《工程流体力学》第3章 流体动力学理论基础

§3-2 研究流体运动的若干基本概念
流管、元流、总流、过流断面
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
流量、断面平均流速 ◇流量——单位时间通过过流断面的流体量
dQ udA(元流） Q ud（总流） A
A
☆常用单位：m3/s或L/s（体积流量） ☆换算关系：1m3=1000L
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
A undA 0
§3-3 流体运动的连续性方程
取图示管状总流控制体，因其侧面上 un 0 （为什么？ 请思考），故有
u1dA1 u2dA2 0
A1 A2
引入断面平均流速，得恒定总流的连续性方程：
v1 A1 v2 A2 Q
说明：流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力
§3-4 理想流体运动微分方程 及其积分
③质量力有势：
f ds dW
u2 du ds ds du u du d ④沿流线积分 : dt dt 2
代入
du f ds p ds ds 整理得 dt
u2 d(W ) 0 2 p
或
u 0
§3-3 流体运动的连续性方程
【例2】假设不可压缩流体的流速场为
ux f ( y, z), uy uz 0
试判断该流动是否可能存在。 【解】判断流动是否可能存在，主要看其是否满足连续 性微分方程。
本题 满足
u x u y u z 0 x y z
u x u y u z 0 x y z
§3-1 描述流体运动的方法
拉格朗日法 ◇研究对象——流体质点或质点系 ☆固体运动常采用拉格朗日法研究，但流体运动一般较 固体运动复杂，通常采用欧拉法研究。
运动流体
§3-1 描述流体运动的方法
欧拉法 修正施 ◇研究对象——流场（某时刻充满运动流体质点的
固定空间）
工
☆当地加速度（时变加速度） ☆迁移加速度（位变加速度）
§3-3 流体运动的连续性方程
★连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的数学表达式 一、连续性微分方程 TEXT TEXT 取如图所示微小六面体为控制体，分析在 dt时间内流 进、流出控制体的质量差：
§3-3 流体运动的连续性方程
◇ x 方向：
1 1 ux mx ( dx)(ux dx)dydzdt 2 x 2 x 1 1 ux ( dx)(ux dx)dydzdt 2 x 2 x ( ux ) dxdydzdt x

V
( u)dV undA
A
连续性 积分方程
dV un dA 0 A t V
§3-3 流体运动的连续性方程
三、恒定不可压缩总流的连续性方程
对于恒定 (
t
V
dV 0) 不可压缩 （ρ＝常数）总
流 ，连续性积分方程可简化为：
☆对于恒定流 (
0) ，连续性方程简化为 t ( u x ) ( u y ) ( u z )
x y z 0
或
( u ) 0
☆对于不可压缩流体 ( C ) ，连续性方程简化为
u x u y u z 0 x y z
考虑到实际流体粘性作用引起的水头 损失和测速管对流动的影响，实际应用时， 应对上式进行修正：
u 2 ghu
式中： 称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
§3-5 伯努利方程
三、实际流体恒定总流的伯努利方程 实际工程中往往要解决的是总流问题，现将实际流 体定常元流的伯努利方程推广到总流：
的运动学方程，因此对实际流体和理想流及其积分
欧拉运动微分方程推导 取图示微小六面体研究，由平衡流体推广到运动（理 想）流体。 平衡流体 运动（理想）流体
z
p dx p x 2
力学方程 表面力 质量力 惯性力
F 0
p, 0 f x, f y , f z 0
du 将 f p 各项点乘单位线段矢量 dt 1
ds ，得
du f ds p ds ds dt
☆限定条件
1
() 0) : ①恒定流 ( t
p ds dp
p ①不可压缩流体 ( c) : p ds dp d 1 1
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
基本方程
迹线方程
流线方程
dx dy dz dt ux u y uz
时间t是变量
u ds 0
dx dy dz ux u y uz
时间是参变量
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
流线的性质 ☆一般情况，流线不能相交，且只能是一条光滑曲 线。
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 z2 hW g 2g g 2g
施工组 织计划
☆流线充满整个流场。 ☆恒定流动时，流线的形状、位置不随时间变化， 且与迹线重合。 ☆流线愈密，流速愈大。
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
【例1】 已知平面流动的流速分布为 ux kx, uy ky 其中y≥0，k为常数。试求：①流线方程；②迹线方程。 【解】据y≥0知，流体流动仅限于xy半平面内，因 运动要素与时间t无关，故该流动为恒定二元流。
欧拉运动微分方程
1 p du x f x x dt 1 p du y fy y dt 1 p du z f z z dt 1 du f p dt

