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第10讲 一元一次方程进阶
知识总结归纳
一. 含字母系数的一次方程的解法
关于x的方程
bax

（1） 当0a时，方程有唯一解abx；
（2） 当0ba时，方程的解为任意实数；
（3） 当0a且0b时，方程无解．
二. 对于特殊的一元一次方程，可以用验根法解方程，即代入某数验证它就是方程的根，
然后说明此方程有唯一解（一次项系数不为0）.
三. 当一个一元一次方程有两个或者两个以上的解时，它必有无穷多个解，即它的一次项
系数和常数都为0.
四. 整数根的两种解法：
方法1：先解方程，然后把解的代数式适当变形，根据整数的整除性求解；
方法2：直接把方程化成一个整式，利用因式分解的方法求解.

典型例题
一. 解方程
例题1
解方程：

632432

xxx

.
例题2
解方程：
1]

34)32(2[2

3

x
.

例题3
解方程：

2362132

432




x
x
xx

x


例题4
解方程：
52

651312

1x

xxx

例题5
解方程：
2009

20102009433221

xxxx

例题6
解方程：
2013)2013

20141)341)231)12

1

yyyy（（（（
；

二. 含参数的方程
例题7
解下列关于x的方程．

（1）nxmx1；
（2）84axbx；
（3）)2(41)(31mxnxm；


例题8
解关于x的方程

ababxb

ax

，其中0a，0b.

例题9
解关于x的方程:0))((nmnmx.

例题10
解关于x的方程:
2222
))(())((baxbxaxbabxa
三. 解的情况的讨论
例题11
关于x的方程nxmx34，分别求m、n为何值时，原方程：（1）有惟一解；（2）有无

数解；（3）无解.

例题12
已知关于x的方程bxaxa3512 无穷多解，求a、b.

例题13
已知关于x的方程 xnxm121232无穷多解，求m、n.

例题14
已知关于x的方程23)12(xxa无解，试求a的值．
例题15
证明：若一元一次方程bax有两个不同的解

1
x
和2x，求证：这个方程必有有无数多个解。

例题16
已知关于x的方程bxax23有两个不同的解，求
2005

)34(ba
的值.

例题17
已知关于x的方程


3156
2
mxxxm
至少有两个解，求m.

例题18
无论k取何值时，2x总是关于x的方程

312

bkxakx

的解，求a、b的值.
例题19
不论k为何值时，1x总是关于x的方程

623

2bkxakx

的解，求a、b的值.

例题20
已知p、q都是质数，则以x为未知数的一元一次方程975qpx的解是1，求代数式
qp

2

的值。

例题21
k

为何正数时，方程
kkxkxk52

22

的解是正数？

例题22
当k取何值时，关于x的方程kxx5)1(3分别有：（1）正数解；（2）负数解；（3）不

大于1的解．
四. 公共解
例题23
已知下面两个方程

xx5)2(3
①

)(76)(34xaxxax
②

有相同的解，试求a的值．

例题24
已知关于x的方程
x

axx4)3(23和1851123xax

有相同的解，那么这个解是多

少？

例题25
已知关于x的方程0bax与0abx的解相同，则a、b满足什么关系？
五. 整数根
例题26
关于x的方程52xkkx的解为整数，求整数k.

例题27
关于x的方程11433xmxm 的解为正整数，求整数m.

例题28
关于x的方程 xxk5165的解为整数，求正整数k.

例题29
若k为整数，则使得方程xxk20002001)1999(的解也是整数的k值有几个？
例题30
已知关于x的方程
142

582

5

xax
，其中a为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正

整数a的最小值．

六. 其他问题
例题31
已知
08)1()1(

22
xmxm
是关于x的一元一次方程，求代数
mmxxm)2)((199

的值．

例题32
已知

431)119991(441x，那么代数式)19991999(481872xx

的值是多少？

例题33
一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，

则原数是什么？
例题34
求自然数

naaa21，使得212112122121nn
aaaaaa
.

例题35
小张在解方程1523xa（x为未知数）时，误将x2看成x2得到的解为3x,请你求出

原来方程的解.

思维飞跃
例题36
已知：关于x的方程183bxba 仅有正整数解，并且和关于x的方程


183axab
是同解方程，若 0,022baa，求这个方程的解。
例题37
设n为自然数，x表示不超过x的最大整数，解方程：


2

)1(43222nn

xnxxxx
.

作业
1. 解方程：0)104(21)25(32)5020(61xxx.

