新课标高考理科数学二轮新讲练：专项检测22 选修4-5 不等式选讲
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专项检测二十二 选修4－5 不等式选讲
1．(2019·江苏卷)设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|>2.
解：当x<0时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得x<－13；
当0≤x≤12时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即x<－1，无解；
当x>12时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得x>1.
综上，原不等式的解集为{x|x<－13或x>1}．
2．(2019·合肥市一模)设函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若f(x)＋2x>2，求实数x的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a>1)，若g(x)的最小值为12，求a的值．
解：(1)f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x⇔ x＋1≥0，x＋1>2－2x
或 x＋1<0，－x－1>2－2x⇔x>13，
∴实数x的取值范围是(13，＋∞)．
(2)∵a>1，∴－1<－1a， Ruize知识分享
g(x)＝ －a＋1x－2，x∈－∞，－1，1－ax，x∈[－1，－1a]，a＋1x＋2，x∈－1a，＋∞，
易知函数g(x)在(－∞，－1a)上单调递减，在(－1a，＋∞)上单调递增，则g(x)min＝g(－1a)＝1－1a.
∴1－1a＝12，解得a＝2.
3．(2019·洛阳市第二次联考)已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－k|(其中k≥2)．
(1)若k＝4，求f(x)＋g(x)<9的解集；
(2)∀x∈[1,2]，不等式f(x)－g(x)≥k－x恒成立，求实数k的值．
解：(1)若k＝4，则f(x)＋g(x)<9，即|x－3|＋|x－4|<9，即 x<3，3－x＋4－x<9或 3≤x≤4，x－3＋4－x<9
或 x>4，x－3＋x－4<9，
解得－1 ∴原不等式的解集为{x|－1 (2)∵k≥2，且x∈[1,2]，∴x－3<0，x－k≤0， ∴f(x)＝|x－3|＝3－x，g(x)＝|x－k|＝k－x， 则∀x∈[1,2]，不等式f(x)－g(x)≥k－x恒成立， 即∀x∈[1,2]，x＋3≥2k恒成立， Ruize知识分享 ∴4≥2k，即k≤2，又k≥2，∴k＝2. 4．(2019·石家庄教学质量检测)设函数f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤5－f(x－3)的解集； (2)已知关于x的不等式2f(x)＋|x＋a|≤x＋4在[－1,1]上有解，求实数a的取值范围． 解：(1)不等式f(x)≤5－f(x－3)，即|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于 x<－1，－x－1－x＋2≤5或 －1≤x≤2，x＋1－x＋2≤5或 x>2，x＋1＋x－2≤5，解得－2≤x≤3， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)当x∈[－1,1]时，不等式2f(x)＋|x＋a|≤x＋4， 即|x＋a|≤2－x， 所以|x＋a|≤2－x在[－1,1]上有解， 即－2≤a≤2－2x在[－1,1]上有解， 所以－2≤a≤4，即实数a的取值范围是[－2,4]． 5．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋2m|的最大值为3，其中m>0. (1)求m的值； (2)若a，b∈R，ab>0，a2＋b2＝m2，求证：a3b＋b3a≥1. 解：(1)∵m>0， Ruize知识分享 ∴f(x)＝|x－m|－|x＋2m|＝ －3m，x≥m，－2x－m，－2m ∴当x≤－2m时，f(x)取得最大值3m，∴3m＝3，∴m＝1. (2)由(1)，得a2＋b2＝1， a3b＋b3a＝a4＋b4ab＝a2＋b22－2a2b2ab＝1ab－2ab. ∵a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立， ∴0 令h(t)＝1t－2t,0 则h(t)在(0，12]上单调递减，∴h(t)≥h(12)＝1. ∴当0 6．(2019·重庆市七校联考)已知函数f(x)＝(a－a2)x＋4，g(x)＝|x－1|－|x＋1|. (1)当a＝1＋52时，求不等式f(x)≤g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≤g(x)在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1＋52时，f(x)＝－x＋4，在同一坐标系内分别作出f(x)＝－x＋4，g(x)＝|x－1|－|x＋1|的图象，如图所示，由Ruize知识分享 y＝－x＋4，y＝－2，解得交点A的坐标为(6，－2)， 所以不等式f(x)≤g(x)的解集为[6，＋∞)． (2)当x∈[1，＋∞)时，g(x)＝|x－1|－|x＋1|＝－2， 因为不等式f(x)≤g(x)在[1，＋∞)上恒成立， 所以不等式(a－a2)x＋4≤－2在[1，＋∞)上恒成立， 所以不等式a－a2≤－6x在[1，＋∞)上恒成立， 所以a－a2≤－6，解得a≥3或a≤－2. 7．(2019·济南市模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|. (1)求不等式f(x)≤3的解集； (2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围． 解：(1)解法1：由题意f(x)＝ －3x＋3，x≤12，x＋1，12 当x≤12时，f(x)＝－3x＋3≤3， 解得x≥0，即0≤x≤12， Ruize知识分享 当12 解得x≤2，即12 当x≥2时，f(x)＝3x－3≤3，解得x≤2，即x＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0,2]． 解法2：由题意 f(x)＝ －3x＋3，x≤12，x＋1，12 作出f(x)的图象如图所示， 注意到当x＝0或x＝2时，f(x)＝3，结合图象，不等式的解集为[0,2]． Ruize知识分享 (2)由(1)可知，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)>ax对任意x∈R恒成立，即函数y＝ax的图象始终在函数y＝f(x)的图象的下方，当直线y＝ax过点A(2,3)以及与直线y＝－3x＋3平行时为临界情况，所以－3≤a<32，即实数a的取值范围为[－3，32)． 8．(2019·福建省高三一模)已知函数f(x)＝|x＋1|－|ax－3|(a>0)． (1)当a＝2时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，求a的值． 解：(1)当a＝2时，不等式f(x)>1即|x＋1|－|2x－3|>1. 当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＋2x－3>1，解得x>5，因为x≤－1，所以此时原不等式无解； 当－1 解得x>1，所以1 当x>32时，原不等式可化为x＋1－2x＋3>1，解得x<3，所以32 综上，原不等式的解集为{x|1 (2)解法1：因为a>0，所以3a>0， 所以f(x)＝ a－1x－4，x≤－1，a＋1x－2，－1 因为a>0，所以f(－1)＝－a－3<0，f(3a)＝1＋3a>0. 当0 当a＝1时，f(x)的图象如图2所示，所以y＝f(x)的图象与x轴不能围成三角形，不符合题意，舍去； 当a>1时，f(x)的图象如图3所示，要使得y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，则(1－a)(a＋1)＝－1，解得a＝±2，因为a>1，所以a＝2. 综上，所求a的值为2. Ruize知识分享 解法2：因为a>0，所以3a>0， 所以f(x)＝ a－1x－4，x≤－1，a＋1x－2，－1 若y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形， 则(a－1)(a＋1)＝－1或(a＋1)(1－a)＝－1， 解得a＝0(舍去)或a＝2或a＝－2(舍去)． 经检验，a＝2符合题意，所以所求a的值为2.
