级安徽职高高一数学教案：映射与函数的概念

映射与函数教案范文第一章：映射的概念与性质1.1 映射的定义教学目标：让学生理解映射的概念，掌握映射的表示方法。

教学内容：介绍映射的定义，举例说明映射的概念。

教学方法：通过具体例子引导学生理解映射的概念，互动提问，巩固学生对映射的理解。

教学步骤：（1）引入映射的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的映射现象。

（2）给出映射的定义，解释映射的基本要素：集合、对应关系。

（3）通过具体例子，让学生理解映射的表示方法，如图示、表格等。

（4）引导学生总结映射的性质，如单射、满射、双射等。

1.2 映射的性质教学目标：让学生掌握映射的性质，学会判断映射的类型。

教学内容：介绍映射的性质，包括单射、满射、双射等。

教学方法：通过实例分析，让学生理解映射的性质，互动提问，巩固学生对映射性质的掌握。

教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考映射的性质。

（2）讲解单射、满射、双射的定义与特点，举例说明。

（3）让学生通过实例分析，判断映射的类型。

（4）总结映射的性质，引导学生掌握判断映射类型的方法。

第二章：函数的概念与性质2.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

教学内容：介绍函数的定义，举例说明函数的概念。

教学方法：通过具体例子引导学生理解函数的概念，互动提问，巩固学生对函数的理解。

教学步骤：（1）引入函数的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的函数现象。

（2）给出函数的定义，解释函数的基本要素：定义域、值域、对应关系。

（3）通过具体例子，让学生理解函数的表示方法，如图示、表格等。

（4）引导学生总结函数的性质，如单调性、奇偶性等。

2.2 函数的性质教学目标：让学生掌握函数的性质，学会判断函数的类型。

教学内容：介绍函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。

教学方法：通过实例分析，让学生理解函数的性质，互动提问，巩固学生对函数性质的掌握。

教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考函数的性质。

（2）讲解单调性、奇偶性、周期性的定义与特点，举例说明。

第二章映射与函数数学教学教案第二章映射与函数数学教学教案课题：对数函数（1）——定义、图象、性质目标：1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系，会求对数函数的定义域。

2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳/Article/Index.html>总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

重点：对数函数的定义、图象、性质难点：对数函数与指数函数间的关系过程：一、复习引入：实例引入：回忆学习指数函数时用的实例我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的'个数是分裂次数的函数，这个函数可以用指数函数= 表示。

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的函数。

根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是如果用表示自变量，表示函数，这个函数就是由反函数概念可知，与指数函数互为反函数这一节，我们来研究指数函数的反函数对数函数二、新课1．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函数的反函数。

对数函数的定义域为，值域为。

2．对数函数的图象由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。

因此，我们只要画出和的图象关于对称的曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。

活动设计：由学生任意取底数作图，观察分析讨论，教师引导、整理3．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质。

见P87表图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当时，时时时时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数活动设计：学生观察、分析讨论，教师引导、整理4．应用例1．（课本第94页）求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）分析：此题主要利用对数函数的定义域（0，+∞）求解。

映射的概念高中教学教案一、教学目标1. 让学生理解映射的概念，知道映射是一种数学关系，将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

2. 让学生掌握映射的基本性质，包括单射性、满射性和双射性。

3. 让学生能够运用映射的概念解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、教学内容1. 映射的定义：介绍映射的概念，解释映射是将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

2. 映射的基本性质：讲解映射的单射性、满射性和双射性，并通过实例进行分析。

3. 映射的图像：介绍映射的图像表示方法，让学生能够通过图像理解映射的特点。

4. 映射的应用：通过实际问题，让学生运用映射的概念解决问题，提高学生的数学应用能力。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解映射的定义和基本性质，让学生掌握映射的概念。

2. 采用案例分析法，通过实例讲解映射的性质，让学生深入理解映射的特点。

3. 采用图像展示法，展示映射的图像，让学生直观地理解映射的关系。

4. 采用问题驱动法，给出实际问题，让学生运用映射的概念解决问题，提高学生的数学应用能力。

四、教学步骤1. 引入映射的概念，让学生了解映射是将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

2. 讲解映射的基本性质，包括单射性、满射性和双射性，并通过实例进行分析。

3. 介绍映射的图像表示方法，让学生能够通过图像理解映射的特点。

4. 给出实际问题，让学生运用映射的概念解决问题，提高学生的数学应用能力。

五、教学评价1. 课堂提问：通过提问了解学生对映射概念的理解程度。

2. 课后作业：布置有关映射的练习题，检验学生对映射知识的掌握情况。

3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，培养学生的合作能力和思维能力。

4. 问题解答：评价学生在解决问题时的数学思维能力和创新能力。

六、教学拓展1. 映射与函数的关系：介绍映射与函数的联系和区别，让学生理解函数是一种特殊的映射。

2. 不同类型的映射：讲解线性映射、非线性映射等不同类型的映射，并分析其特点。

高等数学中映射与函数概念的教学此高等数学中映射与函数概念的教学主要涉及到映射与函数，但是在学习这些概念之前，首先要了解什么是映射和函数。

映射是指一种从一个数据集到另一个数据集的关系，其中数据集称为映射的输入和输出。

而函数是指满足函数关系的映射，即当一个输入的值给定的时候只能有唯一的一个输出值。

有一些映射也被称为函数，但是并不是所有的映射都是函数。

在学习映射和函数概念时，首先要学习映射的图象和定义，这在实际工作中是非常重要的。

这些映射的图象可以是离散的，也可以是连续的。

然后，学生需要学习如何使用函数关系来检验给定的映射是否符合函数定义，以确定其是否是函数类型。

课程应重点强调函数性质和图象，以便学生正确理解函数的概念。

此外，在学习映射和函数概念时，还应讨论其应用，譬如实数函数和复数函数等，让学生更容易了解映射和函数概念的具体意义。

特别是实数函数，要让学生了解实数函数的性质及图形，当学会用一元二次方程表示的实数函数时，在考试时可以让其直接解出实数函数的函数根以及它们的图象，这样可以大大提高他们在考试中解题的能力。

