. 映射的概念和性质的介绍（10分钟）
教师简单介绍映射的定义及性质，引导学生理解映射的基本概念。

2. 映射的表示方法（15分钟）
教师通过具体例子演示映射的表示方法，解释映射的不同形式表示。

3. 映射的定义域、值域和像（20分钟）
教师讲解如何确定映射的定义域、值域和像的方法，通过实例进行讲解并进行练习。

4. 映射的复合（15分钟）
教师介绍映射的复合的概念和方法，通过例题演示如何进行映射的复合，并让学生自行练习。

5. 映射的逆映射（15分钟）
教师讲解映射的逆映射的概念和求解方法，通过实例进行演示并让学生进行练习。

6. 练习与检测（15分钟）
教师布置相关练习题让学生巩固所学知识，并进行检测。

五、教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握映射的基本概念、性质和运算方法，能够熟练计算映射的复合和逆映射。

教师应该及时收集学生的反馈意见，对教学过程进行调整和改进。

2.3 映射的概念教学目标：1．了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射；2．通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．复习函数的概念．小结：函数是两个非空数集之间的单值对应，事实上我们还遇到很多这样的集合之间的对应：（1）A＝{P｜P是数轴上的点}，B＝R，f：点的坐标．（2）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．2．情境问题．这些对应是A到B的函数么？二、学生活动阅读课本46～47页的内容，回答有关问题．三、数学建构1．映射定义：一般地，设A，B是两个非空集合．如果按照某种对应法则ƒ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B．2．映射定义的认识：（1）符号“f：A→B”表示A到B的映射；（2）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则；（3）集合的顺序性：A→B与B→A是不同的；（4）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行），箭头集合中元素的惟一性（多一个也不行）．四、数学运用1．例题讲解：例1 下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射，为什么？（1）A ＝R ，B ＝{x ∈R ∣x ≥0 }，对应法则是“求平方”；（2）A ＝R ，B ＝{x ∈R ∣x >0 }，对应法则是“求平方”；（3）A ＝{x ∈R ∣x >0 }，B ＝R ，对应法则是“求平方根”；（4）A ＝{平面上的圆}，B ＝{平面上的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形” ． 例2 若A ＝{－1，m ，3}，B ＝{－2，4，10}，定义从A 到B 的一个映射f ：x →y ＝3x ＋1，求m 值．例3 设集合A ＝{x ∣0≤x ≤6 }，集合B ＝{y ∣0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f ，其中不是映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x 2．巩固练习：（1）下列对应中，哪些是 从A 到B 的映射．注：①从A 到B 的映射可以有一对一，多对一，但不能有一对多；②B 中可以有剩余但A 中不能有剩余；③如果A 中元素a 和B 中元素b 对应，则a 叫b 的原象，b 叫a 的象．（2）已知A ＝R ，B ＝R ，则f ：A →B 使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1相对应，则在f ：A → B 中，A 中元素9与B 中元素_________对应；与集合B 中元素9对应的A 中元素为_________．（3）若元素(x ，y )在映射f 的象是(2x ，x ＋y )，则(－1，3)在f 下的象是 ，(－1，3)在f 下的原象是 ．（4）设集合M＝{x∣0≤x≤1 }，集合N＝{y∣0≤y≤1 }，则下列四个图象中，表示从M到N的映射的是( )A B C D五、回顾小结1．映射的定义；2．函数和映射的区别．六、作业P47练习1，2题，P48第5，6题．。

