2021高考数学课件7.3平面向量的数量积

1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点 O, 作 OA a , AB b , OC c . 因为 a b (即OB) 在 c 方向上的投影等于 a 、b 在 c 方向上的投影的和. 由此可证，运算律（ 3 ）成立 （以下见黑板） .
练一练
判断题 (1) (a b)c a(b c)
注： 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大 小与两个向量的长度及其夹角有关. （2）“ a b a b ”能不能写成“ 式？ ”或者 ab “ ” 的形
例题分析： 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
1、已知a
a 与b 的交角为90 o，则a b 0 2， b 3，
；
（1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 2、若 a
a、b共线，则 a b 3或－ b 3， . 3 1，
（2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b 特别地
B
B b
B
b
b

O a

B1
A
B1Biblioteka Oa A O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0 a O b B 。 0时，它是 | b |
θ为钝角时， | b | cosθ＜0 b A B O
θ为直角时， | b | cosθ=0 a A
θ为
。 θ为 180时，它是 -| b |
向量数量积的性质

平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
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练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
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作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
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1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2

k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
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变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
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设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22

平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。

数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。

数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。

公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。

数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。

公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。

向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。

公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。

夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。

综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。

数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。

向量的模用于衡量向量的长度和大小。

2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。

夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。

3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。

正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。

4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。

5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。