最后，在学习映射和函数概念时，应多做习题来加深学生对映射与函数的理解，并为学生创造一个可以容易理解映射与函数概念的学习环境。

国外的教育学者也提出，学习映射与函数概念，应从最初的映射起始，经过两次“循环”，一次让学生判断给定的映射是否是函数，另一次让学生判断给定的函数是否是复数函数，最后再回到映射和函数的概念分析，以了解映射与函数之间的关系。

总而言之，从映射与函数定义入手，学习映射与函数概念，建立学生了解映射和函数概念的思维模式，多做习题加强理解，以及讨论两者之间的关系，可以使学生更好地了解映射与函数概念，保证他们在实践中能够更好地应用这些知识。

2.1.1 函数 第2课时 映射与函数教学目标：了解映射的概念，了解映射与函数的区别与联系 教学重点、难点 重点：映射的概念． 难点：映射的概念． 教学内容 一、知识梳理 映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →:)(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域． 一一映射如果映射f 是从集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象。

这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

函数与映射的区别与联系映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射。

单射与满射象集中每个元素都有原象的映射称为满射；不同的原象对应不同的象的映射称为单射．二、方法归纳判断某“对应法则”是否为A →B 的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象．三、典型例题精讲［例1］已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2，3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象． 解析：(1) －2＋3＝1， －2×3＝－6 ， ∴ (－2，3)在f 作用下的象为(1，－6)． (2) ∵ ⎩⎨⎧-==+32xy y x ，解这个方程组得⎩⎨⎧-==13y x 或 ⎩⎨⎧=-=31y x∴ (2，－3)在f 作用下的原象是(3，－1)和(－1，3)．【技巧提示】本例所给的是点集到点集的映射，运用方程的思想不难求解．［例2］设)(x f ＝2211x x -+，则)21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝ ( )A.3512 B ．－3512C ．1D ．0解析：∵)(x f ＝2211x x -+，∴)21(f ＝35，)2(-f ＝－35，)31(f ＝45， )3(-f ＝－45 ∴ )21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝0，故选D ．【技巧提示】 函数)(x f ＝2211x x -+的一个重要性质是)1(xf ＝－)(x f ，即)1(xf ＋)(x f ＝0．教材第二章“本章小结·巩固与提高”中第18题：已知函数)(x f ＝2211x x -+，求证：)1(xf ＋)(x f ＝0． ［例3］（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ；（2）已知函数()f x 满足43)()(2+=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式．解析：（1）∵ 1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，11≥+x∴ 1)(2-=x x f ，x ≥1（2）∵ 函数()f x 满足 43)()(2+=-+x x f x f …………① 将其x 以x -代之，有43)()(2+-=+-x x f x f …………②① ×2－②，得 )43()43(2)(3+--+⨯=x x x f ＝49+x ∴ 343)(+=x x f ． 备注：已知抽象函数的表达式，则用解方程组消参的方法求解)(x f 的解析式． 【技巧提示】 第（1）小题强调一种配凑技巧，需要将1+x 看成整体；第（2）小题将其x 以x -代之时， x - 正好变成了x ，于是得到了关于)(x f 与)(x f -的方程组，解方程组便得到函数)(x f 的解析式．又例 已知)(x f ＋2)1(x f ＝3x ，求)(x f 的解析式为 ．解析：略 答案x xx f -2)(=．［例4］ 求下列函数的定义域：（1）14)(2--=x x f （2） =)(x f x11111++（3）xx x x f -+=0)1()(（4）373132+++-=x x y解析：（1）要使函数有意义，当且仅当 142≥-x 即： 33≤≤-x∴ 函数14)(2--=x x f 的定义域为[3,3-] ．（2）要使已知函数有意义，必须 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴ 所求函数的定义域为 }21,1,0|{--≠∈x R x x 且．（3）要使函数有意义，必须 ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴ 函数定义域为：{}011|<<--<x x x 或．（4）要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x ＜37- 或 x ＞37- ∴定义域为：}37|{-≠x x ． 【技巧提示】 要使函数有意义，必须让函数的每一项或每一个因式都有意义，所以往往需要利用解不等式或不等式组确定．［例5］求下列函数的值域．(1)216x y -=；(2) ]22[2，，-∈+-=x x x y ； （3）x x y 41332-+-=（4）66522-++-=x x x x y （5）11-++=x x y解析： (1) 161602≤-≤x ， ∴ 41602≤-≤x故所求函数的值域为 []40，∈y ． 【技巧提示】这就是直接法，或称分析法． (2) ∵41)21(22+--=+-=x x x y ， 又 ]22[，-∈x ，∴ 416≤≤-y 故所求函数的值域为 ]416[，-∈y ． 【技巧提示】 这就是配方法． 又例，求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域． ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x ， ∴22727x x x x y -=-=＝2)471(2849--x 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,211x ， 有 1625)471(02≤-≤x ∴ ]4273[，∈y 即为所求函数的值域． （3） 设t x =-413，则4132t x -=且0≥t ，所以原函数的值域与t t y +--=32132（0≥t ）相同，故所求函数的值域为]4,(-∞． 【技巧提示】 这就是换元法．通过换元，将所给函数转化成我们熟悉的函数，进而求出值域．利用换元法要注意代换的等价性，及新元的取值范围．本小题可作如下变式①13432-+-=x x y ；变式②x x y 41332---=．（4）函数66522-++-=x x x x y 的定义域为{}3-2≠≠∈x x R x 且 ，去分母得 0)1(6)5()1(2=+-++-y x y x y ①当 1≠y 时∵ R x ∈∴ △＝0)1(6)1(4)5(2≥+⋅-++y y y ， 由此得 0)15(2≥+y ，51-=y 时，代入①得 2)56(2551=-⋅+--=x ，∵ 定义域为{}3-2≠≠∈x x R x 且 ∴51-≠y ；当1=y 时， 代入①求得 2=x ，∴ 1≠y ．综上所述，函数66522-++-=x x x x y 的值域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠∈511y y R y 且．【技巧提示】 此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于能化为关于y 的二次方程的函数．解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.本题可将函数式化为36133)3)(2()3)(2(+-=+-=+---=x x x x x x x y 2≠x 由此可得 1≠y ；∵ 2=x 时 51-=y 于是 51-≠y ；∴ 函数66522-++-=x x x x y 的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠∈511y y R y 且．（5）将函数11-++=x x y 表示为分段函数形式，有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-=1,211,21,2x x x x x y ，图像如图所示，故原函数的值域为[)+∞,2．备注：求函数值域的方法确实不少，但每一种方法都往往只针对特定函数类型．需要反复练习，积累经验，灵活运用，这就是求函数的值域之所以成为难点的原因．随着函数学习的不断深入，求函数的值域的方法还会增加．如，反函数法、单调性法等等．【技巧提示】 此就是图象法．数形结合是高中数学一个重要的思想方法，需要加强训练，灵活运用，特别是在学完基本初等函数的图形和性质之后，很多问题可以用图象法解决．四、课后训练1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知f 满足)(ab f ＝)(a f ＋)(b f ，且)2(f ＝p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. xxy y ==,1 B. 1,112-=+⨯-=x y x x yC. 33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y ==4．函数①1y x =-；②21y x =-；③21y x =-；④xy 5=，其中定义域和值域相同的函数有（ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ． ②③5．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-6．设函数x xxf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x7．函数23212---=x x x y 的定义域为（ ） A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞ C ．]1,21()21,(-⋂--∞D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 8．求下列函数的定义域：（1）)1)(1(-+=x x y ；（2）xx y 1-=； （3）11-+=x x x y ； （4）1412-+-=x x y 9．已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域． 10．设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2(-x f 的定义域． 11．已知函数2(1)4f x x x -=-，分别求函数()f x ，(21)f x +的解析式． 12．求下列函数的值域（1）223y x x =+- ()x R ∈ （2）223y x x =+- [1,2]x ∈（3）311x y x -=+ （4）225941x x y x +=-＋（5）31y x x =-++ （6）y x =五、参考答案1．C 解析：若n ＝2则n 3＋n ＝10，若n ＝3则n 3＋n ＝30，若n ＝4则n 3＋n ＝68，若n ＝5，则n 3＋n ＝130，故选C2．B 3．C 4．C 5．A6．C 7．D8．（1）),1[]1,(+∞--∞ （2）),1[+∞ （3）),1()1,0[+∞ （4）),2()2,1[+∞ 9．值域为{}3,0,1-．10．解析：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为 {}2460|+≤≤x x ． 11．解析：由函数2(1)4f x x x -=-＝3)1(2)1(2----x x ， ∴ 函数()f x ＝322--x x ；(21)f x +＝3)12(2)12(2-+-+x x＝442-x ．12．（1）),4[+∞-（2）]5,0[（3）{}R y y y ∈≠,3 （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≠∈215y y R y 且 （5）),4[+∞ （6）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21y y。

