空间图形的基本关系与公理导学案

富县高级中学集体备课教案
年级：高三科目：数学授课人：
课题
空间图形的基本关系与公理
第72课时
教学
目标
1了解可以作为推理依据的公理和定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
重点
证明所作的角是异面直线所成的角.
中心发言人
难点
异面直线所成角θ的取值范围源自教法讨论与讲授法相结合例2：正三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
例3：如图上右图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.求异面直线AE和PB所成角的余弦值.
学法
课前预习、课堂合作探究
个人主页
教具
教材、练习册
课型
常规课
课时安排
1课时
教
学
过
程
主要知识：
空间图形的公理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内（即直线在平面内）.直线a在平面α内，记作所有的点所有的点.
公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只一个平面（即可以确定一个平面）.
巩固练习：教师用书【232】对接高考
课后作业：对应课后提升：解答题
教
后
反
思
备课组长签字：年月日
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.平面α与平面β的公共直线为a，记作.
公理4平行于同一条直线的两条直线平行.
定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

教学课题：空间图形的基本关系与公理教学分析：从长方体出发，认识几何体的点、线、面，通过仔细观察，让学生觉得四个公理确实是显而易见的. 本节的等角定理没有给出证明，而是通过从平面到空间的类比得到和理解这个定理.三维目标：1．掌握五类位置关系的分类及其有关概念，掌握平面的基本性质，提高学生的归纳、类比能力；2．掌握公理4和等角定理，并会运用它们解决问题，培养学生发展空间想象能力，运用图形语言进行交流的能力、几何直观的能力.教学重点：4个公理和等角定理的应用.教学难点：空间图形的位置关系和公理的归纳.教学课时：4课时教学过程：第1课时（空间图形基本关系的认识）一．创设情景，引入新课空间图形很丰富，但其都是由点、线、面所组成的. 研究清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的，那么，我们从今天开始，就以长方体中的点、线、面来研究空间图形的基本要素：点、线、面的位置关系. （引入新课）二．新知师在黑板上画出如下长方体，观察点、线、面的位置关系，并思考空间中点、线、面之间的位置关系问题.根据上面的长方体模型，引导学生归纳空间中点、线、面之间的位置关系，并填写下表：（师投影）强调异面直线：异面直线的定义为：不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 也就是说：既不相交又不平行的两条不重合直线称为异面直线，其常用的判定方法为：连接平面外一点A 与平面内一点B 的直线AB 与该平面内不过点B 的任意直线是异面直线.思考：分别在不同平面内的两条直线的位置关系是什么？例 如图，正方体1111D C B A ABCD 中，Q P S R N M ,,,,,分别是所在边上的中点，则： ⑴MN 与RS 的关系是 ； ⑵MN 与PQ 的关系是 ；⑶RS 与MN 的关系是 .三．小结：总结空间中点、线、面之间的位置关系. 四．作业：习题A 41-组第4题.第2课时（空间图形公理1、2）一．复习回顾，引入新课复习空间中点、线、面之间的位置关系，强调数学符号表示空间中点、线、面之间的位置关系. 师：公理是显而易见的事实，如两点确定一条直线，那么在空间图形中有哪些公理？（导入新课） 二．新知 ㈠公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）.图形表示：符号语言：若l A ∈，l B ∈，α∈A ，α∈B ，则α⊂l . 理解：⑴理解平面时，类似于直线，向四面八方无限延展； ⑵画法：只需将直线画在平行四边形（平面）内即可. 作用：⑴判断直线在平面内的方法；⑵判断点在平面内的方法：如l A ∈，α⊂l ⇒α∈A ； ⑶用直线检验平面（木工用尺子检验平面）.例：如图，在ABC ∆中，若BC AB ,在平面α内，判断AC 是否在平面α内.㈡公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）. 图形语言：符号语言：若C B A ,,不共线，则有且只有一个平面α，使得α∈C B A ,,.注意：①三点定平面是不正确的；②经过不在同一直线上的四个点不一定有平面，如四面体的四个顶点.作用：⑴定平面；⑵证明点、线共面问题. 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：若l A ∉，则有且只有一个平面α，使得α∈A ，α⊂l . 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：若A b a = ，则有且只有一个平面α，使得α⊂a ，α⊂b . 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：若b a //，则有且只有一个平面α，使得α⊂a ，α⊂b .公理2及三个推论的作用：三个推论及公理都是用来确定平面，确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，也为证明直线共面问题提供了依据.例 已知平面α内有两条直线b a ,，且A c a = ，B c b = ，求证：c b a ,,共面.例 已知三条平行线c b a ,,与直线d 分别相交于点C B A ,,，求证：d c b a ,,,共面. 三．小结：总结公理1、公理2及其推论的内容和作用. 四．预习下节内容.第3课时（空间图形公理3、4）一．复习回顾，导入新知复习提问公理1、公理2及其公理2的三个推论.师：今天，我们继续学习空间图形中的其它公理. （板书课题） 二．新知 ㈢公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 图形语言：符号语言：若α∈P ，β∈P ，则l =βα ，且l P ∈.提出：已知α与β有一个公共点P ，我们知道两面相交，其交线是一条直线且过点P ，那么如何确定它的交线呢？解答：找出另一点βα ∈Q ，则直线PQ 就是α与β的交线.例 如图正方体中，F E ,分别为1CC 和1AA 的中点，请画出平面F BED1与平面ABCD 的交线.归纳：由上例可知公理3中：“两面共一点”是条件，“两面共一线，且过这一点，交线唯一”是结论. 那么，公理3有哪些作用？公理3的作用：⑴判断两面是否相交，即：只要两平面有公共点，则这两平面相交；⑵判断点共线、线共点问题：若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上.例 如图，在正方体中 ，D B 1与平面1ACD 交于点O ，BD 与平面1ACD 交于点M ，求证：1,,D O M 三点共线.㈣公理4平行于同一条直线的两条直线平行. 图形语言：符号语言：若b a //，c a //，则c b //. 推广：平行于同一条直线的直线互相平行. 作用：判断线线平行.例 如图，在正方体中，N M ,分别是AD CD ,的中点，求证：四边形11C MNA 是梯形.三．练习：1．在空间，下列命题正确的个数为（ ） ⑴有两组对边相等的四边形是平行四边形； ⑵四边相等的四边形是菱形； ⑶平行于同一条直线的两条直线平行； ⑷有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. A.1 B.2 C.3 D.42．如图，已知11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆与111C B A ∆全等.四．小结：总结公理3和公理4的概念及其用法. 五．作业：习题A 41-组第5题.第4课时（等角定理）一．复习回顾，引入新课复习提问：公理1~4的概念及其用法.师：今天，我们再来学习空间图形中的一个重要的定理.（导入新课） 二．探究新知 ㈤等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 思考与讨论：在什么情况下，这两角是相等的？互补的？（学生讨论交流）结论1：空间中，如果一个角的两边与另一角的两边分别对应平行，且对应边的方向都相同（或都相反），那么这两个角相等.结论2：空间中，如果一个角的两边与另一角的两边分别对应平行，且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补.等角定理的应用：（求解异面直线的夹角）等角定理说明了在平移变换下，角的大小不改变，它为我们求解异面直线所成角的大小提供了依据，如图所示，过空间任意一点P ，分别引两条异面直线b a ,的平行线21,l l （1//l a ，2//l b ），这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线b a ,所成的角. 如果两条异面直线所成的角是直角，我们就称这两条直线互相垂直，记作：b a ⊥.例（教材例1） 在空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.例（教材例2） 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线CD AB ,在原正方体中的位置关系是（ ）A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成 60变式训练：如图所示是正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线GH EF CD AB ,,,这四条直线是异面直线的有 对.三．练习：1．已知PQ AB //，QR BC //， 30=∠ABC ，则PQR ∠等于（ ） A. 30 B. 30或 150 C. 150 D.以上结论都不对2．三条直线经过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作 个不同的平面. 这些平面把空间分为 个部分.3．如图，ABCD 为空间四边形，点F E ,分别是BC AB ,的中点，点H G ,分别在AD CD ,上，且AD DH 31=，CD DG 31=. 求证：直线BD FG EH ,,交于一点.四．小结：等角定理的内容及其应用.。

