第七章不可压缩流体动力学基础

转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。
可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密
切关系。
流体力学
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
(ρVxx
Vx
ρ)δxδyδz x
(ρVx x
)δV
同理
y方向：净流入＝
(ρVy y
) δV
z方向：净流入＝
(ρVz z
)δV
ZY X
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
净流入微元体质量流量＝
(ρVx
x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)δV
单位时间微元体流体质量增长率：
t(ρδxδyδz)
ρδV t
0
Vz
Vz dz (z x)dz z2 xz c
z
2
流体力学
代入条件 z 0 , Vz 0 , 得
∴
Vz
xz
z2 2
c0
流体力学 第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程
一、黏性流体的内应力(应力状态)
流体力学
静止状态
流体力学
粘性流体运动状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
——纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程
流体力学
N-S方程的另一种形式为（不可压缩流体的运动）：
流体力学
以上三式加上不可压缩流体的连续方程：
vx vy vz 0 x y z
共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中
的四个未知数 vx、vy、vz 和p。但是，实际上由于流体流动
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第五节 应力和变形速度的关系 一、切应力和角应变速度的关系
三元流牛顿内摩擦定律，由一元流牛顿内摩擦定律推广得：
K
A
斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单 连通区域、空间曲面。
流体力学
6.汤姆孙（W. Thomson）定理：
正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体 质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。
dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有 势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也 是不能自行消灭的。
一、物理模型
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
B
A
M
C
vCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
➢斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的 质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。
流体力学
第三节 微分形式的连续性方程
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量 守恒定律。对于一定的控制体，必须满足输运公式。它表示在 控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率 等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。
流体力学
第七章 不可压缩流体动力学基础
参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题， 就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多 维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提 供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定 必要的基础。
流体力学
第一节 流体微团运动的分解
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
A
D
vx dxdt
单位时x间单位长度的伸长：vx
B
C
x
同理y向线变形速度：
v y y
流体力学
3.角变形运动
B、C在y方向有速度差：
A
vBy
vCy
vy x
dx
d
在dt时间内BC线段将旋转：
d
tan d
vy x
dx dt
vy
dt
B
dx
x
同理，AB在dt时间线段将旋转： vx dt y
xy yx yz zy zx xz
dvx d
dy dt
d
dt
d
dt
d
dt
vy x
vx y
2z
假若流体的粘度
xy
yx
v y x
vx y
•
2 z
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
vy x
dx 2
D
B点速度:
y
vBX
vx
vx y
dy 2
vBY
vy
vy y
dy 2
0
x
流体力学
二、物理意义（以平面流动进行分析）
1.平移运动
向左移动 vxdt
向上移动 vydt
v x dt
vx vy vydt
流体力学
2.线变形运动 每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度
B、C在x方向有速度差
选取一微元体，中心点为 M（x，y，z），密度为ρ， 边长分别为δx，δy，δz，且 分别平行于x，y，z轴。
ZY X
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
M点速度：
v
vxi
vy
j
vz
k
N点坐标： (x x / 2, y, z)
N点密度： ( x )
x 2
N点x方向速度分量：
vx
vx x
x
2
通过以N点为中心流入微元体的质量流量
p y
dv y dt
fz
1
p z
dv z dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
v x x
vy
v x y
vz
v x z
fy
1
p y
v y t
vx
v y y
vy
v y y
vz
v y z
fz
1
p z
vz t
vx
v z x
vy
v z y
vz
v z z
流体力学
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周 线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线 的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。