映射教学目标：修改与创1．知识与技能：新（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念教学用具：投影仪教学方法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标。

教学过程：（一）创设情景，揭示课题复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（x,y）和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．（二）研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”1说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={P|P是平面直角坐标中的点}，B(x,y)|x R,y R,对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x|x是圆},对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x|x是新华中学的班级}，Bx|x 是新华中学的学生,对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 开平方B A 求正弦 B3－32－21－1 93004560900 1 22 23 2141（1）（2）A 求平方B A 乘以2 B1 －12 －23 －3 1491231234562（3） （4）（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合 A 到集合 B 的对应（集合 A ，B 各取 4个元素）已知：（1） A1, 2,3, 4, B2, 4, 6,8，对应法则是“乘以 2”；（2）A=x | x ＞0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”；（3） A x | x 0, B R ，对应法则是“求倒数”；（4） A＜| 090 , B x | x1 , 对应法则是“求余弦”．2．在下图中的映射中，A 中元素 600相对应的 B 中的元素是什么？B 中元素22 相对应的元素是什么？（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归 纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是 A 集合中的元素在 B 中都要 有元素和它对应，但 B 中元素在 A 中未必要有元素和它对应；二条是 A 中元素与 B 中 元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．（六）设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知 f 是集合 A 上的任一个映射，试问在值域 f (A)中的任一个元素的原象， 是否都是唯一的？为什么？3．已知集合 Aa ,b, B 1, 0,1, 从集合 A 到集合 B 的映射，试问能构造出多少映射？教学反思：34。

高一数学映射及函数的表示方法【本讲主要内容】一. 本周教学内容：映射及函数的表示方法映射的概念、函数的概念、函数的表示方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x)，x ∈A ，其中x 叫自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫函数值，函数值的集合})(|{A x x f y y ∈=，叫函数的值域。