2.1.4 映射的概念整体设计教材分析映射与前面学习的集合和函数有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合A到集合B的映射.在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，并选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再用抽象的数学符号表示映射.关于映射中象和原象的概念以及映射的分类和一一映射、单射、满射等概念，一般不要涉及，对于函数与映射的关系，只需强调若映射中的两个集合A和B均为非空数集时，这个映射就是函数.三维目标1.了解映射的概念，会借助图象帮助理解映射的概念.2.会根据定义判断映射.3.了解映射是函数概念的一般扩展(将数集扩展到任意元素组成的集合)，函数是一类特殊的映射(非空数集到非空数集的映射).4.采用“举例——观察——比较——讨论——总结”的形式，通过实例找共性，给出映射的定义，最后进行小结，教师起到点拨和深化的作用.重点难点教学重点：映射的概念及判断.教学难点：映射的概念.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)1.老师走进教室，只要环顾一下，不点名，就知道今天有没有同学缺课，缺课的同学有多少.大家知道老师是怎么做到的吗？(每个同学都有唯一的座位)2.为了解学生身体健康状况，现对高一年级全体学生的体重进行统计，设高一年级的全体同学组成集合A，正实数集为集合B，让集合A中任一同学与其体重对应，则得到一个从集合A到集合B的对应.(课本引例)用下图来表示这个对应：你还能举出一些类似的例子吗？(由同学们自由发挥)例如：1.中华人民共和国的任何一个公民都有唯一的身份证号码与之对应；2.数轴上的任何一个点都有唯一的实数与之对应；3.坐标平面内的任何一个点都有唯一的有序实数对与之对应；4.平面上任何一个三角形都有唯一的面积与之对应.这些都是从集合A到集合B的对应，这些对应有没有什么共同的特征？设计思路二(事例导入)在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，现在我们重点研究两个集合中元素之间的对应关系，这要先从我们熟悉的对应说起.出示下图(用投影仪打出一些对应关系，共5个)：1.这5个图中，它们有什么共同特点？应该能看出，各个图都反映了两个集合的元素之间的一种对应关系，即对于集合A中的任一个元素，按照某种法则在集合B中都有确定的(一个或几个)元素与它对应.2.进一步观察，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？设计思路三(复习导入)前面学习的集合的有关知识，包括元素与集合的关系，集合之间的包含关系等，两个集合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的.而刚刚学过的函数y=f(x)实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，这里定义域A和值域B都必须是非空数集，如果我们把集合A和集合B扩充为任意非空集合(未必是数集)，则这样的对应就未必是函数，那么这个对应又是什么呢？推进新课新知探究对于设计思路一，教师提出问题：这些对应有什么共同的特征？若学生无法归纳，则鼓励他们讨论，只要有人说出“任一”“都有”“唯一”等关键词，都给予热情鼓励.若经讨论仍然没有同学能够说出这些关键词，则可以提示学生从上面例子的句式结构上观察，它们都有同样的句子结构：“……任何一个……都有唯一的……与之对应”.这些例子都是在说明集合A和集合B的元素之间的对应关系，都有一个共同的特征，就是：(板书)集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这样的对应就是我们今天要学习的映射.然后教师和学生一起把刚才的板书修改完善：(板书)定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B对于设计思路二，紧接上面问题，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？(用投影仪将这几个图集中在一起)类似思路一，老师鼓励学生自己得出结论：集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.如果有困难，也采用思路一类似的办法，最后同样得到映射的定义.对于设计思路三，函数实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这里定义域A和值域B都必须是非空数集.如果我们把函数中定义域A和值域B扩充为任意非空集合，则这样的对应就未必是函数，我们把这样的对应称为映射(板书).然后老师和学生一起把映射的定义叙述并修改完善.记忆技巧：(学生思考、讨论、回答，教师整理、强调)①“任意性”：映射中的两个集合A、B可以是数集、点集或由图形等组成的任意集合，这是映射的“任意性”；②“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,例如A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是“有序的”；③“任一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应，这是映射的“存在性”；④“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的“唯一性”；⑤“在集合B中”：也就是说A中元素的对应元素必在集合B中，这是映射的“封闭性”.