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- 83 - 第10讲 异方差检验 10.1 同方差假定 模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角矩阵，

Var(u) =  2I =  210101 (10.1) 且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。

Var(u) =  2  =  2TTTTTT..............212222111211 2 I (10.2) 当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素ut 取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。比如  中的 i j与 2的乘积 ,（i  j）表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与 uj的协方差。若  非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。 本章讨论异方差。以两个变量为例，同方差假定如图10.1和10.2所示。对于每一个xt

值，相应ut的分布方差都是相同的。

0246

0102030Y

X 图10.1 同方差情形 图10.2 同方差情形 10.2 异方差表现与来源 异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。递增型异方差见图10.3和10.4。图10.5为递减型异方差。图10.6为条件自回归型异方差。

0100200300

05000100001500020000XY - 84 -

图10.3 递增型异方差情形 图10.4 递增型异方差 050100150200250

0102030Y

X -8

-6

-4-20246200400600800100012001400DJPY

图10.5 递减型异方差 图10.6 复杂型异方差 (1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。 无论是时间序列数据还是截面数据。递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。

10.3 异方差的后果 回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。但是回归参数估计量不再具有有效性。

10.4 异方差检验 10.4.1 定性分析异方差 (1) 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。如个人收入与支出关系，投入与产出关系。 (2) 利用散点图做初步判断。 (3) 利用残差图做初步判断。

0100200300

05000100001500020000XY

-60-40-200204060

80

246810121416182022242628RES 10.4.2 异方差检验 (1) White检验 White检验由H. White 1980年提出。Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。Glejser检验通常要试拟合多个回归式。White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检验。White检验的具体步骤如下。以二元回归模型为例， yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut (10.3)

①首先对上式进行OLS回归，求残差tuˆ。 - 85 -

②做如下辅助回归式， 2ˆ

tu= 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt (10.4)

即用2ˆtu对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。 ③White检验的零假设和备择假设是 H0: (5.9)式中的ut不存在异方差， H1: (5.9)式中的ut存在异方差 ④在不存在异方差假设条件下统计量 T R 2   2(5) (10.5) 其中T表示样本容量，R2是辅助回归式(10.4)的OLS估计式的可决系数。自由度5表示辅助回归式(10.4)中解释变量项数（注意，不计算常数项）。T R 2属于LM统计量。 ⑤判别规则是 若 T R 2 2 (5), 接受H0 （ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0 （ut 具有异方差）

（2）Glejser检验 检验 tuˆ 是否与解释变量xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则说明不存在异方差。通常应检验的几种形式是

tuˆ = a0 + a1 xt tuˆ = a0 + a1 xt

2

tuˆ = a0 + a1tx, …. Glejser检验的特点是： ① 既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 ② 一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 ③ 计算量相对较大。 ④ 当原模型含有多个解释变量值时，可以把 tuˆ 拟合成多变量回归形式。

(3) 自回归条件异方差（ARCH）检验 异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差 (ARCH) 检验。这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项t 2 看作是xt 的函数，而是把t 2 看作误差滞后项ut-12 , ut-22 , … 的函数。ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。恩格尔（Engle 1982）针对ARCH过程提出LM检验法。辅助回归式定义为 2ˆtu= 0 + 1 21ˆtu + … +  n 2ˆ

ntu (10.6)

LM统计量定义为 ARCH = T R 2   2(n)

其中R 2是辅助回归式（10.6）的可决系数。在H0：1 = … = n = 0 成立条件下，ARCH渐近服从  2(n) 分布。ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n = 1），