2. 两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，例如：x y =与33x y =。

3. 映射的定义：一般地，A 、B 是两个集合，如果按照某个对应法则f 对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 和B ，及集合A 到集合B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记做f ：A →B 。

4. 函数的实质：函数是特殊的映射，即要求A 、B 都是非空数集。

5. 函数的表示方法：解析式（分段函数法、图像法、列表法）【解题方法指导】例1. （1）设}8621021{}4210{，，，，，＝，，，B A =下列对应法则能构成A 到B 的映射的是（ ） A. 1:2-→x x f B. 2)1(:-→x x f C. x x f 2:→D. 12:-→x x f点拨：根据映射定义，检验集合A 中每一元素依照对应法则在B 中是否都有唯一元素与之对应。

解析：选C 。

在集合A 中，\10B ∈-→ 在集合B 中，\94B ∈→ 在集合D 中，\42B ∈→（2）下图中可表示函数)(x f y =图象的只可能是（ ）与图像相交，如果只有唯一的交点，则是函数图象，否则不是。

解析：根据函数定义，对任意一个x ，都要有唯一的y 与之对应，故选D 。

映射的概念高中教学教案一、教学目标1. 让学生理解映射的概念，掌握映射的基本性质和表示方法。

2. 培养学生运用映射的观点解决数学问题的能力。

3. 提高学生对数学概念的理解和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 映射的定义：介绍映射的概念，解释映射的数学表达方式。

2. 映射的性质：介绍映射的单射、满射和双射的概念，解释它们的数学表达方式。

3. 映射的表示方法：介绍图示法和函数表示法，讲解它们的区别和应用。

三、教学重点与难点1. 重点：映射的概念、性质和表示方法。

2. 难点：映射性质的证明和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究来理解映射的概念。

2. 利用实例讲解映射的性质和表示方法，让学生在实践中掌握知识。

3. 鼓励学生进行小组讨论和交流，提高合作能力和逻辑思维能力。

五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将一个集合的元素映射到另一个集合。

2. 讲解映射的定义：解释映射的概念，让学生理解映射的数学表达方式。

3. 讲解映射的性质：介绍单射、满射和双射的概念，解释它们的数学表达方式。

4. 实例分析：利用实例讲解映射的性质和表示方法，让学生在实践中掌握知识。

5. 练习与讨论：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并进行小组讨论和交流。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足。

六、教学评价1. 评价目标：通过作业、测验和课堂表现等方式，评价学生对映射概念的理解、性质的掌握和表示方法的运用。

2. 评价方法：a) 作业：布置相关的习题，评估学生对映射概念和性质的掌握。

b) 测验：设计选择题、填空题和解答题，测试学生对映射知识的理解和应用能力。

c) 课堂表现：观察学生在讨论、提问和解答问题时的表现，评价其参与度和理解程度。

3. 评价标准：a) 映射概念理解：能够准确描述映射的定义，区分不同类型的映射。

b) 性质掌握：能够判断给定的映射是否具有单射、满射或双射性质，并给出理由。

第5讲映射、函数的概念1.函数的定义（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。

（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。

（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。

这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。

2.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。

如函数y {x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。

求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。

求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A 的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。

3.函数的对应法则对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。

映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。

虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。

下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。

映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。

简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。

映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。

其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。

映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。

例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。

在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。

我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。

函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。

函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。

函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。

函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。

这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。

函数在数学中有很多重要的属性和性质。

比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。

函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。

函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。

教案二课题：3.1映射与函数：映射与函数概念的应用.教学目标：1．加深对映射与函数概念的理解.能解较难的映射与函数的问题.2．加深对函数意义的理解.给出一个函数，能求出它的定义域，能解求关于代数式的函数式.3．培养学生的观察能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、运算能力.4．学会分析综合、归纳演绎、化归转化，用代换法解求函数值和函数式.渗透具体问题具体分析的观点.教学重点：映射与函数概念的应用.教学难点：解关于映射与函数的综合题.教学方法：讲练结合法.教学手段：三角板、投影仪、胶片. 课时安排：1课时.课堂类型：授新课.教学过程：一、复习导入1. 复习提问：(找三个学生分别回答这三个问题.)(1)映射与函数的概念是什么？(2)函数的定义域、值域的意义是什么？(3)的意义是什么？2. 导入新课：为了加深映射与函数概念的理解，今天我们继续学习映射与函数概念的应用.(老师口述导入语，并板书课题.)二、讲授新知例6：(板书)已知函数＝3－1，求(－2),(0),及(－), (1+),(1－).解：(重点：启发学生练习求函数值，并思考函数式的求法，老师分析讲解，强调用代换法求解.)∵ ＝3－1,∴ (－2)＝3×(－2)－1＝－7，(0)＝3×0－1＝－1,＝3×－1＝.∴ (－)＝3(－)－1＝－3－1,(1+)＝3(1+)－1＝3+2,(1－)＝3(1－)－1＝－3+2.结论：(投影，说明.)可用代换法求函数值或函数式，即用给定的数值或关于的代数式代换所给函数式中的求解.例7： (板书)求下列函数的定义域：(1)＝；(2)＝；(3)＝．解：(板书，重点，启发学生思考、分析、讲解、强调思维方法和解题格式.)(1)要使原函数有意义，当且仅当3－1≠0，即≠.∴ 原函数的定义域为{|≠}.(2)要使原函数有意义，当且仅当3－1≥0，即≥．∴ 原函数的定义域为[,+∞).(3)∵ 当3－1≥0且≠0，即≥且≠，亦即＞时，原函数有意义，所以原函数的定义域为(，+∞).结论：(启发学生归纳总结.投影.)求函数定义域时，一要考虑全面，二要注意书定格式，三要注意定义域的表示方法.例8：(投影)在下列各题中，从集合到集合的对应法则是不是映射？为什么？(1)＝{30°，45°，60°}，＝{非负实数}，对应法则：“求正弦值”；(2)＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，＝{28，29，30，31}，对应法则：“非闰年时，月份数对应该月的天数”；(3)＝，＝{－1，0，1}；对应该法则：“∈，若＜0，对应－1；若＝0,对应0；若＞0，对应1”.解：(启发学生思考、分析讲解，投影.)(1)、(2)、(3)都是映射，因为对中任一元素，在中都有唯一一个元素与之对应.三、课堂练习：(投影启发学生思考、练习、口答、老师强调)1. 已知＝＝100，∈(这类函数通常称做常值函数)，求(－10),(0),(100).2. ((投影，重点启发学生思考、分析、讲解、老师订正.))已知函数＝2－+3,求(－)，(1+).3. 求下列函数的定义域：(1)＝； (2)＝；(3)＝； (4)＝.四、课堂小结：(投影，强调)这节课主要学习了映射与函数概念的应用，要求同学们加深对映射与函数概念的理解，掌握求函数值和函数式的代换法及求函数定义域的定义法和书写格式，学会综合应用知识解题.五、布置作业(投影，说明)1．复习本节课文，并整理笔记.2．书面作业：第85页，习题3－1第3题，第86页习题3－1第1题。