(这一点可根据学生的具体学情有选择地教学)映射概念的核心就是“A中之任一对B中之唯一”，这是判断一个对应是不是映射的关键.从形式上看映射有“一对一”和“多对一”，另外，集合A中的元素必须一个不剩，集合B中元素允许剩余，而对应有“一对一”“多对一”“一对多”“多对多”四种情况.三句口诀：1.A中之任一对B中之唯一.2.对一是映射，对多非映射.3.A中一个不剩，B中可以多余.应用示例思路1请同学甲设计一个例题：例题下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？要求：四个对应两个是映射，两个不是映射.两个映射必须分别是“一对一”和“多对一”，两个不是映射的对应必须分别体现没有符合“A中之任一”和“B中之唯一”.同学乙对同学甲编制的题目是否符合老师的要求作出回答，并分析原因，给出正确答案.思路2教师直接给出题目：(用投影仪打出一些对应关系，共4个)例1下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？分析：一个对应是不是能够构成映射，就看它能不能满足映射定义的要求，即抓住关键：A中之任一对B中之唯一.既然“A中任一”，则A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，故B中元素可以允许有多余；既然“B中唯一”，则只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”.解：因为(1)(3)的对应满足映射的定义，而(2)不满足“任意性”，(4)不满足“唯一性”，所以(2)(4)不能构成映射，能构成集合A到B的映射的有：(1)(3).错误解法：本题容易在(1)(2)的判断上出现错误.(1)有两个箭头指向同一元素，易判为“不是映射”，(2)中都是一个箭头在指，所以易判为“是映射”.这时要提醒学生：对于(1)，只要A 中的一个元素射出去的箭头只有一个就可以了，至于有多少个箭头指向B 中同一元素就无所谓了；对于(2)，A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有多余.例2 (用投影仪打出)下列对应，哪些是A 到B 的映射？(1) A={x|x≥0}，B={1}，对应法则f:x→y=x 0.(2) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f ：x→y=31x. (3) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f:x→y=(x -2)2. (4) A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，对应法则f ：x→y=81x 2. 解：因为(2)(4)的对应满足映射的定义，所以能构成集合A 到B 的映射；而(1)(3)不满足“任意性”，所以(1)(3)不能构成映射.错误解法分析：判断(1)时，学生容易忽视元素0，判断(2)时，由于C≠B ，也容易发生错误，判断(3)(4)时，由于都是二对一，在求Ａ中所有元素的对应元素组成的集合时容易出现错误，这些都要一一纠正.例3 (用投影仪打出)设集合A={x|0≤x≤1}，B={y|0≤y≤1}，则下图所示的各图象中，表示从集合Ａ到集合Ｂ的映射的是___________.分析：上图的五个图中，显然所有的x ∈A ，①③④⑤中都有y ∈B ，这一点都符合了“Ａ中任一元素都有Ｂ中元素与之对应”，只有②中当21＜x≤1时对应的y B ，即Ｂ中没有元素与之对应，所以②不是映射.④中除了元素0，Ａ中每个元素都有两个元素与之对应，所以④也不是映射.①③⑤中每一个不同的x 都只有唯一的Ｂ中的元素ｙ与之对应，符合了映射的定义，所以①③⑤是映射.答案：①③⑤.点评：本题是由图象的形式给出映射，由于学生对映射的图象表示还不是太熟悉，所以往往会看不懂题目表示的意思，导致解题时无从下手.这时老师可结合前面学过的函数的图象来指导学生读题，指出图象上每一个点都可以用坐标来表示，其中横坐标ｘ就是映射中集合Ａ中的元素，纵坐标ｙ就是集合Ｂ中的元素，这时映射的定义就可以表示为“以集合Ａ中的数为横坐标的点都在图象上(Ａ中任一元素)，其对应的纵坐标都属于集合Ｂ(都有Ｂ中元素与之对应)，且横坐标不同时对应的纵坐标也不同(与ｘ对应的ｙ是唯一的).具体看图时可以看如下三个方面：①横坐标是否都在定义域内，定义域内的数是否都在图象上；②纵坐标是否都在值域内；③与ｘ轴垂直的直线与图象的公共点是否只有一个.例4 已知集合A={1,2,3,m},(m ∈N ),B={4,7,n 4,n 2+3n},(n ∈N ),设x ∈A,y ∈B,“f:x→y=3x+1”是集合A 到集合B 的映射，求m ，n 的值.分析：根据映射的定义，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，而对应法则是“f:x→y=3x+1”，所以1→4，2→7，3→10，m→3m+1.由于对应法则是一次关系式，所以A 中不同元素对应的B 中元素也必须不同，不可能出现“多对一”的情况.而B={4,7,n 4,n 2+3n}，所以10和3m+1必然等于n 4和n 2+3n ，这里又有两种情况：10=n 4，3m+1=n 2+3n ，或者10=n 2+3n,3m+1=n 4，继续解出m 、n ，问题就解决了.解：∵3×1+1＝4 ，3×2+1＝7，3×3+1＝10，又∵对应法则是“f:x→y=3x+1”，∴3m+1不可能等于4、7、10，∴由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+⨯=,133,1013324m n n n 又m,n ∈N ，∴方程组无解. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=++=,101333,1324n n m n 又m,n ∈N ，解得⎩⎨⎧==.5,2m n 综上所述m=5,n=2.错误解法：一种错误是没有说明这个映射不可能是多对一.因为在1→4，2→7，3→10的情况下，如果不考虑对应法则，m 完全有可能再和4、7、10中的某一个对应，这样需讨论的情况就太多了.所以应该先考虑对应法则，得到这个映射只能是一对一，这时就仅仅剩下两种情况讨论了.另一种错误是不讨论，这时老师可以画图，用箭头来指出有两种情况.点评：本题中，学生非常容易忽略“多对一”，并且只解第一种情况而忘记解第二种情况.所以不论学生是不是出现错误，都要强调先说明“ 3m+1不可能等于4、7、10”，再对两种可能情况分别求解，解方程组的具体过程可以简略一些.知能训练课本第42页练习1、2、3、4.解答：1.(1)因为对应法则是f ：x→2x ＋1，所以1→3，2→5.(2)因为对应法则是g:x→21-x ，所以3→1，5→2. 两个映射f 和g 是互为逆映射.(见备课资料)2.(1)集合A 中一共有3个元素1，4，9，对应法则是“f ：x→x 的平方根”，所以1→±1，4→±2，9→±3，尽管±1，±2，±3都是集合B 中的元素，但这是“二对一”，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(2)集合A 中存在元素0，由于对应法则是“f ：x→x 的倒数”，所以元素0在集合B 中没有元素与之对应，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(3)是映射.(4)集合A 是平面内周长为5的所有三角形组成的集合，其中任意一个三角形都有唯一的外心，且外心都是这个平面内的点，由于对应法则为f ：三角形→三角形的外心，所以A 中任一元素都和B 中唯一元素对应，这就符合了映射的定义，因此这个对应是映射.3.(1)根据题目中的对应法则，m→n ，a→b ，t→u ，h→i ，e→f ，i→j ，c→d ，s→t ，所以明文“mathematics”的密文为“nbuifnbujdt”.(2)同上，i→j ，t→u ，s→t ，f→g ，u→v ，n→o ，y→z ，所以密文“ju jt gvooz”的明文是“it is funny”.课堂小结映射是由集合A ，集合B 和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A 中之任一对B 中之唯一.A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射.作业1.若集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，f ：x→y=x 2-4x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有______________个元素.解答：因为集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，对应法则为f ：x→y=x 2-4x ，所以0、4→0，1、3→-3，2→-4，5→5，6→12，而集合B 必须包含这些元素，因此B 中至少有5个元素.2.已知集合A ＝B ＝｛(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ｝，A 到B 的映射f ：(x ，y)→(x+y ，xy).(1)A 中元素(2，-3)对应于B 中哪个元素？(2)B 中元素(2，-3)与A 中哪个元素对应？解答：(1)当x ＝2，y ＝-3时，x ＋y ＝-1，xy ＝-6，所以A 中元素(2，-3)对应于B 中元素(-1，-6).(2)当⎩⎨⎧-==+3,2xy y x 时,得⎩⎨⎧=-=3,1y x 或⎩⎨⎧-==,1,3y x 所以B 中元素(2，-3)与A 中元素(-1，3)和(3，-1)对应.3.阅读课本第44页第12题(阅读题)，找一些生活中与对应和映射有关的实例.设计感想原教材中映射这部分内容是安排在函数这一章的开始，现在苏教版教材安排在函数概念、图象、表示方法、单调性、奇偶性等内容之后.因为映射的概念如果单单从非数学的日常生活方面来看，并不难以理解，但是上升到严格的数学定义和抽象的数学概念就比较深奥.所以教材这样安排一方面是考虑到多数高中学生的认知特点.为了降低难度,教材先让学生对函数有了初步认识，接触了部分具体的函数，在有了一定的体会后，再学习映射，同时对函数的认识也得到进一步加强.另一方面是为了通过循环反复学习，加深了学生对函数概念的理解，有助于他们对函数概念本质的理解，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.本课在教学设计时努力体现新课标的要求.在映射概念引入时，先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，先用图形表示映射，在集合的选择上先选择了能用列举法表示的有限集，对应法则用语言描述，对应形式上分为“一对多”“多对一”“多对一”“一对一”四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中“一对一”和“多对一”的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识.这样的教学方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射.