2. 解方程:4343)32(416121xxxx

3. 解方程：
200620072005275253212
xxxx

x

4. 解下列关于x的方程：
（1）13)2(2xaxa；
（2）21323abxbax；
（3）baxabx2；
（4）

111kxkk

5. 若0)23(2baxxba是关于x的一元一次方程，且有唯一解，求x的值.
6. 1b时，关于x的方程78)32()23(xxbxa有无数多个解，求a的值.
7. 不论k为何值时，1x总是关于x的方程1322bkxakx 的解，求a、b.
8. 已知关于x的方程bxax23有两个不同的解，求2010ba.
9. 关于x的方程1439kxx 的解为整数，求整数k.
10. 是否存在整数k，使关于k的方程xxk516)5(在整数范围内有解?并求出各个解．
11. 关于x的方程14285225xax 有一个正整数解，求最小正整数a.

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(完整word)4一元一次方程培优训练(有答案)

(完整word)4一元一次方程培优训练(有答案)

一元一次方程培优训练基础篇一、选择题1。

把方程103.02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数，正确的是( ） A 。

132177=--x x B.13217710=--x x C 。

1032017710=--x x D.132017710=--x x2。

与方程x+2=3—2x 同解的方程是( ）A.2x+3=11B.-3x+2=1C.132=-x D 。

231132-=+x x 3。

甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7ｍ,乙每秒跑6。

5ｍ，甲让乙先跑5ｍ，设ｘ秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是( ）A 。

7ｘ＝6。

5ｘ＋5 B.7ｘ＋5＝6.5ｘ C 。

(7－6.5）ｘ＝5 D 。

6。

5ｘ＝7ｘ－5 4。

适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数是( )A 。

5B 。

4C 。

3D 。

25。

电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ) A 。

0。

81a 元 B 。

1.21a 元 C 。

21.1a 元 D 。

81.0a 元6。

一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了（ )道题。

A.17 B 。

18 C.19 D.207.在高速公路上，一辆长4米,速度为110千米／时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米／时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（ ） Ａ。

1.6秒Ｂ.4.32秒Ｃ.5.76秒Ｄ。

345.6秒8.一项工程，甲单独做需x 天完成，乙单独做需y 天完成,两人合作这项工程需天数为（ ） A.y x +1 B 。

y x 11+ C 。

xy1 D. yx 111+9、若2x =-是关于x 的方程233x x a +=-的解,则代数式21a a-的值是（ ） A 、0 B 、283- C 、29- D 、2910、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为（ ）A 、142857B 、157428C 、124875D 、175248 二、填空题11.当=a 时,关于x 的方程01214=+-a x 是一元一次方程。

初中数学一元一次方程的应用——比赛积分

初中数学一元一次方程的应用——比赛积分

初中数学一元一次方程的应用——比赛积分2019年4月9日（考试总分：136 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 10 小题，共计 40 分）1、（4分）2015赛季中超联赛中，广州恒大足球队在联赛30场比赛中除4月3日输给河南建业外，其它场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设广州恒大一共胜了x场，则可列方程为（）A． 3x+（29﹣x）=67 B． x+3（29﹣x）=67C． 3 x+（30﹣x）=67 D． x+3（30﹣x）=672、（4分）一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得﹣1分，不做得0分，某同学做完全部25题得70分，那么它做对题数为（）A． 17 B． 18 C． 19 D． 203、（4分）某次数学竞赛共出了25个题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小杰不答的题比答错的题多2个，他的总分是74分，则他答错了（）A． 4题B． 3题C． 2题D． 1题4、（4分）一次知识竞赛共有20道选择题,规定答对一道题得5分,不做或做错一题扣1分,如果某学生的得分为76分,则他做对了道题( )A． 16 B． 17 C． 18 D． 195、（4分）某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分．那么下列分数中不可能的是（）A．95 B．89 C．79 D．756、（4分）某市中学生运动会篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，已知某篮球队在七场比赛中共得到15分，则该篮球队在这七场比赛中获胜了（）A．六场B．五场C．四场D．三场7、（4分）2015赛季中超联赛中，广州恒大足球队在联赛30场比赛中除4月3日输给河南建业外，其它场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设广州恒大一共胜了x场，则可列方程为（）A．3x+（29﹣x）=67 B．x+3（29﹣x）=67C．3x+（30﹣x）=67 D．x+3（30﹣x）=678、（4分）某次数学竞赛共出了25个题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小杰不答的题比答错的题多2个，他的总分是74分，则他答错了（）A．4题B．3题C．2题D．1题9、（4分）父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（）A．2 B．3 C．4 D．510、（4分）小李解关于x的方程5a-x=12时，误将-x看作+x，得方程的解为x=-3，则原方程的解是（）A． x=-2 B． x=1 C． x=3 D． x=2二、填空题（本题共计 3 小题，共计 12 分）11、（4分）某次足球联赛的积分规则是：若胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，到目前为止某球队已经赛了8场，其中平的场数是负的场数的2倍，已得17分，该球队胜了________场球.12、（4分）某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．今有一考生虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，他做对的题有_____道．13、（4分）某赛季中国职业篮球联赛第11轮前四名球队积分榜如下:队名比赛场次胜场负场积分辽宁11 11 0 22北京11 10 1 21广厦11 9 2 20新疆11 8 3 19(1)若一个队胜m场,则总积分为_____;(2)某队的胜场总积分能否等于它的负场总积分,你的观点是:_____.三、解答题（本题共计 7 小题，共计 84 分）14、（12分）一份试卷共有道题，规定答对一题得分，答错一题扣分，小明每道题都做了，共得分，那么他答对了几道题？（只需列方程，不需要解答）15、（12分）在一场篮球比赛中，某队员得23分(不含罚球得分)，已知他投进的3分球比2分球少4个，则他一共投进了几个3分球和2分球？（1）求答对一题得多少分，不答或答错一题扣多少分？（2）一位同学说他得了65分，请问可能吗？请说明理由。