高一数学教案：映射的概念
【摘要】欢迎来到高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。

因此小编在此为您编辑了此文：“高一数学教案：映射的概念”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高一数学教案：映射的概念
教学目标：
1.了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射;
2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系.
教学重点：
用对应来进一步刻画函数;求基本函数的定义域和值域.
教学过程：
一、问题情境
1.复习函数的概念.。

高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选4篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。

教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。

教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。

步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。

步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。

步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。

步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。

步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。

教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。

在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。

在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。

高一数学教案：函数的概念精选4篇（二）教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。

映射与函数一、高考要求：理解映射与函数的概念;会求函数的解析式.二、知识要点：1. 映射的概念:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x ,在B 中总有一个且只有一个元素y 与x 对应,则称f 是集合A 到B 的映射;称y 是x 在映射f 作用下的象,记作)(x f .于是)(x f y =;x 称做y 的原象.映射f 可记为:f :A→B,x |→)(x f .其中,A 叫做映射f 的定义域,由所有象)(x f 所构成的集合叫做f 的值域.2. 如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f ,叫做A 到B 的函数.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ⊆B),叫做函数的值域.(1) 函数的两要素:定义域、对应法则.一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定.两个函数是相同的函数的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同.(2) 函数的表示方法:常用的有列表法、图象法和解析法.三、典型例题：例1:已知映射f :A→B,其中集合A ＝{-3，-2，-1，1，2，3，4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的a∈A,在B 中和它对应的元素是|a|,则集合B 中元素的个数是( )A.4B.5C.6D.7例2:已知集合A={1，2，3，a},B={4，7，b 4，b 2+3b},其中a∈N *，b∈N *.若x∈A，y∈B,映射f :A→B 使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,求a 和b 的值.例3:(1)已知x x f -=11)(,求)1(+x f ,)1(xf .(2)已知x x x f 2)12(2-=+,求)(x f .四、归纳小结：1. 映射是一种特殊的对应.(1) 映射f :A→B 是由集合A 、B 以及从A 到B 的对应法则所确定.(2) 映射f :A→B 中的两个集合A 、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.再者,集合A 、B 可以是同一个集合.(3) 集合A 到集合B 的映射f :A→B 与集合B 到集合A 的映射f :B→A,一般来说是不同的.换言之,映射涉及的两个集合有先后次序.(4) 在映射f :A→B 之下,集合A 中的任一元素在集合B 中都有象,且象是唯一的(简括之:“都有象;象唯一”).(5) 给定映射f :A→B,集合B 中的元素在集合A 中可能有一个原象,可能有两个或多个原象,也可能没有原象.(6) 如果对于A 中的不同元素在集合B 中有不同的象,且B 中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A 到B 的一一映射.一一映射是一种特殊的映射,若设映射f :A→B 的象集为C,则C ⊆B.C=B 是映射f :A→B 构成一一映射的必要条件.2. 函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射.3. 求函数解析式的常用方法:(1) 当已知表达式较简单时,可直接用凑合法求解;(2) 若已知函数的结构,则可用待定系数法求解;(3) 若已知表达式)]([x g f ,则常用换元法求解)(x f ;(4) 消去法:已知表达式)]([x g f ,求)(a f 时,可不必先求)(x f .五、基础知识训练：（一）选择题：1.在映射f :A→B 中,下列判断正确的是( )A.A 中的任一元素在B 中都有象,但不一定唯一B.B 中的某些元素在A 中可能有多个原象,也可能没有原象C.集合A 和B 一定是数集D.记号f :A→B 与f : B→A 的含义是一样的2.已知四个从集合A 到集合B 的对应(如图),那么集合A 到集合B 的映射是( )A.④B.①和④C.②和④D.③和④3.如果x 在映射f :R→R 下的象是x 2-1,那么3在f 下的原象是( )A.2B.-2C.2和-2D.84.集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P 到Q 的函数是( )A.f :x→y=21xB.f :x→y=31xC.f :x→y=32x D. f :x→y=x 5.下列每一组中的函数)(x f 和)(x g ,表示同一个函数的是( )A.x x f =)(;2)()(x x g =B.x x f =)(;33)()(x x g =C.1)(=x f ;xx x g =)( D.1)(=x f ;0)(x x g = 6.(2003高职-11)已知函数22)1(2++=+x x x f ,则)(x f 的解析表达式为( )A.2)1(-x B.12-x C.12+x D.2)1(+x 7.已知函数13)1(-=-x x f ,则)(x f =( )A.3x-1B.3xC.3x+1D.3x+28.函数)23(32)(-≠+=x x cx x f ,满足x x f f =))((,则c 等于( ) A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3（二）填空题：9.