一阶线性非齐次方程解法
推倒
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一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0
，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。
分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
?
或
y c e P x dx
=?-?()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换
y u e P x dx
=?-?()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
?=-?
两边求导得 dy dx u e uP x e P x dx P x dx
='--?-?()()()
代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()()
u c Q x e dx
P x dx =+??()()
于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx
P x dx P x dx =?+-???()()()
将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()()
不难发现：
第一项是对应的齐次线性方程2的通解；
第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程
dy dx
y
x
x
-
+
=+
2
1
1
3
2
()
的通解。
解：
]
2
3
)1
(
[1
2
1
2
dx
e
x
c
e
y dx
x
dx
x??
+
+
?
?
=+
-
+
-
-
]
2
3
)1
(
[2
2)1
(
ln
)1
(
ln dx
e
x
c
e x
x+
-
+??
+
+
?
=
=+?++
-
?
()[()]
x c x dx
11
2
1
2
=+?++
()[()]
x c x
121
2
1
2
由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
二、贝努利方程
方程
dy dx
P x y Q x y n
n
+?=?≠
()()(,)
01
叫做贝努利方程。
当n=0时，它是一阶线性非齐次微分方程
dy dx
P x y Q x +?=
()()
当n=1
时，它是一阶线性齐次微分方程
dy
dx
P x Q x y
+-?=
[()()]0
当n≠01,
时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性
微分方程。
具体解法如下：
dy dx
P x y Q x y y
dy
dx
P x y Q x
n n n
+?=???+?=
--()()()()
1
1
1
1
1
-
?+?=
-
-
n
d y
dx
P x y Q x
n
n
()
()()
d y
dx
n P x y n Q x
n
n
()
()()()()
1
1
11
-
-
+-?=-
令y z
n
1-=
，方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程
dz dx n P x z n Q x +-?=-()()()()11
【例2】求贝努利 dy dx y x a x y +=(ln )2
的通解。
解 ：112y dy dx xy a x ?+=?ln ，-+?=?--d y dx x
y a x
()()ln 111 d y dx x y a x
()
()ln ---?=-111
]ln [1
1
1dx e x a c e y dx x dx x ???-+??=----
=?-??-?e c a x e dx x x ln ln [ln ] =?-?
?x c a x x dx [ln ]
=?-x c a x [(ln )]
22
线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】r(A)= r 一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得 '=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 不难发现： 第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。 由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根 一阶非齐次线性方程的解 一阶非齐次线性方程比较两个方程： .)()(x q y x p y =+' ,0)(=+'y x p y 请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点什么东西呢？ ?-=dx x p Ce y )(?-=dx x p e x C y )()(行吗?! )()(x q y x p y =+' 则可微且待定函数令,)(,)()(x C e x C y dx x p ?=- ,)()()())(()()()(???----'='='dx x p dx x p dx x p e x C x p e x C e x C y 怎么办？ 得的表达式代入方程中及将,y y ', )()()()()()()()()(x q x p e x C e x C x p e x C dx x p dx x p dx x p =+-'???---故 ,)()()(x q e x C dx x p ='?-即 ,)()()(?='dx x p e x q x C 上式两边积分，求出待定函数 C dx e x q x C dx x p +=??)()()( )(为任意常数C 通解为得一阶非齐线性方程的中代入,)()(?=-dx x p e x C y , ))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +=???-以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来 由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。 =+'y x p y )(?-=dx x p Ce y )(?+=??-) C dx e x q e y dx x p dx x p )()()(() ()(x q y x p y =+' 非齐次线性方程组解得结构得进一步讨论摘要:本文通过矩阵得初等变换及非齐次线性方程组得解得有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组得解得结构问题,虽然非齐次线性方程组得解向量得全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组得基础解系得解向量组,这个解向量组线性无关。并且得任意一个解都可以由这个解向量组线性表示、最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解得充要条件,并给出了相应例题。 关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换 引言 非其次线性方程组(Ⅰ) 得矩阵形式为。取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组得导出组。我们知道非其次线性方程组得解有以下得一些性质: （1）若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得一个解,则也就是得一个解。 证明:因为就是非其次线性方程组得一个解,所以有,同理有,则由。所以就是非其次线性方程组得解。 （2）若就是非其次线性方程组得两个解,则就是其导出组得解 证明:由,,所以有,故为其导出组得解。 ２。