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a
与
b
的夹角的余弦值为－
2 10 .
(2)设 a 与 c 的夹角为 θ，
则 cos θ＝|aa|··c|c|＝－25·－229＝－75858，
所以 c 在 a 方向上的投影为|c|cos θ＝－72 2.
(3)因为 c＝λ1a＋λ2b，所以5－＝2＝ －λλ11＋ ＋43λλ22， ，
解得 λ1＝－273，λ2＝37.
【解析】 (1)证明：由已知得，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，A→B·A→D＝－3 ＋3＝0，所以A→B⊥A→D.
(2)设 C(x，y)，则由A→D＝B→C得，(－3,3)＝(x－3，y－2)， 所以xy－－32＝＝－3. 3， 解得xy＝ ＝05.， 所以 C(0,5)．
(3)易求得 OD 的方程为 4x＋y＝0.设 M(a，b)，因为点 M 为直 线 OD 上的一个动点，所以 4a＋b＝0，即 b＝－4a.于是M→A·M→B＝ (2－a,1－b)·(3－a,2－b)＝(2－a)(3－a)＋(1－b)(2－b)＝6－5a＋a2 ＋(1＋4a)·(2＋4a)＝17a2＋7a＋8.
|a|＝ x21＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
典例剖析
知识点 1 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，且 b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求(b·c)a. 思路点拨： (1)设出向量 a 的坐标，由已知列出方程，即可解得 a 的坐标． (2)用向量的坐标直接计算即可．
解：由向量的数量积的坐标表示可知，a·b＝3k＋0×5， 又 a·b＝3 k2＋25cos 135°， ∴3k＝3 k2＋25cos 135°，得 k＝－5.
知识点 2 平行、垂直、投影、夹角等问题 【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时， (1)ka＋b 与 a－3b 垂直？ (2)ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
(2)对(1)中的点 Z，求得 cos∠AZB＝－41717，即∠AZB 的余弦值为
－4
17 17 .
误区解密 运算出错 【例题】 已知 a＝(3，－4)，b 是与 a 共线的单位向量，求 b 的坐标．
错解：因为 b 与 a 共线，所以可设 b＝λa，因为 b 是单位向量， 所以|b|＝1，即|λa|＝1，|(3λ，－4λ)|＝1，就是 9λ2＋16λ2＝1，解得 λ＝15.故 b 的坐标为15(3，－4)，即35，－45.
2．设 a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)． (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值； (2)求 c 在 a 方向上的投影； (3)求 λ1 和 λ2，使 c＝λ1a＋λ2b.
解：
(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|··b|b|＝－42＋·53＝－102.
故
4. (2014 年茂名一模)已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),若 a⊥b,则 x=________．
【答案】4
要点阐释
在学习本节的向量数量积的坐标运算时，要与前面所学的知识
结合起来，进行归类对比，这样才不至于把所学的知识张冠李戴．见
下表：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 向量运算
解：
(1)由已知可设 a＝λ(1,2)＝(λ，2λ)(λ>0)，再由 a·b＝10 可得，λ ＝2，所以 a＝(2,4)．
(2)因为 b·c＝1×2＋2×(－1)＝0， 所以(b·c)a＝0·a＝0 ＝(0,0)．
1．已知 a＝(3,0)，b＝(k,5)，且 a 与 b 的夹角为 135°，求 k 的 值．
(1)求使Z→A·Z→B取最小值时的O→Z； (2)对于①中求出的点 Z，求∠AZB 的余弦值．
解：
(1)设O→Z＝uO→P＝(2u，u)，则Z→A·Z→B＝(1－2u,7－u)(5－2u,1－u)＝5u2 －20u＋12，当 u＝－－ 2×250＝2 时，Z→A·Z→B取最小值，此时O→Z＝(4,2)．
预习测评 1．若 a＝(－4,7)，b＝(5,2)，则 a·b＝( ) A．34 B．27 C．－43 D．－6
【答案】D
2．已知 a＝(3,1)，b＝(1,2)，则向量 a 与 b 的夹角为( ) ππππ
A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】B
3．已知 a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝________. 【答案】 9 2
坐标运算
向量的数量积
b∥a(a≠0)
a⊥b
向量的模 向量 a 与 b
的夹角
a·b＝|a||b|cos θ
b∥a(a≠0)⇔b＝λa
a⊥b⇔a·b＝0|a|源自 a2＝ a·a cos θ＝|aa|·|bb|
a·b＝x1x2＋y1y2
b∥a(a≠0)⇔
x1y2－x2y1＝0
a⊥b(a≠0)⇔
x1x2＋y1y2＝0
纠错心得： 为了避免运算上的错误，请同学们解题时，务必细心．
课堂总结
1．平面向量的数量积是本章的重要内容，也是考试中的热点 内容，学习时要透彻理解定义，准确记忆公式，熟练各种运算．
2．b∥a(a≠0)⇔x1y2－x2y1＝0 与 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 是最容
易混淆的两个结论，请牢牢记住.