集合A 、B 是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A 到B 的映射f :{(x,y)}→{(x 2+y 2,xy)},则象(5,2)的原象是 .10.从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有 个.11.设函数)(x f =[x], (x∈R),其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则)8.4(-f = .（三）解答题：12. 已知正方形ABCD 的边长为10,一动点P 从点A 出发沿正方形的边运动,路线是A→B →C→D→A,设点P 经过的路程为x,设AP 2=y,试写出y 关于x 的函数.函数的定义域、值域一、高考要求：掌握函数的定义域、值域的求解.二、知识要点：函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f :A→B 称为A 到B 的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A 叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C ⊆B)称为函数的值域.三、典型例题：例1;求下列函数的定义域:(1)y=-2x 2+3x-1; (2)422--=x x y ; (3)22x x y -=; (4)3213113-+---=x x x x y例2:求下列函数的值域; (1)1+=x y ; (2) y=-2x 2+4x-1; (3)53-+==x x y ;(4)1322+-=x x y .四、归纳小结：(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:1.一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:(1) )(x f 是整式或奇次根式时,定义域为实数集;(2) )(x f 是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;(3) )(x f 是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;(4) )(x f 是对数函数的,要考虑对数的意义.2.如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.3.由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:(1) 配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围;(2) 判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”;(3) 图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.(4) 反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.五、基础知识训练：（一）选择题：1.函数)12lg(22--=x x x y 的定义域是( ) A.]2,1()1,21(⋃ B.]2,21( C.()(]2,11,0⋃ D.(]2,0 2.函数x x y -+=的定义域为( )A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.(-∞,+∞)D.{0}3.函数xy 11+=的定义域为( ) A.x ＞0 B.x ＞0或x≤-1 C. x ＞0或x ＜-1 D.0＜x ＜14.函数265)(2-+-=x x x x f 的定义域为( ) A.{x|2＜x ＜3} B.{x|x ＞3或x ＜2} C.{x|x≤2或x≥3} D. {x|x＜2或x≥3}5.函数)(x f 的定义域为[-2,1],则函数)1(xx f -的定义域为( ) A.(32-,0) B.[31,+∞) C.[31-,+∞) D.(0,+∞) 6.(当[]4,1∈x 时,函数7822+-=x x y 的值域是( )A.[1,7]B.[-1,1]C.[-1,7]D.[)+∞-,17.函数322+--=x x y (-5≤x≤0)的值域是( )A.(]4,∞-B.[3,12]C.[-12,4]D.[4,12]8.若36)]([+=x x g f ,且12)(+=x x g ,则)(x f =( )A.3B.3xC.3(2x+1)D.6x+1（二）填空题：9.(函数4)65(log 222-++-=x x x y 的定义域为(用集合表示) . 10.函数34)63lg(-+-=x x y 的定义域为 . 11. 函数4)(1321-++=x x y 的定义域为 . 12. 已知函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)(2x f 的定义域是 .13. y=x 2-5x+6(-3≤x≤2)的值域是 .14. 已知函数32)(+=x x f ,x∈{0，1，2，3，4，5},则函数)(x f 的值域是 . 15. 函数22--=x x y 的定义域为A,函数xx y -+=12的定义域为B,则A∩B= , A∪B= .函数的图象一、高考要求：会用描点法作函数的图象.二、知识要点：函数图象是函数的一种表示形式,它反映了从“图形”方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质,也可以帮助我们掌握各类函数的基本性质.函数的图象可能是一条光滑的直线,也可能是曲线或折线或其中的一部分,还可能是一些间断点.描点法是作函数图象的基本方法.三、典型例题：例1:画出下列各函数的图象:(1)y=1-x(x∈Z); (2)y=|x-1|; (3)y=2x2-4x-3(0≤x＜3); (4)y=x3.例2:ABCD是一个等腰梯形,下底AB=10,上底CD=4,两腰AD=BC=5,设动点P由B点沿梯形各边经C、D运动到A点,试写出△PAB的面积S与P点所行路程x之间的函数关系式,并画出其图象.四、归纳小结：1.画函数的图象(草图)的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2) 化简函数的解析式(如含有绝对值的函数化为分段函数);(3) 利用基本函数画出所需的图象.2.利用描点法画函数的图象时要注意根据具体函数进行分析:如何取点,取多少点.五、基础知识训练：（一）选择题：1.函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数是( )A.有一个B.至少有一个C.至多有一个D.有一个或两个2.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如右图,则( )A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1)C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞)（二）填空题：3.函数125+-=x x y 的图象关于点 对称. 4.方程lgx=sinx 的实数解的个数是 .（三）解答题：5.已知等边三角形OAB 的边长为2,直线 ⊥OA, 截这个三角形所得的图形位于 的左方(图中阴影部分)的面积为y,O 到 的距离为x(0≤x≤2).(1) 求出函数)(x f y =的解析式(8分);(2) 画出)(x f y =的图象(4分).函数的单调性与奇偶性一、高考要求：理解函数的单调性与奇偶性.二、知识要点：1. 已知函数)(x f ,在给定的区间上,任取两点A(11,y x ),B(22,y x ),记12x x x -=∆,1212)()(y y x f x f y -=-=∆.