§3-4 理想流体运动微分方程 及其积分
欧拉运动微分方程的伯努利积分
☆流线方程：
dx dy kx ky
积分得：
xy c
该流线为一组等角双曲线。
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
☆迹线方程： dx dy dt
kx
ky
积分得： x c1e , y c2e
kt
kt
xy c1c2ekt ekt c1c2 c
与流线方程相同，说明恒定流动时，流线与迹线在几 何上完全重合。
第3章流体动力学 理论基础
第3章 流体动力学理论基础
研究思路： 理想流体→实际流体 修正施 研究内容： 压强、流速分布 工 理论基础： 质量守恒定律 牛顿第二定律 重点掌握： 恒定总流的三大基本方程
施工组 织设计
第3章 流体动力学理论基础
编制依据 目录 §3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 描述流体运动的方法 研究流体运动的若干基本概念 流体运动的连续性方程 理想流体运动微分方程及其积分 伯努利方程 动量方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw g 2g g 2g
§3-5 伯努利方程
◇为了形象地了解流体运动时能量沿示的变化情况，特 定义： ☆测压管线坡度
☆总水头线坡度
p d z g Jp dl
p u2 d z g 2 g J dl ☈实际流体 J 0 ；理想流体 J 0 ；均匀流体 J p J
pB pA hu zB zA g g
计算A点的流速 u 。
u
§3-5 伯努利方程
【解】先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努 利方程，有 2
zA pA u p zB B 0 g 2g g
pB pA 故 u 2 g zB g z A g 2 ghu
1
或
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 g 2 g g 2g
§3-5 伯努利方程
☆伯努利方程的物理意义 ☆伯努利方程的几何意义
流速水 头
§3-5 伯努利方程
二、实际流体恒定元流的伯努利方程
实际流体由于粘性的存在，在运动过程中，存在能量 耗散，机械能沿流线不守恒。
为单位重量流体沿线的机械能损失，亦称水头 设 hw 损失，则据能量恒定律，可得实际流体定常元流的伯努利 方程
◇断面平均流速 ☆不管是管流还是渠流，过流断面上实际流速分布均是 非均匀的。
u
v
☆在流体力学中，为方便应用，常引入断面平均流速概 念。
Q v A

A
udA A
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
均匀流与非均匀流、渐变流 ◇均匀流：各流线为平行直线的流动 ☆均匀流的迁移加速度等于零 ◇非均匀流：各流线或为曲线，或为彼此不相互平行 施工进度图 Text 的直线，其迁移加速度不等于零。 Text ☆天然河流为典型的非均匀流动 Text ☆非均匀流视其流线弯曲程度又可分为渐变流和急 变流。

F ma
p, 0 f x, f y , f z a
N
dz o' dx dy
p
M
p dx x 2
o
x
y
§3-4 理想流体运动微分方程 及其积分
☆欧拉平衡微分方程
1 p f x x 0 1 p 分量式 f y 0 y 1 p 0 fz z 1 矢量式 f p 0
§3-5 伯努利方程
【例3】皮托管是一种测量流体点流速的仪器，它是由 测压管和一根与它装在一起且两端开口的直角弯管（称为 测速管）组成，如图所示。测速时，将弯端管口对着来流 方向置于A点下游同一流线上相距很近的B点，流体流入测 速管B点，该点流速等于零（称为驻点），动能全部转化为 势能，测速管内液柱保持一定高度。试根据B、A两点的测 压管水头差
故该流动可能存在。
§3-3 流体运动的连续性方程
二、连续性积分方程 取图示总流控制体，将连续性微分方程对总流控 制体积分：