在教学方法上本课采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用.为了使学生更加容易接受抽象的数学概念，也可以多采用一些日常生活的语言，列举一些学生感兴趣的例子.譬如为了让学生对映射可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多对多”有深刻印象，可以用“射雕”来比喻：可以“一箭一雕”“多箭一雕”但不能“一箭双雕”“一箭多雕”“多箭多雕”；为了让学生对“A 中任一元素在B 中均有唯一的一个元素与之对应，但允许B 中有一些元素没有A 中任何元素与之对应”有深刻印象，仍然可以用“射雕”来比喻：“鞘中的箭必须射完，而且箭箭中雕，但有些雕可以不是瞄准的目标”.习题详解课本第43页习题2.1(3)1.函数Y=kx+b y=xk+bk＞0 k＜0 k＞0 k＜0单调区间(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)单调性单调递增单调递减单调递减单调递增2.略.3.(1)单调增区间(-∞，0]，单调减区间[0，＋∞)，最大值是1，无最小值；(2)单调减区间[-1，1]，最大值是2，最小值是-2；(3)单调减区间[0，＋∞)，最大值是0，无最小值；(4)单调增区间(-∞，＋∞)，无最大值和最小值.(1) (2)(3) (4)4.因为a2+1-2a=(a-1)2≥0，所以a2+1≥2a，故f(a2+1)≤f(2a).5.(1)当a、b不全为0时，f(x)为偶函数；当a=b=0时，f(x)既是奇函数，又是偶函数；(2)奇函数；(3)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.6.因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)是偶函数.图象如图所示.7.证明：(1)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-2x12+3-(-2x22+3)=2(x1+x2)(x2-x1).因为x1+x2＜0且x2-x1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调增函数；(2)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22).因为x1＜x2≤0且x1x2≥0，x12＞0，x22≥0，x12+x1x2+x22＞0.而x2-x1＞0，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调减函数；(3)①设x 1＜x 2＜0，则f(x 1)-f(x 2)=213x --2+23x =3(21x 11x -)=2121)(3x x x x -. 因为x 1x 2＞0，x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在(-∞，0)上是单调增函数； ②设0＜x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=4343)(3x x x x -.由0＜x 3＜x 4，得x 3x 4＞0,x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(-∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数；(4)①设0＜x 1＜x 2≤1，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -x 2-21x=x 1-x 2+2112x x x x -=(x 1-x 2)·21121x x x x x -. 因为0＜x 1＜x 2≤1，所以0＜x 1x 2＜1,x 1x 2-1＜0.而x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0，1]上是单调减函数；②设1≤x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=(x 3-x 4)·43431x x x x -.因为1≤x 3＜x 4，所以x 3x 4＞1，x 3x 4-1＞0.而x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(0，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数.8.因为B ＝｛-1，3，5｝，f ：x→2x -1，要组成A 到B 的映射，只要A 中的任一元素在对应法则f 下的对应元素都在B 中即可.而0→1，2→3，3→5，所以集合A 只要是｛0，2，3｝的非空子集就可以了.本题答案不唯一，共有7个.9.因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即x 2-mx+1=x 2+mx+1恒成立，所以m=0.10.因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0.又因为x ＞0时，f(x)=1，所以x ＜0时，-x ＞0，f(-x)=1，f(x)=-f(-x)=-1.综上所述，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x11.函数的单调增区间是(-∞，＋∞)，图象如图所示.12.f(x)g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) 增函数 增函数增函数 增函数13.略.。

