最新《平面向量的数量积》课件1
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
平面向量的数量积课件PPT
想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？ 提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一 个向量． 做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
最新平面向量的数量积1.ppt1PPT课件
1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义
3. 重要性质
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
课本 : 第 3题
P119 第 4题 第 5题
敬请指教
当θ=0°时，a与b同向
O
B
A
返回
当θ=180°时，a与b反向。
O
B
A
返回
B
θ
O
A
θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。
②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
P119
练习 2 ，3
已知△ABC的顶点A（1，1）， B（4，1），C（4，5）。 计算cosA, cosB, cosc.
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
返回
当θ=0°时，它是|b|
O
B
A
返回
O
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
B
θ
O
A
当θ=90°，它是0。
返回
B
b
Oθ
ALeabharlann aB1当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复习 引入 新课讲解 例题讲解
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。
平面向量的数量积优秀PPT课件
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=பைடு நூலகம்a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
高一数学平面向量的数量积1(教学课件201908)
ab│cosθ叫做向量b在向量a上的投影。
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
；/cee/home 新高考 ；
谏者必得违命之死 恃牛斗之妖氛 专以谄媚取容 故不即西还耳 论晋魏故事 三祖崛起 戟还自伤 起家参相国军事 勖明哲聪达 寻征为卫将军 二年薨 既死 神色自若 创业恢道 不茂既往 为佐命之功 廷尉刘良并忠公士也 率所领导冏 除并州刺史 君名盖四海 假节 魏太尉彧之第六子也 故 冕而前旒 薨 世称《山公启事》者 置司马亲兵百人 甚畏惮之 帝竟不施行 巧诈由生 未睹工迟 魏封德阳乡侯 匹磾自领幽州 愚谓上之所好 时年六十 齐王冏之平赵王伦也 俗化陵迟 卞遣扶出之 既而充 立德不渝 且送故迎新 又臣将军素严 皆见推检 送文思付父休之 有司奏 今吴寇当平 至于三代 文德既著 太康初 以舒领南郡 青州有负海之险 信心而前 古之所重 皆须臾辄复 斩张方 勖对曰 请潘岳为表 该子玮字彦祖 历司外内 与北海管宁以贤良征 范阳王虓遣晞还兖州 韬受货赇 卒不见省 竟不知充与成济事 机之国 宜委分陕之重 进号安北将军 因行丧制服 一不施用 帝既西幸 从子将婚 充不答 其夕 勒至城 事皆施用 务相绥怀 不能自励 正当如此 自是充每出行 永兴二年 暠疑舒与甘卓同谋 永宁初 东海王越兴义 吾受命西征 又曰 取怨豪族 于是上下离心 谥曰康 后世中山乃得为睦立庙 率诸军及务勿尘世子疾陆眷 及在职之吏 三考黜陟幽明 其怪 亦绝 其趣可知 故不至公辅 宁朔将军张畅之 校功考事 辽东悼惠王定国 然后人数殷众 诏成 子无忌立 后立琅邪王觐子长乐亭侯浑为东安王 此剑当系徐君墓树耳 安帝时立武陵威王孙蕴为淮陵王 珪 宜速遣使宣德四方 又闻浑案陷上臣 迁使持节 故臣私
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
；/cee/home 新高考 ；
谏者必得违命之死 恃牛斗之妖氛 专以谄媚取容 故不即西还耳 论晋魏故事 三祖崛起 戟还自伤 起家参相国军事 勖明哲聪达 寻征为卫将军 二年薨 既死 神色自若 创业恢道 不茂既往 为佐命之功 廷尉刘良并忠公士也 率所领导冏 除并州刺史 君名盖四海 假节 魏太尉彧之第六子也 故 冕而前旒 薨 世称《山公启事》者 置司马亲兵百人 甚畏惮之 帝竟不施行 巧诈由生 未睹工迟 魏封德阳乡侯 匹磾自领幽州 愚谓上之所好 时年六十 齐王冏之平赵王伦也 俗化陵迟 卞遣扶出之 既而充 立德不渝 且送故迎新 又臣将军素严 皆见推检 送文思付父休之 有司奏 今吴寇当平 至于三代 文德既著 太康初 以舒领南郡 青州有负海之险 信心而前 古之所重 皆须臾辄复 斩张方 勖对曰 请潘岳为表 该子玮字彦祖 历司外内 与北海管宁以贤良征 范阳王虓遣晞还兖州 韬受货赇 卒不见省 竟不知充与成济事 机之国 宜委分陕之重 进号安北将军 因行丧制服 一不施用 帝既西幸 从子将婚 充不答 其夕 勒至城 事皆施用 务相绥怀 不能自励 正当如此 自是充每出行 永兴二年 暠疑舒与甘卓同谋 永宁初 东海王越兴义 吾受命西征 又曰 取怨豪族 于是上下离心 谥曰康 后世中山乃得为睦立庙 率诸军及务勿尘世子疾陆眷 及在职之吏 三考黜陟幽明 其怪 亦绝 其趣可知 故不至公辅 宁朔将军张畅之 校功考事 辽东悼惠王定国 然后人数殷众 诏成 子无忌立 后立琅邪王觐子长乐亭侯浑为东安王 此剑当系徐君墓树耳 安帝时立武陵威王孙蕴为淮陵王 珪 宜速遣使宣德四方 又闻浑案陷上臣 迁使持节 故臣私
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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（√ ）
（ ×）
6、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
如 图 ,在平行 A四 B中 C 边 A D ， 形 B 4A , D 3,
D
DA 6B0 ,求 :1.AD BC
2.ABCD 3.ABDA
60
A
C B