2ˆtu= 0 + 1 21ˆtu

在这种情形下，ARCH渐近服从  2(1) 分布。 - 86 -

10.5 克服异方差的方法 （1）对模型 yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut (10.7) 假定异方差形式是Var(ut) = ( xt1)2。（因为Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 tuˆ =  xt）用xt1同除上式两侧得 yt / xt1 = 0/ xt1 +1+ 2 xt2 / xt1 + ut / xt1 , (10.8) 因为Var(ut / xt1) = (1/ xt12 ) Var(ut) = (1/ xt12 )  2 xt12 =  2， (10.8) 式中的随机项 (ut / xt) 是同方差的。对 (10.8) 式做OLS估计后，把回归参数的估计值代入原模型 (10.7)。 对 (10.8) 式应用OLS法估计参数，求  (ut / xt1) 2 最小。其实际意义是在求  (ut / xt1)2 最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。所以此法亦称为加权最小二乘法，是GLS估计法的一个特例。

（2）通过对数据取对数消除异方差。

0.0E+002.0E+114.0E+116.0E+118.0E+111.0E+121.2E+12

808284868890929496980002GDP OF PHILIPPIN

25.025.526.026.527.027.5

28.0

808284868890929496980002LNGDP OF PHILIPPIN

图10.7 菲律宾GDP和对数的GDP -400-2000200400600800

556065707580859095EXT-IMP

-2-101

2

556065707580859095LNEXT-LNIMP

图10.8中国进出口贸易额差（1953-1998, file: pap1）和对数的中国进出口贸易额之差 问题：（1）1.2E+12表示什么含义？ （2）LNEXT-LNIMP为什么不能改为LN(EXT-IMP)？

10.6 案例分析 【案例1】（file:hete01，hete02）取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt

（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下，

yt = -5.6610 + 0.0123 xt (10.10) (12.4) R2 = 0.85, F = 155.0, T = 29

无论是从yt和xt观测值的散点图（见图10.9）还是模型的残差图（见图10.10）都可以发现数据中存在异方差。

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异方差检验的套路

异方差检验的套路

异方差检验的套路：（1）Breusch-pagan法：reg y x1 x2 x3predictu,residgenusq=u^2regusq x1 x2 x3求F值display R/(1-R)*n2/n1（n1表示分子除数，n2表示分母除数）displayFtail(……)求LM值display R*n（n表示总样本量）display chi2tail(……)（2）white法：reg y x1 x2 x3predictu,residgenusq=u^2predict ygenysq=y^2regusq y ysq求F值display R/(1-R)*n2/n1（n1表示分子除数，n2表示分母除数）displayFtail(……)求LM值display R*n（n表示总样本量）display chi2tail(……)（3）必要补充F值和LM值转换为P值的命令：display Ftail(n1,n2,a)（利用F值求p值，n1表示分子除数，n2表示分母除数，a为F值）display chi2tail(n3,b)（利用LM值求p值，n3表示自由度的损失量，一般等于n1，b为LM值）异方差的纠正——WLS（weighted least square estimator）（1）基本思路：reg y x1 x2 x3 [aw=x1]（将x1作为异方差的来源，对方程进行修正）上式相当于：reg y/(x1^0.5) 1/(x1^0.5) x1/(x1^0.5) x2/(x1^0.5)x3/(x1^0.5),noconstant（2）纠正异方差的常用套路（构造h值）reg y x1 x2 x3predictu,residgenusq=u^2genlogusq=log(usq)reglogusq x1 x2 x3predict ggen h=exp(g)reg y x1 x2 x3 [aw=1/h]异方差hausman检验：reg y x1 x2 x3est store A（将上述回归结果储存到A中）reg y x1 x2 x3 [aw=1/h]est store Bhausman A B当因变量为对数形式时（log(y)）如何预测yreg logy x1 x2 x3predict kgen m=exp(k)reg y m,noconstantm的系数为iy的预测值=i×exp(k)方差分析：一元方差分析anova y g1 / g1|g2 /（g*表示不同分类变量，计算g1和交互项/ g1|g2 /这两种分类的y值是否存在组内差异）anova y d1 d2 d1*d2（d*表示虚拟变量，计算d1、d2和d1*d2的这三种分类的y值是否有组内差异） anova y d1 d2 x1 d2*x1, continuous(x1)（x*表示连续的控制变量）多元方差分析webuse jawmanova y1 y2 y3 = gender fracture gender*fracture（按性别、是否骨折及二者的交互项对y1、y2和y3进行方差分析）manova y1 = gender fracture gender*fracture（相当于一元方差分析，以y1为因变量）————————————webusenobetweengenmycons = 1manova test1 test2 test3 = mycons, noconstantmat c = (1,0,-1 \ 0,1,-1)manovatestmycons, ytransform(c)进行多元回归的方法：多元回归分析：（与mvreg相同）foreachvname in y1 y2 y3 { （确定y变量组vname）reg `vname' x1 x2 x3 （将y变量组中的各个变量与诸x变量进行回归分析，注意vname的标点符号） }上式等价于：mvreg y1 y2 y3 = x1 x2 x3reg3命令：（1）简单用法：reg3 (y1 = x1 x2 x3) (y2 = x1 x3 x4) (y3 = x1 x2 x5)测试y1 coefs = 0test [y1]测试不同回归中相同变量的系数：test [y1=y2=y3], commontest ([y1=y2]) ([y1=y3]), common constant（constant表示包含截距项）（2）用reg3进行2SLSreg3 (y1 = y2 x1 x2) (y2 = y1 x4),2sls（2）用reg3进行OLSreg3 (y1 = y2 x1 x2) (y2 = y1 x4),ols对两个回归结果进行hausman检验：。