当0>∆∆xy 时,函数)(x f y =在这个区间上是增函数;当0<∆∆xy 时,函数)(x f y =在这个区间上是减函数.如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.2.如果对于函数)(x f y =的定义域A 内的任一个x,都有)()(x f x f -=-,则这个函数叫做奇函数;如果对于函数)(x f y =的定义域A 内的任一个x,都有)()(x f x f =-,则这个函数叫做偶函数.一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; 一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形.三、典型例题：例1:已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数,求实数a 的取值范围.例2:判断下列函数的奇偶性: (1)2211)(x x x f -⋅-=; (2)xx x x f -+-=11)1()(; (3)⎩⎨⎧<+>-=)0)(1()0)(1()(x x x x x x x f ; (4)x x x x f +--=21)(2.例3:已知函数)(x f 的定义域为(-1,1),且满足下列条件: (1))(x f 是奇函数;(2))(x f 在定义域内单调递减;(3)0)1()1(2<-+-a f a f .求实数a 的取值范围.例4:已知奇函数)(x f 在[-b,-a](a ＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是增函数还是减函数?为什么?四、归纳小结：1.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是:(1) 设21x x 、是给定区间内的任意两个值,且21x x <,即021<-=∆x x x ;(2) 作差)()(21x f x f y -=∆,并将此差化简、变形;(3) 判断)()(21x f x f y -=∆的符号,从而证得函数得增减性.2.判断函数奇偶性的步骤:(1) 考查函数的定义域是否关于原点对称;(2) 判断)()(x f x f ±=-(变通式为0)()(=±-x f x f )之一是否成立.五、基础知识训练：（一）选择题：1.已知函数①2)(x x f -=;②)1)(1()(-+=x x x f ;③x x x f +=2)(; ④11)(2-=x x f ;⑤32)(x x x f +=.其中为偶函数的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①④⑤ D.②④⑤2.奇函数)(x f y =(x∈R)的图象必过点( )A.(a,)(a f -)B.(-a,)(a f )C.(-a,)(a f -)D.(a,)(1af ) 3.下列函数中,在(-∞,0)内是减函数的是( )A.y=1-x 2B.y=x 2+2C.2-=x yD.1-=x x y4.对任意奇函数)(x f (x∈R)都有( )A.)()(x f x f --＞0B.)()(x f x f --≤0C.)()(x f x f -⋅≤0D.)()(x f x f -⋅＞0 5.下列函数在定义域内既是奇函数,又是单调增函数的是( )A.x y tan =B.xy 3= C.x y 3log = D.31x y =6.设函数)(x f 在R 上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则)(x f 在(-∞,0)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数7.已知函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数,那么cx bx ax x g ++=23)(是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 8.如果奇函数在(0,+∞)上是增函数,那么)(x f 在(-∞,0)上( ) A.是增函数 B.是减函数C.既可能是增函数,又可能是减函数D.不一定具有单调性9. 已知)(x f y =为偶函数,当0>x 时, xy 2=;当0<x ,函数表达式为( )A.xy 2-= B.x y 2log = C.xy )(21= D.2x y = 10.函数32)(2+-=mx x x f ,当x∈[)+∞-,2时是增函数,当x∈(]2,-∞-时是减函数,则)1(f 等于( )A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数 （二）填空题：11.已知)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,且32)()(2++=-x x x g x f ,则=+)()(x g x f .12.定义在R 上的偶函数)(x f ,在区间(-∞,0)上单调递增,且)2()1(22a f a f ->--.则实数a 的取值范围是 .13.已知偶函数)(x f 在[-b,-a](a ＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是 . （三）解答题：14.定义在[-2,2]上的偶函数)(x f ,当x≥0时,)(x f 单调递减,若)()1(m f m f <-成立,求m 的取值范围.15.设函数cbx ax x f ++=1)(2是奇函数(a 、b 、c∈Z),且)1(f =2,)2(f ＜3.(1) 求a 、b 、c 的值;(2) 判断并证明)(x f 在),1[+∞上的单调性.反函数一、高考要求：理解反函数的概念,掌握反函数的求法,能利用互为反函数间的关系解决相关问题. 二、知识要点：1.反函数的定义:一般地,在函数)(x f y =中,设它的定义域为A,值域为C,如果对C 中的每一个元素y,都有A 中唯一确定的元素x 与之对应,即x 是y 的函数,并表示为)(y g x =,那么)(y g x =称为函数)(x f y =的反函数.函数)(x f y =的反函数,也常用)(1x f y -=表示.2. 互为反函数的函数图象间的关系:一般地,有函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.三、典型例题：例1:求下列函数的反函数: (1)156-+=x x y ; (2)12-=x y (x≤-1)例2:函数c bx a x y ++=(a,b,c 为常数)的反函数是1213-+=x x y ,求a,b,c 的值.四、归纳小结： 1.求反函数的步骤:(1) 由)(x f y =解出)(y g x =,并判断)(y g x =是否满足函数定义; (2) 交换x ，y 得)()(1x g x f=-;(3) 根据)(x f y =的值域,写出)(1x f y -=的定义域.2.反函数存在的条件:从定义域到值域构成一一映射关系.3.原函数为奇函数,则反函数也一定为奇函数,但奇函数未必都存在反函数.偶函数一般不存在反函数. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.已知命题: 正确命题的个数是( )(1) 任何一个函数都有反函数; (2) 函数)(1x f-的定义域是其反函数)(x f 的值域;(3) )(x f 与)(x g 互为反函数,若)0(f =2000,则)2000(g =0; (4) 直线y=2x 与直线y=21x 关于直线y=x 对称. A.4 B.3 C.2 D.12.已知函数132)(++=x xx f ,且1)(01=-x f ,则0x 的值是( ) A.43 B.21 C.34D.23.函数ax x x f +-=12)(的反函数恰是)(x f 本身,则实数a 的值是( )A.-1B.1C.