映射数学讲解高中教案
教学目标：
1. 理解映射的概念和基本性质。

2. 掌握映射的表示方法和分类。

3. 能够应用映射的概念解决实际问题。

教学重点：
1. 映射的定义和符号表示。

2. 映射的分类和特点。

3. 映射的应用。

教学难点：
1. 理解映射和函数的关系。

2. 运用映射的知识解决实际问题。

教学准备：
1. 教材：包含映射相关知识的教材。

2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。

3. 实例：准备一些实际例题作为练习。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引入映射的概念，让学生了解映射的基本概念。

二、概念讲解（15分钟）
1. 映射的定义和符号表示。

2. 映射的分类和特点。

3. 映射与函数的关系。

三、示例分析（15分钟）
结合实际例题，分析映射的应用，引导学生掌握映射的运用方法。

四、练习与讨论（15分钟）
提供若干练习题，让学生在课堂上完成并进行讨论，加深对映射的理解。

五、总结与作业布置（5分钟）
总结本节课的重点内容，布置相关作业，巩固学生对映射知识的掌握。

教学反思：
映射是数学中的重要概念，理解和掌握映射的知识对于学生的数学学习起着重要的作用。

通过本节课的教学，学生能够对映射有一个初步的了解，为后续深入学习数学打下基础。

2.3 映射的概念课标知识与能力目标1.理解映射的概念2. 学会判断什么是映射3. 运用映射解决问题知识点1：映射1.概念：一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射．记作：f：A→B.2.规律方法：判断f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．即映射须满足：A 中元素不剩且一对一或多对一．考点1：映射的判定例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求平方的倒数”．例2 下面各图表示的对应构成映射的有________．例3 下列集合A 到集合B 的对应中，哪些是A 到B 的映射？(1)A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →x ；(2)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →1x； (3)A ＝N *，B ＝{0,1,2}，f ：除以3得的余数；(4)A ＝{－4，－1,1,4}，B ＝{－2，－1,1,2}，f ：x →x 12.考点2：确定映射中的对应元素例1 已知映射A →B 的对应法则f ：x →2x ＋1，则B 中元素3在A 中的与之对应的元素是________．例2 把题设中“f ：x →2x ＋1”换成“f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )”则A 中元素(3,2)在B 中与之对应的元素是________．考点3：映射的个数问题例1 设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}，(1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )>f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．例2 集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，由M 到N 的映射f 满足条件f (a )＋f (b )＝f (c )，求这样的映射有几个．。

映射的概念教学目标1.了解映射的概念,会借助图形帮助理解映射的概念.2.了解函数是两个非空数集之间的映射.教学重点、难点映射的概念.教学过程一.问题情境1.函数的概念;2.某班级全体同学组成的集合A,正实数集为B,让每位同学与其体重数对应;3.坐标平面内的所有点的集合为A,所有的有序数对组成的集合为B.二.学生活动学生举例(集合中元素是数、点、物、人)三.数学建构1.映射的概念 .2.符号表示: . 四.数学运用例1.如图所示的对应中,那些是A 到B 的映射?反思问题:映射与函数有什么区别与联系?例2.判断下列对应是否为从A 到B 的映射:(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,7,8,9},对应关系:乘2加1;(1)A=N +,B={0,1},对应关系:除以2所得的余数;(3)A=R,B=R,f:x →x 2;(4)A={x ｜0≤x ≤4},B={y ｜0≤y ≤1}反思例3.设A=B=R,f:a →b=3a+5,求:(1)集合A 中21与-3的象; (2) 集合B 中21与-3的原象; (3)集合B 中满足-3≤b ≤21所有原象组成的集合. 反思五.课堂练习(1)对于集合A 到集合B 的映射,则必有( )A.集合B 中两个不同元素的原象相同B. 集合A 中两个不同元素的象必不相同C. 集合B 中的某一元素的原象可不唯一D. 集合A 中的某一元素的象可不唯一(2)已知(x,y)在映射f 下的象是(2y x +,2y x -),那么(-5,2)在f 下的原象是( ) A.(-10,4) B.(-6,-4) C.(-3,-7) D.(23-,27-) (3)下列对应关系中,哪些是A 到B 的映射?(1)A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x →x 2(2)A=R,B=R,f:x →x 的倒数;(3) A=R,B=R,f:x →x 2-2;(4)A 是平面内周长为5的所有三角形组成的集合,B 是平面内所有点的集合,f:三角形→三角形的内心▲(4)已知A={a,b,c},B={-1,0,1},f 是从A 到B 的映射,则满足f(a)+f(b)+f(c)=0的映射共有多少个?试列举出所有这样的映射.六.课堂小结。