异方差的检验与修正

异方差的检验与修正

西安财经学院本科实验报告学院（部）统计学院实验室 313 课程名称计量经济学学生姓名学号 1204100213 专业统计学教务处制2014年12 月 15 日《异方差》实验报告开课实验室：313 2014年12月22第六部分异方差与自相关4. 在本例中，参数估计的结果为：2709030.01402097.01402.728X X Y ++=Λ(2.218) (2.438) (16.999)922173.02=R D.W.=1.4289 F=165.8853 SE=395.2538三．检查模型是否存在异方差 1．图形分析检验 (1)散点相关图分析分别做出X1和Y 、X2和Y 的散点相关图，观察相关图可以看出，随着X1、X2的增加，Y 也增加，但离散程度逐步扩大，尤其表现在X1和Y.这说明变量之间可能存在递增的异方差性。

在Graph/scatter 输入log(x2) e^2，结果如下：（2）残差相关图分析建立残差关于X1、X2的散点图，可以发现随着X 的增加，残差呈现明显的扩大趋势，表明模型很可能存在递增的异方差性。

但是否确实存在异方差还应通过更进一步的检验。

2.GQ 检验首先在主窗口Procs菜单里选Sort current page命令，输入排序变量x2，以递增型排序对解释变量X2进行排序，然后构造子样本区间，分别为1-12和20-31，再分别建立回归模型。

(1)在Sample菜单里，将区间定义为1—12，然后用OLS方法求得如下结果(2)在Sample菜单里，将区间定义为20—31，然后用OLS方法求得如下结果则F的统计量值为：6699.834542929948192122===∑∑iieeF在05.0=α下，式中分子、分母的自由度均为9，查F分布表得临界值为：18.3)9,9(05.0=F，因为F=8.6699>18.3)9,9(05.0=F,所以拒绝原假设，表明模型确实存在异方差。

时序预测中的异方差性检验方法探讨(十)

时序预测中的异方差性检验方法探讨(十)

