粘性流体动力学基础

因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS

p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：

流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。
•流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。
•当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
x 2
x轴正方向 x轴负方向
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
dxdydz
dux dt
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
duy dt
fz
1
p z
duz dt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。

xx 附加粘性正应力
xxpxx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等 于正应力值。但有：
pmxx 3 yy zzp' v
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
流体微团的运动形式 与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速 分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边 的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
关键：寻求 流体应力与 变形速率之 间的关系
目的
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
牛顿流体的本构方程
z
1(uy 2 x
ux y
)
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 质量守恒
z dy
输的入质微量元流体量－
输出微元体 的质量流量
dz vx dydz
dx

vx

xvxdxdydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率

第十章 粘性流体动力学基础 上一节下一节第四节 雷诺方程和雷诺应力□□□□在第四章曾经就湍流流动的速度分布、流动特点和流动损失等作了简单的讨论。

如果要知道湍流流场中的流动细节，即计算流场中点各点的流动参数，就需要建立适合于湍流流动的基本方程。

本节就是要导出湍流流动的 雷诺方程。

□□□□从对湍流的研究可知，湍流运动中任何物理量都随时间和空间不断的变化，所以要想用 方程 求解这种运动的瞬时速度是非常困难的。

研究表明，虽然湍流运动十分复杂，但是它仍然遵循连续介质运动的特征和一般力学规律，因此，雷诺提出用时均值概念来研究湍流运动的方法，导出了以时间平均速度场为基础的雷诺时均 方程。

□□□□雷诺从不可压缩流体的 N—S方程导出湍流平均运动方程（后人称此为雷诺方程）并引出雷诺应力的概念。

之后，人们引用时均值概念导出湍流基本方程，使湍流运动的理论分析得到了很大的发展。

槽流动的数值模拟10.4.1 常用的时均运算关系式□□□□设A、B、C为湍流中物理量的瞬时值，为物理量的时均值， 为物理量的脉动值，则具有以下的时均运算规律。

（ 1 ）时均量的时均值等于原来的时均值，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.43) 因为在时间平均周期T内 是个定值，所以其时均值仍为原来的值。

（2）脉动量的时均值等于零，即(10.44)（ 3 ）瞬时物理量之和的时均值，等于各个物理量时均值之和，即= (10.45)（ 4 ）时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.46) 因为在平均周期内 是个定值，所以有（ 5 ）时均物理量与瞬时物理量之积的时均值等于两个时均物理量之积，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.47) 同样在平均周期内 是个定值，所以（ 6 ）两个瞬时物理量之积的时均值，等于两个时均物理量之积与两个脉动量之积的时均值之和，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.48)推论□□□□□□□□□□□□□□□□(10.49) (7) 瞬时物理量对空间坐标各阶导数的时均值，等于时均物理量对同一坐标的各阶导数，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.50)其中， 代表任意坐标方向，如 。