定理 (非其次线性方程组解得结构定理)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得通解,则就是非其次线性方程组得通解。 证明:由性质(1)可知加上其导出组得一个解仍就是非其次线性方程组得一个解,所以只需证明,非其次线性方程组得任意一个解,一定就是与其导出组某一个解得与,取 由性质(2)可知,就是导出组得一个解,于就是得到,即非其次线性方程组得任意一个解与其导出组得某一个解得与。 由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示。因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表示出一般方程组得一般解,如果就是方程组(Ⅰ)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(Ⅰ)得任一个解都可以表示成: 3。由上面2得证明过程,我们可以知道其次线性方程组得全部解可由基础解系线性表示出(其基础解系含有个解向量),即为任意实数。那么,当非其次线性方程组有解时,则至多有多少个线性无关得解向量?得全部解又如何表示? 定理 若其次线性方程组得基础解系为,当非其次线性方程组有解时,则它至多且一定有个线性无关得解向量,得通解可以表示为为满足关系式,得任意实数。 证明:(ⅰ)若就是非其次线性方程组得解,则为非零解向量,那么向量组,线性无关(否则可由线性表示,与就是得解矛盾)。那么,易证都就是得解,并且线性无关。这说明至少有个线性无关得解向量。 下面再证至多有个线性无关得解向量。 反证:若有个线性无关得解向量,那么易证均为得解,并且线性无关。这样具有线性无关得解向量矛盾,所以,至多且一定有个线性无关得解向量。 (ⅱ)对于得任意一个解,一定可以表示成它得一个特解与其导出组得基础解系得线性组合,即为任意常数 那么 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2). 齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式： 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知 量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为 非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论 摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。 关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换 引言 非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222222********* （Ⅰ） 的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质： （1） 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，1v 是其导出组0=AX 的一个解，则 11v u +也是0=AX 的一个解。 证明：因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，所以有B Au =1，同理有01=Av ，则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 （2） 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解，则21v v -是其导出组的解 证明：由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理 （非其次线性方程组解的结构定理）若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解，v 是其导出组的通解，则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。 证明：由性质（1）可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解* v ，一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和，取 1*1u v v -= 由性质（2）可知，1v 是导出组的一个解，于是得到11* v u v +=，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。 由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表 南阳理工学院 本科生毕业设计（论文） 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生：王灿灿 指导教师：童姗姗 完成日期: 2014 年 05 月 南阳理工学院本科生毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 总计：毕业设计（论文）20页 表格： 0个 插图： 0幅 南阳理工学院本科毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：王灿灿 学号： 105100140078 指导教师（职称）：童姗姗(讲师) 评阅教师： 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 数学与应用数学专业王灿灿 [摘要]本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。 [关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation Mathematic and Applied Mathematics WANG Can-can Abstract:This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x ) 第三讲一阶线性非齐次微分方程组的一般理论(2课时) 一、目的与要求：理解一阶线性非齐次方程组的一般理论，掌握一阶线性非齐次方程组的通 解结构，理解常数变易法. 二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构，常数变易法. 三、难点：常数变易法. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1.课题引入 本节研究一阶线性非齐次方程组 dY —=A(X Y+F x ) dx (3.7 ) 的通解结构与常数变易法. 2.通解结构 定理3.8如果Y(x)是线性非齐次方程组(3.7)的解，而Y0(x)是其对应齐次方程组(3.8) 的解，则Y0(x) +Y(x)是非齐次方程组(3.7)的解.资料个人收集整理，勿做商业用途 证明这只要直接代入验证即可 定理 3.9线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解. 证明设Y(X)和Y(x)是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式 dY-^ =A(x)Y(x)+F(x) ，■dY(x) = A(X)Y(X)+F(X)dx dx 于是有 知(x)-Y(x)]=皿-如 dx dx dx =A( x)Y(X)+ F(X)- A(X)Y(X) — F (X) = A(x)[ Y(X)-Y(X)] 上式说明Y(X)-Y(X)是齐次方程组(3.8)的解. 定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程 组(3.7)的一个特解之和.即若Y(x)是非齐次方程组(3.7)的一个特解，YdhKx)，川，YJ X) 是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为 Y(X)-CMd) +C2Y2(X)+川+C n Y n(x pH Y'(x)资料个人收集整理，勿做商业用途 这里C i,C2,HI,C n是任意常数. 