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平面向量的数量积PPT课件

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

高中数学课件 平面向量的数量积(2)

高中数学课件 平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积

高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积
提示：不一定相等，∵a· b,b· c均为实数，∴(a· b)c∥c，
a(b· c)∥a,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)²b=0，则a与b的夹
角为_________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)²b=0，∴2a· b+b2=0，
1 1 ∴ AD AB AC , BE AE AB AC AB， 2 2 1 1 ∴ AD BE (AB AC) ( AC AB) 2 2 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 4 2 4 1 1 1 3 1 1 cos60 . 4 2 4 8
1 1 3 3 ( x)( x) ( y)( y) 0 2 2 2 从而有： 2 , ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 2 2 2 2
3 3 x x 2 2 . 解得 或 y 1 y 1 2 2
(2)由题设知： OC =(－2,－1)，
AB tOC =(3+2t,5+t). 由( AB tOC )⊥ OC 得( AB tOC )²OC =0，
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、 B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 AB tOC OC，求t的值.
【解析】(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1),

平面向量的数量积与运算律公开课课件

平面向量的数量积与运算律公开课课件

平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2

平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

平面向量的数量积-

平面向量的数量积-

平面向量数量积的性质
设a , b 是两个非零向量， e 是单位向量，于是
有：① eaaeacos② abab0
③当a与 b同向时，ab a b ；
当a与 b反向时，ab a b，
特别地，aa
a2

2
a
。
(4)cos a b
a b
⑤ ab a b
平面向量数量积的运算律
①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：
a b a b a b R
③分配律成立：
a b c a c b ccab
特别注意：
（1）结合律不成立：a b ca bc；
当且仅当反方向时θ =1800，同时0 与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题。
(2)a与 b垂直；如果 a , b 的夹角为900,则称垂直， 记作a b 。
(3)a与 b 的数量积：两个非零向量 a , b ，它们
的夹角为θ ，则 a b cos叫做称 a与 b 的
(4)数量积（或内积），记a作 b ，
（2）消去律不成立 abac不能得到 b c
（3）a b =0不能得到 a = 0 或 b = 0
④但是乘法公式成立：
2 2 2 2
a b a b a b a b；
a b 2 a 2 2 a b b 2a2
2
2abb
；
平面向量数量积的坐标表示:
2019届高考数学复习 强化双基系列课件
《平面向量的数量积》
1、知识精讲：
（1）平面向量的数量积的定义
①向量a , b 的夹角：已知两个非零向量 a , b ，

平面向量的数量积课件

平面向量的数量积课件

5)若a b a b , 则 a ∥b
6 )若a b a b , 则 a ∥b
四.数学运用
a 2, b 3, 例1: 已知向量a与b的夹角为， 分别在下列条件下求 a b
(1) 1350
( 2)a ∥ b
3a b
解：（ 1 ） a b a b cos 2 3 cos1350 3 2 (2)当a b时，则 00 或1800 若 00， a b a b 6 若 1800， a b a b 6 (3)当a b时， a b 0
思考：对于任意向量 a, b, c和实数而言，有没有类似的运 算律呢？
(1)a b b a
(3)a b c a c b c
(1) a b b a
(2) a b a b a b a b
解: (1)
(Байду номын сангаас)
a a b a a b a a b
2 2
a 2b a 3b a
2
36 12 48
2
a b 6b
2
2
a a b cos 6 b
36 6 4 cos600 6 16 72
即a b a b cos
我们规定：零向量与任 一向量的数量积为 0
即0 a 0
(0 a 0)
向 量 的 夹 角
两个非零向量a, b, 作OA a, OB b, 则AOB 叫做向量a和b的夹角。
B
0 ,180
0 0
注意:求两向量的夹角, 两向量必须共起点 B

平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.

平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积及其应用

解析 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最 小值4.
| a b |2 | a b |2 | a b| | a b| ∵ ≤ = a 2 b 2 = 5 , 2 2
2 2 x12 y12 ,|b|= x2 y2 (2)|a|= .
平面向量的长度问题
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=

考点三
平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用
x1 x2 y1 y2
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为θ,则cos θ= . 2 (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a· b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, 得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= 10 cos θ, ≤cos θ≤ , y= 10 sin θ, ≤sin θ≤ . 设α1,α2为锐角,且sin α1= ,sin α2= ,
方法 2 求向量夹角问题的方法