-2D.24.已知3412)(++=x x x f (x∈R,x≠43-),则)2(1--f 的值为( )A.65-B.52- C.52 D.1155.函数1++=cx b ax y (a≠bc)的反函数是132++=x x y ,求a,b,c 的值依次是( )A.1,-2,-3B.-1,2,3C.-1,2,-3D.1,2,3 6.函数322+-=x x y (x≤1)的反函数的定义域是( )A.[2,4]B.[-4,4]C.]1,(-∞D.),2[+∞ （二）填空题： 7.函数1-=x y 的反函数是 .8.已知212)(xx f -=(x ＜-1),则)32(1--f 的值为 . 9.函数xbax x f +=)(的反函数恰是)(x f 本身,则实数a= ,b= . （三）解答题： 10. 已知函数ax x x f ++=23)((x≠-a,a≠32),(1) 求它的反函数; (2)求使)()(1x f x f =-的实数a 的值.11. 求函数1332+--=x x y 的值域.一元一次函数和一元二次函数的性质一、高考要求：掌握一元一次函数和一元二次函数的图象和性质. 二、知识要点：1. 正比例函数:函数y=kx(k≠0,x∈R)叫做正比例函数.其图象是通过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线. k 叫做y 与x 的比例系数,也称做直线y=kx 的斜率.2. 一次函数:函数y=kx+b(k≠0,x∈R)叫做一次函数(又叫做线性函数).其图象是通过原点(0,b)且平行于直线y=kx 的一条直线.k 叫做直线y=kx+b 的斜率,b 叫做直线y=kx+b 在y 轴上的截距.正比例函数是一次函数的特殊情况.3. 二次函数:函数y=ax 2+bx+c(a≠0,x∈R)叫做二次函数.二次函数有如下性质:(1) 函数的图象是一条抛物线,抛物线的顶点的坐标是(ab 2-,a b ac 442-),抛物线的对称轴是abx 2-=; (2) 当a ＞0时,抛物线的开口方向向上,函数abx 2-=在处取最小值a b ac y 442min -=;在区间(-∞, a b 2-)上是减函数,在区间(ab2-,+∞)上是增函数; (3) 当a ＜0时,抛物线的开口方向向下,函数abx 2-=在处取最大值a b ac y 442max -=;在区间(-∞, a b 2-)上是增函数,在区间(ab2-,+∞)上是减函数. 三、典型例题：例1:已知y+b 与x+a 成正比例,a,b 为常数,如果x=3时y=5;x=2时y=2,求出表示y 是x 的函数的解析式.例2:设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+,且)(x f =0的两个根的平方和为10,)(x f 的图象过点(0,3),求)(x f 的解析式.四、归纳小结：1. 二次函数的解析式有三种形式: ①y=ax 2+bx+c; ②y=a(x+h)2+k; ③y=a(x -x 1)(x-x 2). 2. 当△=b 2-4ac ＞0时,二次函数的图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0),则 |M 1M 2|=|x 1-x 2|=212214)(x x x x -+=a∆五、基础知识训练： （一）选择题：1. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象关于y 轴对称,则下列等式成立的是( )A.042=-ac b B.0=a b C.0=acD.0=++c b a 2. 二次函数)(x f y =的图象如图所示,那么此函数为( ) A.y=x 2-4 B. y=4-x2C.y=43(4-x 2) D. y=43(2-x) 23. 若二次函数y=-x 2+bx+c 的对称轴是x=4,且最大值是14,则此二次函数可能是( ) A.y=-x 2+8x+14 B.y=-x 2+8x-2 C.y=-x 2-8x-14 D.y=-x 2+4x+14 4. 如果函数c bx ax x f ++=2)(对任意t 都有)2()2(t f t f -=+,那么( ) A.)2(f ＜)1(f ＜)4(f B.)1(f ＜)2(f ＜)4(f C.)2(f ＜)4(f ＜)1(f D.)4(f ＜)2(f ＜)1(f （二）填空题：5. 设122)2()(-++=m mx m m x f ,当m= 时,)(x f 为正比例函数,当m=时,)(x f 为反比例函数,当m= 时,)(x f 为二次函数.6. (设函数自变量的增量为△x=x 2-x 1,相应的因变量的增量记为△y=y 2-y 1,在一次函数中,当△x=2时, △y=-2,且该函数的图象过点P(-2,3),则这个函数的解析式为 .7. 已知二次函数4)2(2++-=x m x y 的图象与x 轴有交点,则实数m 的取值范围是 . （三）解答题： 8. 已知函数4321)(2+-=x x x f 。

课题：2.1.3 函数－映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射.二、讲解新课：看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象；求平方B B④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？(是) （不是） （是）例2下列各组映射是否同一映射？例3判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f（2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →:（5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个（B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个（C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同（D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射（B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N},f:x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6.) 分析：求象119的原象只需解方程1212+-x x =119求出x 即可.同理可求1311的原象. 五、小结 本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素六、课后作业：课本第52页习题2.1：7，8七、板书设计（略）八、课后记：。

二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有34个，B 到A 的映射有43个；A 到B 的函数有81个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。

函数)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为 个。

二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

相同函数的判断方法：① ；② （1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{()00()1()1g x f x f x ><<>或；⑤含参问题的定义域要分类讨论；⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S r ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。