当M→A·M→B取最小值时，a＝－374，这时 b＝1147， 可知O→M的坐标为－374，1147.
方法点评：求解平面向量数量积的综合问题，首先要看清题中 所有已知条件，弄清已知与未知之间的关系，然后考虑所要选用的 公式、性质和运算律．
3．已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，Z 是直线 OP 上一 点(O 为坐标原点)．
知识点 3 综合问题
【例 3】 已知 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：A→B⊥A→D； (2)若四边形 ABCD 是矩形，试确定点 C 的坐标； (3)若点 M 为直线 OD 上的一个动点，当M→A·M→B取最小值时， 求O→M的坐标． 思路点拨： (1)证向量垂直，可先证数量积为 0； (2)设出点 C 的坐标，由矩形的特征解出点 C 的坐标； (3)设出点 M 的坐标，表示出M→A·M→B的值，用函数的性质求其 最小值．
自主探究 已知向量 a＝(6,4)，b＝(0,2)，O→C＝a＋λb，若点 C 在函数 y ＝sin1π2x 的图象上，求实数 λ 的值．
解：易求得O→C＝(6,4＋2λ)，即 C(6,4＋2λ)．由 C 在函数 y＝sin1π2 x 的图象上，得到 4＋2λ＝sin1π2×6，解得 λ＝－32.
思路点拨：向量的垂直和平行都可以用坐标表示．
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． (1)由(ka＋b)⊥(a－3b)， 得(ka＋b)·(a－3b)＝10(k－3)－4(2k＋2)＝2k－38＝0，解得 k ＝19. (2)(ka＋b)∥(a－3b)，得－4(k－3)＝10(2k＋2)，解得 k＝－13. 故 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行． 此时 ka＋b＝－130，43＝－13(10，－4)，它们的方向相反．
错因分析：由 9λ2＋16λ2＝1，应解得|λ|＝15，λ＝±15.
正解：因为 b 与 a 共线，所以可设 b＝λa，因为 b 是单位向量， 所以|b|＝1，即|λa|＝1，|(3λ－4λ)|＝1，就是 9λ2＋16λ2＝1，得到|λ| ＝15，λ＝±15，故 b 的坐标为15(3，－4)或－15(3，－4)，即 b 的坐标 为35，－45或－35，45.
自学导引
1．已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ _x_1_x_2＋__y_1_y_2_.由此可得：
①若 a＝(x，y)，则|a|2＝__x_2_＋__y_2 _，或|a|＝___x_2_＋__y_2. 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么 a＝(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_，|a|＝___x2_－__x_1_2_＋___y_2－ ___y1.2 ②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔_x_1_x_2＋__y_1_y_2＝_. 0 2．设两个非零向量xa1＝x2＋(x1y，1yy21)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹 角，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝__x_21＋__y_21_·__x_22_＋__y_22.