总复习《第28讲 平面向量的数量积》

总复习《第28讲 平面向量的数量积》




【变式】
1.在△ABC中，(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC
1 S 的面积 Δ 2
a b a b
2
2
(2)若CA＝(a1，a2 )，CB＝(b1，b2 )，求证：△ABC
1 的面积 S Δ a1b2 a 2 b1 2
归纳反思
1．向量的运算要注意 两个向量相加减是一个向量， 两个向量的数量积是一个实数． 2．要注意共线和垂直的区分
a x2 y2
cosθ
x1 x2 y1 y2
2 2 x12 y12 x2 y2
a· b＝ 0
x1x2+y1y2＝0
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
|a· b|与 |a||b|
|a·b|≤ |a||b| .
例题1.判断正误：
( Y—表示正确；N—表示错误 )
思考： (1) n的有两个值都符合要求吗? (2) 如何求c?
【变式】如图，在边长为1的正三角形ABC
uuu r uuu r uu r uur 中，设 BC 2BD, CA 3CE 则 uuu r uur 1 ADgBE 4 .
A
r r r r a b a b cos 【代数运算】
总复习第28讲
平面向量的数量积
要点·疑点·考点
1.平面向量的数量积的定义
(1)设两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b， 则∠AOB＝θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]， (2) |b|cosθ叫b在a上的投影. (3)
|a||b|cosθ
叫a与b的数量积，记作a·b，即
a·b＝|a||b|cosθ. (4)几何意义是： a·b等于|a|与 b在a方向上的投影|b|cosθ 的积.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222

向量的数量积(2)高中数学(人教A版2019必修第二册课件)

向量的数量积(2)高中数学(人教A版2019必修第二册课件)

3、数量积的物理意义： W | F || s | cos F s
F θ
s
数量积的几何意义：a b等于 a 的长度| a | 与 b
在 a 的方向上的投影| b | cos 的乘积。
即 a b | a || b | cos
B
b
a
O | b | cos B1
A
4.投影向量的求法 (1)向量 a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ e (其中e 为与b同向的单位向量) 丨a丨cos b a b b
6．2.4 向量的数量积（2）
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、温故知新:
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量 a 和 b 的夹角，范围是：0 ≤ ≤ 180
①向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且向量 a，b 不共线；
②向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且向量 a，b 不共线．
作业：练习T1-3+P23T12，P24T 作业：教材P2218-20，T24
(1)OA e
(2)OB e
B
(3)OC e (4)OD e
D C
A
技巧:只需比较投影的大小
Oe
你学会了求数量积的两个技巧吗?（1）定义法（2）投影法
二、情境诱导，探求新知
利用向量线性运算可以解决平行、三点共线等问题， 能解决垂直、角度、长度、距离等问题吗？
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题 数量积运算中常用到哪些公式？
2

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中 ，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积 的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |
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跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)当a∥b时，若a与b同向， 则a与b的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos θ 叫 做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ ， 其 中θ是a与b的夹角. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向 的投影是 |a|cos θ ，向量b在a方向上的投影是 |b|cos θ .
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2
＝ 1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴2a－|ab＋·ba|＋b＝12.
积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：|a|cos θ＝a|b·b| ；|b|cos θ＝a|a·b| .
思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos θ的几何意义如何？ 答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或 等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos θ的乘积.
第二章 平面向量
§2.4 平面向量的数量积
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产 生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量 是否垂直.
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结 果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答 a·b的运算结果是数量. 0·a＝0.
思考3 对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正 数？何时为负数？何时为零？ 答 当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90° 时，a·b＝0. 小结 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角， θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.
例2 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投
影为－32，求a与b的夹角θ.
|a|cos θ＝－3，
解
∵ |b|cos
θ＝－32，
∴aa||ba··bb|| ＝＝－－332，，
－|b9| ＝－3， 即
－|a9| ＝－32，
|a|＝6， ，∴
|b|＝3.
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.
跟踪训练2 已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量 2a－b在向量a＋b方向上的投影. 解 (2a－b)·(a＋b) ＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6.
探究点二 投影
思考1 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cos θ叫做 向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a 方向上的投影是什么？ 答 不一定；|b|cos θ. 小结 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫 做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角.由数量
思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一 个向量，既有大小，又有方向.
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b； (2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
填要点·记疑点
1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作 O→A＝a，O→B ＝b，则 ∠AOB 称作向 量a和向量b的夹角，记作 〈a，b〉，并规定它的 范围是 0≤〈a，b〉≤π .
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉 ＝(2)〈当〈b，a，a〉b〉.＝π2 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 a⊥b .
＝4×5× 23＝10 3.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ， θ∈[0° ， 180°] ； ② 分 别 求 |a| 和 |b| ； ③ 求 数 量 积 ， 即 a·b ＝ |a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接， 而不能用“×”连接，也不能省去.
3.数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影 |b|cos θ 的乘积.
探要点·究所然 探究点一 平面F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的 功W是多少？ 答 W＝|F||s|cos θ.