向量法求空间距离和角

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. 用向量方法求空间角和距离

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．

1 求空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．

（１）求异面直线所成的角

设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,

则两异面直线所成的角=arccos||||||abab

（２）求线面角

设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，

则斜线l与平面所成的角=arcsin||||||lnln

（３）求二面角

法一、在al，在bl，其方向如图，则二面角l的平面角=arccos||||abab

法二、设12,,nn是二面角l的两

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. 个半平面的法向量，其方向一个指向侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角=1212arccos||||nnnn

2 求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．

（１）求点面距离

法一、设n是平面的法向量，在取一点B, 则 A到的距离|||||cos|||ABndABn

法二、设AO于O,利用AO和点O在

的向量表示，可确定点O的位置，从而求出||AO．

（２）求异面直线的距离

法一、找平面使b且a，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．

法二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,求n（na，nb），则异面直线a、b的距离|||||cos|||ABndABn（此方法移植于点面距离的求法）．

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. 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱1111,ADAB的中点．

（Ⅰ）求异面直线1DEFC与所成的角；

（II）求1BC和面EFBD所成的角；

（III）求1B到面EFBD的距离

解：（Ⅰ）记异面直线1DEFC与所成的角为，

则等于向量1DEFC与的夹角或其补角，

（II）如图建立空间坐标系Dxyz，

(1,0,2)DE，(2,2,0)DB 则向量为(,,1)nxy 由设面EFBD的法00DEnDBn

得(2,2,1)n 又1(2,0,2)BC

记1BC和面EFBD所成的角为

则 1112sin|cos,|||2||||BCnBCnBCn

∴ 1BC和面EFBD所成的角为4．

（III）点1B到面EFBD的距离ｄ等于

向量1BB在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，

1||||BBndn13 11||||111111cos||()()||||||222||,arccos5555DEFCDEFCDDDEFBBCDEFC

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. 设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．

２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．

３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，

向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形

BBAA 是矩形，。平面平面ABCDBBAA

（Ⅰ）若AA＝１，求直线AB到面'DAC的距离．

（II） 试问：当AA的长度为多少时，二面角

ACAD的大小为？60

解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系Axyz，

则 '(1,1,)DAa (0,1,0)DC

设面'DAC的法向量为1(,,1)nxy 则'1100DAnDCn

得1(,0,1)na

直线AB到面'DAC的距离ｄ就等于点Ａ到面'DAC的距离，

也等于向量AD在面'DAC的法向量上的投影的绝对值，

11||22||ADndn

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. （II）易得面'AAC的法向量211(,,0)22n

向量12,nn的夹角为60

由1212212112cos,2||||212annnnnna 得 1a

 当AA＝１时，二面角ACAD的大小为60．

设计说明：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．

２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．

例３．正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA上任意一点．

（Ⅰ）求证： 直线1BP不可能与平面11ACCA垂直；

（II）当11BCBP时，求二面角11CBPC的大小．

证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系Oxyz，设APa

则1,,,ACBP的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a

1(0,2,0),(3,1,2)ACBPa

120ACBP，1BP不垂直AC

直线1BP不可能与平面11ACCA垂直．

（II）1(3,1,2)BC，由11BCBP，得110BCBP

即22(2)0a 1a

又11BCBC 11BCCBP面

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.  1(3,1,2)BC是面1CBP的法向量

设面11CBP的法向量为(1,,)nyz，由11100BPnBCn

得(1,3,23)n,设二面角11CBPC的大小为

则116cos4||||BCnBCn

二面角11CBPC的大小为6arccos4．

设计说明：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．

２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．

通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ||||cosabab）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具．充分体现出新教材新思想、新方法的优越性．这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现．

练习：

１．在正四面体SABC中，棱长为a，E,Ｆ分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成的角．（2arccos3）

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. ２．在边长为１的菱形ABCD中，60ABC，将菱形沿对角线AC折起，使 折起后BD＝１，求二面角BACD的余弦值．（13）

３．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面，且PDADa，问平面PBA与平面PBC能否垂直？试说明理由．（不垂直）

４．在直三棱柱111ABCABC中，90A，1,,OOG

分别为111,,BCBCAA的中点，且12ABACAA．

（１） 求1O到面11ACB的距离；（22）

（２） 求BC到面11GBC的距离．（263）

５.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点.

（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；

（Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的大小.

（arcsin23）

A C D

B E

F DACBP