初中数学 一元一次方程与二元一次方程组

初中数学 一元一次方程与二元一次方程组


知识点1——等式的基本性质
（1）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果 a=b，那么 a±c= b±c．
（2）等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．
如果
a=b，那么
ac=
bc；如果
a=b(c≠0)，那么
a
b =
．
cc
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：
5
2
解：方程的两边同乘以10， 得 2x-5(3-2x)=10x
去括号，得 2x-15+10x=10x
“去分母”要注意什么？ ①不漏乘不含分母的项；
移项，得 2x+10x-10x=15
②分子是多项式,应添括号.
合并同类项，得 2x=15 两边都除以2，得 x=7.5
知识点2——二元一次方程组的求解
巩固练习2
C
知识点4——一次方程与其他知识的联系
二元一次方程组
一次函数
一元一次方程
分式方程
一元一次不等式 一元二次方程
知识点4——二元一次方程组与一次函数的联系
1.二元一次方程和一次函数的图象的联系：
①以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上； ②一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
例2
解方程组：32xx
y5 4y 2
① ②
3x 2 y 20 ① 4x 5y 19 ②
巩固练习1
x 2
y
4
x 3 y 2
-1 B
B
x 1 2m 3
1 2m 0 3
（1）代入消元法 （2）加减消元法
知识点3——一次方程（组）的应用
初中数学竞赛知识点整理

初中数学竞赛知识点整理

初中数学竞赛知识点整理初中数学竞赛是培养学生数学思维能力和解题能力的重要途径之一。

为了在竞赛中取得好成绩，学生们必须掌握并熟练运用一些关键的数学知识点。

下面，我将为大家整理一些常见的初中数学竞赛知识点，帮助大家更好的备战比赛。

一、代数与方程1. 等式的性质与运算：包括等式的基本性质、等式的加减乘除运算、消元法等。

2. 一元一次方程与方程的应用：包括一元一次方程的基本概念、解一元一次方程的方法、方程在实际问题中的应用等。

3. 整式与分式的乘法：包括整式乘以整式、整式乘以分式、分式乘以分式等运算。

4. 分式方程与不等式：包括分式方程的基本概念、解分式方程的方法、分式不等式的基本性质及解法等。

二、几何与图形1. 平面几何基础知识：包括平行线与相交线、三角形的特殊定理与性质、相似三角形及其应用等。

2. 长方体与正方体：包括长方体与正方体的基本概念、表面积与体积的计算等。

3. 圆与圆的性质：包括圆的基本概念、圆的面积与周长计算等。

4. 空间几何基础知识：包括空间图形的基本概念、球的表面积与体积的计算等。

三、概率与统计1. 概率基础知识：包括随机事件与样本空间、概率的计算方法等。

2. 排列与组合：包括排列的基本概念、排列与组合的计算公式等。

3. 统计与数据分析：包括数据的收集与整理、频率分布表与统计图、平均数与中位数的计算等。

四、函数1. 函数的基本概念与性质：包括函数的定义域与值域、函数的图像与性质等。

2. 一次函数与二次函数：包括一次函数与二次函数的基本概念、图像、性质等。

3. 函数的应用：包括函数在实际问题中的应用，如函数模型求解问题等。

五、立体几何1. 立体几何基本概念：包括多面体的基本概念、正多面体的特性等。

2. 空间坐标系与空间向量：包括空间坐标系的建立及利用、空间向量的运算、空间平面的方程等。

3. 空间几何基本定理：包括空间图形的投影、直线与平面的位置关系等。

以上仅列举了一些常见的初中数学竞赛知识点，希望对大家备战数学竞赛有所帮助。