§2.1.4映射的概念一．教学目标1．了解映射的概念，会借助图形帮助理解映射的概念．2．进一步了解函数是非空集合到非空集合的映射．二．教学重点映射的概念三．教学难点及对概念的理解映射的概念四．教学过程1．问题情景前面学习了函数的概念，是：一般地，设,A B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．函数是两个非空数集之间的对应，那么⑴我们以前还遇到那些对应呢？⑵这些对应又有什么特点呢？2．学生活动以前遇到的对应有：⑴对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．⑵班级里的每一位同学在教室都有唯一的座位与之对应．⑶对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．上面的几个对应已经不在局限于是非空的数集间的对应，可以是点集或其它的集合．这些对应中有些已经不是函数，那么不是函数的对应又是什么呢？我们先看下面几组对应：A B⑷⑸⑴ 请观察上面五个对应各有什么特征？⑵ 这五个对应中，是否存在几组对应有共同特征？ 3．建构数学⑴ 通过观察发现，⑴-⑸这五组对应中，元素没有限制可以是任何有意义的事物，而元素之间可以是一对一，多对一或一对多．⑵ ⑴-⑷中，A 中的每个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应． 这种对应关系就是我们这节课要学习的映射．一般地，设,A B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射（mapping ），记作：f ：A →B对映射的进一步认识：⑴ 映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“任一对唯一”． ⑵ 映射有三个部分组成：集合A ，集合B 及对应法则f ，称为映射的三要素． ⑶ 映射中集合A ，B 中的元素可以为任意的，也可是是空集． ４．数学运用例１．下列对应中，哪些是A 到B 的映射？A ⑴B A ⑵ B解：根据映射的定义，可知⑷是A 到B 的映射，⑴⑵⑶的对应不是A 到B 的映射．例２．已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射，并说明理由． （1）A N =，B Z =，对应法则f 为 “取相反数”； （2）{1,0,2}A =-，1{1,0,}2B =-，对应法则“取倒数”； （3）{1,2,3,4,5}A =，B R =，对应法则：“求平方根”；（4）{0,1,2,4}A =， {0,1,4,9,64}B = 对应法则2:(1)f a b a →=- （5）A N +=，B ={0,1} 对应法则：B 中的元素x 除以2得的余数5.回顾小结⑴ 映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“任一对唯一”． ⑵ 映射有三个部分组成：集合A ，集合B 及对应法则f ，称为映射的三要素． ⑶ 映射中集合A ，B 中的元素可以为任意的，也可是是空集．。

§2.1函数的概念和图象课 题：§2.1.4映射的概念教学目标：1.了解映射的概念;2.进一步了解函数是非空集合到非空集合的映射.重点难点：重点——理解映射的定义;难点——判断某些对应是否是映射．教学教程：一、问题情境问题1:什么叫函数?问题2:我们班全体同学与上次数学测试的成绩之间的对应是否是函数?实数集与数轴上所有点之间的对应是否是函数? 二、学生活动由学生口述函数的定义,回忆函数的概念,是为了对比引出映射的概念.问题2由学生先独立思考,可能大部分同学会认为是函数,这时可要求学生再认真阅读一遍函数的定义,再思考问题 2.会有学生看出问题2中的对应有不符合函数定义之处.这是培养学生注意观察能力的好机会. 三、建构数学问题3:如果问题2中的两个对应都不是函数,那这两个对应该叫什么呢?这两个对应都不是函数,问题就在于不都是非空的数集之间的对应,但对应的方式与函数是一致的.我们将这种对应称为映射,这其实是函数概念的一般性的扩展.映射的定义:一般地,设A,B 是两个集合,如果按某种对应法则f,对于集合A 中的每一个元素x,在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应,这样的对应叫做从A 到B 的一个映射(mapping),通常记作 f :A →B注: 1.函数一定是映射,是一种特殊的映射;2.映射不一定是函数,除非A,B 是两个非空的数集;3.判断一个对应是否是映射的方法与判断函数的方法类似.根据映射定义可知,从集合A 到集合B 的对应,如果A 中有多余元素,或者A 中一个元素对应B 中多个元素,则此对应不是映射.反过来, 如果B 中有多余元素,或者B 中一个元素对应A 中多个元素,则此对应可能是映射.从集合A 到集合B 的一一对应一定是映射, 四、数学运用 1．例题例1 在下列对应中,哪些是A 到B 的映射?A ⑷ BA ⑶B A ⑵ B A ⑴ B解:⑵,⑷是映射,⑴,⑶不是映射.例2在下列对应中,哪些是A 到B 的映射?若是映射,是否是函数? ⑴A=B=N, f :x →|x －3|; ⑵A=B=R, f :x →±x;⑶A=R,B={1,－1} f :x →⎩⎨⎧<-≥)0( 1)0( 1x x ;⑷A={平面内的直角三角形},B={平面的圆}, f :直角三角形→三角形的内切圆.解: ⑴,⑵不是映射,⑶,⑷是映射,⑶是函数,⑷不是函数.例3 设A={x|0≤x ≤2},B={y|1≤y ≤2},如图,能表示从A 到B 的映射的是( ) A B C D 解:选D 2.练习P42 练习 1,2 五、回顾小结本节课主要学习了映射的概念,映射与函数的联系,以及如何判断映射.六、课外作业 1．P42 3,4;2．预习课本P45~48 §2.2.1分数指数幂 预习题:⑴分数指数幂的意义是什么?⑵分数指数幂有哪些运算性质? ⑶如何进行分数指数幂与根式的互化?。