速度环量
流体力学
5.斯托克斯定理
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速 度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。
k v dsJ 2ndA
现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的 运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克 斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dv x dt
fy
1
涡管
流体力学
3.涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速 度方向的微元涡管横截面积dA的 乘积的两倍称为微元涡管的涡通 量(也称涡管强度)。
dJ 2dA
有限截面涡管的涡通量
J 2ndA
A
涡通量
流体力学
4. 速度环量Γ
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。 实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
此即欧拉平衡方程——流体平衡微分方程。
流体力学
第八节 流体运动的初始条件及边界条件
一、定解条件
方程组的封闭问题
连续方程 1个 4个
运动方程 3个
未知量 vx , vy , vz , p, 5个
还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。
对于不可压缩流体， const 对于密度仅是压强的函数的流体 ( p)
数学条件： 当
1
V
0
2
当
1
V
0
2
无旋流动 有旋流动
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
vz x
j
v y x
vx y
k
流体力学
即当流场速度同时满足：
vz vy y z
vx vz z x
vy vx 时流动无旋
x y
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是 否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。
其矢量式为 ：f 1 gradp v (v)v
t
公式为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上 的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没 加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动 和无旋流动。
流体力学
如果流体处于静止状态，则上式简化为：
(ρ
ρx δ2x)(Vx
Vx x
δx 2
)δyδz
O点坐标： (x x / 2, y, z)
O点密度：
(
x
x ) 2
x方向速度分量：
Vx
Vx x
δx 2
通过以O点为中心流出微元体的质量流量
ZY X
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
(ρ
ρx δ2x)(Vx
Vx x
δx 2
源自文库
)δyδz
净流入＝流入－流出＝
d
C
流体力学
单位时间内直角∠ABC变成锐角∠A‘B’C‘，变形速度为：
d d vy vx
dt
x y
定义XY平面的剪切变形率为：z
1 2
( vy x
vx y
)
同理可得：
x
1 ( vz 2 y
vy ) z
y
1 2
( vx z
vz x
)
流体力学
4.旋转运动
流体微团的旋转角速度的定义 为每秒内绕同一转轴的两条互 相垂直的微元线段旋转角度的 平均值。
规定逆时针旋转角度为正：
BC边旋转的角度为：
d vy dt
x BA边旋转的角度为：d －vx dt
y
A
d
B
d
C
流体力学
轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：
x
1 2
v z y
v y z
y
1 vx 2 z
v z x
z
1 2
v y x
v x y
2 x
2 y
2 z
流体力学
流体质点速度表达为：
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y
pzz
p
2
vz z
对可压缩流体推导的结果如下：
pxx
p 2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
流体力学
第六节 纳维—斯托克斯方程
现将切向应力和法向应力的关系式代入平衡方程式,化简可 得不可压缩粘性流体的运动微分方程：
Vx x
Vy y
Vz z
)
0
—— 直角坐标系下连续性方程的一般形式。
讨论：
1） 对恒定流动
ρ t
0
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
（表明对恒定流动，相同时间里流进和流出微元体质量相等）
2） 对不可压缩流体流动
dρ dt
0
Vx x
Vy y
Vz z
0
或
V 0
(流速矢量的散度)
（很多工程上问题可看成不可压缩流体，因此在很多推导中会用到此结果）
流体力学
例 三维不可压缩流场，已知 Vx x2 y2z3 ,
Vy (xy yz zx) 且已知 z 0 处 Vz 0 , 试求流场中Vz的
表达示。
解：对不可压缩流场
dρ dt
0
,
V 0
而
Vx x
2x
,
Vy y
x z
即 Vx Vy Vz 0
x y z
代入上式得
x
z
Vz z
流体力学
1.涡量场
xi
y
j
zk
1 2
V
i jk
1 2 x y z
vx
vy
2
vz
x
i
y
j
z
k
u
涡量连续性方程的表示：
x y z 0 x y z
流体力学
2.涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场中任 取一不是涡线的封闭曲线， 通过封闭曲线上每一点作涡 线，这些涡线形成一个管状 表面，称为涡管。涡管中充 满着作旋转运动的流体，称 为涡束。
运动学条件：边界上速度 边界条件 动力学条件：边界上的力（压强）
流体力学
固体壁面
流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与
壁面在法线方向的相对分速度应等于零。即：vn vwn 若固壁是静止的：vn 0
vFX
vx
vx x
dx 2
vx y
dy 2
vFx
vx
vx x
dx 2
[1 (vx 2 y
vy x
)
dy ] 2
[1 (vx 2 y
vy x
)
dy ] 2
移动 线变形运动 角变形运动 旋转运动
Y和Z方向的速度由同学们自己分析！
流体力学
第二节 有旋运动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为 两类：有旋流动和无旋流动。