时序预测是统计学和经济学中一个重要的课题，通常用来预测未来某一时间点的数值。

然而，在进行时序预测时，我们经常会遇到异方差性的问题。

异方差性指的是时间序列数据的方差不是恒定的，而是随时间变化的情况。

在异方差性存在的情况下，传统的预测方法可能会出现问题，因此需要采用一些特殊的方法来进行检验和处理。

本文将探讨时序预测中的异方差性检验方法，为读者提供一些参考和借鉴。

一、异方差性的检验方法在进行时序预测之前，我们首先需要检验数据是否存在异方差性。

常用的异方差性检验方法包括LM检验、BP检验和White检验。

LM检验是利用残差平方和的序列进行检验，其原假设是数据不存在异方差性。

BP检验是对LM检验的一种改进，可以检验更多的异方差性形式。

White检验是一种广义的异方差性检验方法，适用于多元回归模型。

通过对数据进行这三种检验，我们可以初步判断数据是否存在异方差性，并选择合适的处理方法。

二、异方差性的处理方法一旦确定数据存在异方差性，我们需要对数据进行处理，以确保预测模型的准确性。

常用的异方差性处理方法包括加权最小二乘法、异方差稳健标准误差和变换方法。

加权最小二乘法是一种根据异方差性的严重程度对数据进行加权的方法，可以有效减少异方差性对预测结果的影响。

异方差稳健标准误差是一种对参数估计的标准误差进行修正的方法，可以提高参数估计的准确性。

变换方法是通过对原始数据进行变换，使其满足异方差性的假设，从而得到更准确的预测结果。

通过选择合适的处理方法，我们可以有效处理数据的异方差性，提高预测模型的准确性。

三、异方差性对时序预测的影响异方差性对时序预测模型的影响是不可忽视的。

在存在异方差性的情况下，传统的预测方法可能会出现参数估计偏误、标准误差过低等问题，导致预测结果的不准确性。

因此，及时发现和处理数据的异方差性是非常重要的。

通过合适的异方差性检验和处理方法，我们可以有效降低异方差性对时序预测的影响，得到更准确的预测结果。

异方差进行检验和补救

异方差进行检验和补救

实验报告课程名称：实验项目名称：单方程线性回归模型中异方差的检验与补救院（系）：专业班级：姓名：学号：实验地点：实验日期：年月日实验目的：掌握利用EViews软件对模型中存在的异方差进行检验和补救。

实验内容：根据我国2000年部分地区城镇居民每个家庭平均全年可支配收入X与消费支出Y 的统计数据，通过建立双变量线性回归模型分析人均可支配收入对人均消费支出的线性影响，并讨论异方差的检验与修正过程。

1、异方差的检验1）图示法2）Park检验3）Glejser检验4）Goldfeld-Quandt检验5）White检验2、异方差的补救1）加权最小二乘法（WLS）2）对数变换实验方法、步骤和结果：一、建立工作文件并完成数据输入1、File---new---workfile2、Quick---Empty Group ----paste3、将ser01重命名为x，ser01重命名为y二、写模型的估计方程Quick---Estimate Equation---y c x，得到在不考虑异方差且其他假定都成立的情况下的估计结果，如下图所示：三、异方差的检验找y的估计值在估计结果中点击forcast 将其重命名为yf生成残差序列：在估计窗口中点击proc---make residual series将resid01重命名为res，并保存（一）图示法（对异方差粗略的判定）1.用x-y的散点图进行判断，看是否存在明显的散点扩大、缩小或是复杂性的变动趋势X y ----open----as GroupView---graph ----scatter-----simple scatter2、用y的估计值与残差平方的散点图进行判断，看是否存在一条斜率为零的直线Quick---graph----scatter—写入方程yf res^2图形显示斜率不为零，所以可知模型存在异方差3、任一解释变量x与残差平方的散点图进行判断，看是否存在一条斜率为零的直线Quick—graph—scatter写入方程x res^2图形显示斜率不为零，所以可知模型存在异方差由以上三种图示法可知，模型存在异方差（二）帕克（Park）检验（将图示法公式化）Quick—Estimate Equation---log(res^2) c log(x)由估计结果可知：log（x）=3.703235 P=0.020622<0.05，所以拒绝原假设，模型具有统计显著性，即模型具有异方差。