教法
讨论与讲授法相结合
学法
课前预习、课堂合作探究
个人主页
教具
教材、练习册
课型
常规课
课时安排
1课时
教
学
过
程
主要知识：
（1）直线与平面的位置关系：直线和平面有无数个公共点称直线在平面内；直线和平面没有公共点称直线和平面平行；直线和平面只有一个公共点称直线和平面相交.
（2）平面与平面的位置关系：平面α和平面β没有公共点，称平面α与平面β为平行平面；两个平面不重合且有公共点，称两个平面为相交平面.
富县高级中学集体备课教案
年级：高三科目：数学授课人：
课题
空间图形的基本关系与公理
第71课时
教学
目标
1.理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
重点
证明所作的角是异面直线所成的角.
中心发言人
难点
在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.
例题分析：
例1如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H分别为FA，FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
巩固练习：教师用书【233】4，5
课后作业：对应课后提升：填空题
教
后
反
思
备课组长签字：年月日
主要方法：
利用定义法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤为：
(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线所成的角.(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.(4)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.

空间图形的公理导学案年级科目：高一数学审核：【学习目标】了解异面直线，公理4、及等角定理及它们的应用【重点难点】公理4、及等角定理的理解及应用【知识链接】公理1公理 2公理 31．提出问题：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？2. 按符号画出图形：aα，b∩α＝A，A a3. 探究：教室内的哪些直线实例？有什么位置关系？【学法指导】归纳推理【学习过程】一. 教学两条直线的位置关系：实例探究→定义异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.→以长方体为例，寻找一些异面直线？→性质：既不平行，又不相交。

→举例：教室内，日常生活中…→画法：以辅助平面衬托：（三种）→讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？②讨论：空间两条直线的位置关系：（整理如下）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.二、平行公理：①提出问题：平行于同一条直线的两条直线互相平行？结论：用数学符号表示为例1：在空间四边形AB CD中,E,F,G,H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

练习:空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝13，求证：EFGH是梯形。

三、等角定理：①讨论：平面几何中，两角对边分别平行，则两角有何关系？到立体几何中呢？②定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别对应平行，那么这两角。

改写成:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角。

③推广：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

→图形表示→讨论：与点O 的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？什么叫两条直线垂直→探究：给出正方体和几条面、体的对角线，找出几对异面直线，并指出所成角四、练习：P26页1.，2，3【回顾小结】这节课学习了异面直线，公理4、及等角定理及它们的应用【课堂检测】1若直线a//b, bcA ,则a 与c 的位置关系是（）A 异面B 相交C 平行D 异面平行2在空间中下列说法中正确的个数为（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②两角的两边分别平行，那么这两角相等③有一组对边平行的四边形平行四边形；④异面直线所成的角的范围是0,2A 1B 2C 3D 4 3．已知AB // MQ ，BC // QN ，若ABC150则MQN （）A 150B 30C 30或150D 以上结论都不对4在正方体1111ABCDA B C D 中，面对角线中与A 1D 成60的有条5在正方体1111ABCD A B C D 中，,,,,,E F G H M M 分别是所在边的中点，求证：EFG MNH【作业布置】P26页4，5【自我反思】。