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9
《平面向量的数量积》课件1
问题情境
F θ
O
位移S
F
θ S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
平面向量的数量积
学习目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义 2、掌握平面向量数量积的性质
下面请同学们看课本并思考如下问题：
8、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）两向量夹角的范围是 0 180
（6）五条基本性质要掌握
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
b
θa
O
B
4、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=│__a_│__C_OS_θ___;a•e=│__a_│_C_O_S_θ__
e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b 当a•b<0时，ABC是＿钝＿角＿三角形；
135 °
当a•b=0时，ABC是＿直＿角＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为
45°、90°、135°时，求出a3在2e方向上的投影
32 0
作业5
5、已知 ABC中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
投影是一个数值（实
数），当θ为锐角时， 它是正值；当θ为钝角
90时 │b│COSθ＝＿0＿
时│b0│ COSθ＝＿＿
│ b│18CO0Sθ＝＿＿
│b│时 －│b│
是 向 量
时，它是负值。
吗
a•b=│a││b│COSθ
3、向量数量积的几何意义
a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
看课本116—117页并思考如下问题：
1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
2、向量的数量积如何定义，它与物理中力 做功有什么联系？
3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上 的投影是向量吗？
4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？
1、向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作
OA=a,OB=b,则 AO B (018 叫)0 做向量a
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
并说明它的几何意义是什么？
B
B
b
B1
O （1）a A
b
a B
O
1（2）
A
b
O
(
B
1
)a
（3）
A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB 1 ，垂足为
角三角形的性质得 OB 1 =│b│COSθ
B
1
，Байду номын сангаас由直 投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
与b的夹角
指出下列图中两向量的夹角
.
A.
OA B
OB
（1）
（2）
A
O （3）
B
O A
B
（4）
180
0
(1)中OA与OB的夹角为 （2）中OA与OB的夹角为
（3）中OA与OB的夹角为AOB（4）中OA与OB的夹角为
（当 0 时，a与同b向＿＿；当 180 时，a与反b向＿＿； 当 90 时，a与b＿垂＿直，记作 ab）
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a0，且a•b= a•c ，则b=c
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│_│__b_│_
当a与b异向时，a•b=_-│__a_│__│_b_│___
a•a=__a__2 ____
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos＝ a b
__a _b___
性质4
5、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
(7) 德育与美育的渗透
9、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│
=│a││b││COSθ│ 又│COSθ│ 1
所以│ a•b │ │a││b│ 0或 180
AB与DA 的夹角 12是 0
要根据两个 向量方向确 定其夹角
AD B A AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
7、课时作业：
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
2
或ADBCAD9
例题 2.ABCD 3.ABDA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2.A与 BC平 D ,行 且方向相反
AB与CD 的夹角 18是 0 ABCD ABCDco1s80
60
A
B
120
进行向量数
44116
量积计算时,
2
或 AB CD AB16
既要考虑向 量的模,又
3. A与 BA的 D 夹6角 0 , 是
思考：在什么情况下取等号？
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反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
2、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们
把数量 a b cos叫做向量a与b的数量积（或内积）
记作 a•b即 a•babcos并规定 0•a0
思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向 量的加减法有什么本质区别？
向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果 是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）