证明首先由定理3.8，不论C i,C2,川，C n是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解.其次对于方程组(3.7)的任何一个解Y(x)，由定理3.9知，是Y(X)-Y(X)对应齐次方程组的解.于是 由基资料个人收集整理，勿做商业用途 本定理3.6，存在常数G'G,川,c n使得 Y(x) -Y(X)=CY I(X)+ CY2(X) +川+ CY n(x) Y(x) = CY I(X)+C Y2(X)+ 川+ CY n(x) + Y(X) 所以(3.16)是(3.7)的通解.定理证毕. 3.拉格朗日常数变易法 在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解.现在，对于 线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢？事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组 (3.8)的一个基本解组.而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7) 的一个特解.资料个人收集整理，勿做商业用途 为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下: 线性方程组解的结构（解法） 一、 次 性方程 的解法 【定 】 r ( )= r < n , 若 AX = 0 （ A m n 矩 ）的一 解 ξ1, ξ2,L , ξn r , 且 足： A (1) ξ1, ξ2 ,L , ξn r 性无关 ; (2) AX = 0 的) 任一解都可由 解 性表示 . 称 ξ, ξ,L , ξ AX = 0 的基 解系 . 1 2 n r 称 X k 1 ξ1 k 2 ξ2 L k n r ξn r AX = 0 的通解 。其中 k 1, k 2, ? , k n-r 任意常数 ). 次 性方程 的关 就是求通解， 而求通解的关 是求基 解系. 【定理】 若 次 性方程 AX = 0 有解， (1) 若 次 性方程 AX = 0 （ A m n 矩 ） 足 r ( A) n ， 只有零解； (2) 次 性方程 有非零解的 充要条件 是 r ( A) n . （注： 当 m n ， 次 性方程 有非零解的 充要条件是它的系数行列式 A 0 . ） 注： 1、基 解系不唯一，但是它 所含解向量的个数相同，且基 解系所含解向量的个数等于 n r ( A) . 2 、非 次 性方程 AX B 的同解方程 的 出方程 （ 称“ 出 ” ） 次 性方程 AX O 所 的同解方程 。 由上述定理可知，若 m 是系数矩 的行数（也即方程的个数） ， n 是未知量的个数， 有： （ 1） 当 m n ， r ( A) m n ，此 次 性方程 一定有非零解，即 次方程 中未知量的个数 大于方程的个数就一定有非零解； （ 2）当 m n ， 次 性方程 有非零解的 充要条件是它的系数行列式 A 0 ； （ 3）当 m n 且 r ( A) n ，若系数矩 的行列式 A 0 ， 次 性方程 只有零解； （ 4）当 m n ，若 r ( A) n ， 存在 次 性方程 的同解方程 ； 若 r ( A) n ， 次 性方程 无解。 1、求 AX = 0 （ A m n 矩 ）通解的三步 （ 1） A 行 C （行最 形） ; 写出同解方程 CX =0. (2) 求出 CX =0 的基 解系 ξ1, ξ2,L ,ξn r ; (3) 写出通解 X k 1 ξ1 k 2 ξ2 L k n r ξn r 其中 k 1, k 2, ? , k n-r 任意常数 . §12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy , 两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得 常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极 几类一阶微分方程的简捷求法 摘要: 关键词: 中图分类号: 文献标识码: A 1 预备知识 形如 ()()dy P x y Q x dx += (1) 的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dy P x y dx += (2) 方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如 ()()n dy P x y Q x y dx += (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解. 现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果 定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式 '() ()()n n dy F x F x y Q x dx ??+=? ? (4) 则它的通解为 1()() n y Q x dx C F x ? ?= +??? (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()n n d F x dy F x y Q x dx dx ????+ = ()()()n n F x dy d F x y Q x dx ??+=?? ()()n d F x y Q x dx ??=?? 两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+? 1()() n y Q x dx C F x ? ?= +??? 证毕. 推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式 '() ()()dy F x F x y Q x dx += (6) 则它的通解为 1()() y Q x dx C F x ? ?= +??? (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式 '() ()0n n dy F x F x y dx ??+=? ? (8) 则它的通解为 () n C y F x = (9) 证明 在定理1的结果1()() n y Q x dx C F x ? ?= +???中,取()0Q x =便可得证. 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式 '() ()0dy F x F x y dx += (10) 则它的通解为 () C y F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式 ()ln ()()ln ()n dy P x y F y Q x y F y dx += (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d y Q x P x dx C F y =-+?? (13) 当1n ≠时,其通解为 其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 若1n =,方程(12)变为 ()l n ()()l n ()dy P x y F y Q x y F y dx += (15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得 []()()ln () dy Q x P x dx y F y =- []ln ()()ln () d y Q x P x dx F y =- 两边积分得 []ln ()()ln ()d y Q x P x dx C F y =-+?? 此即为方程(15)的通解表达式. 若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()n y F y 得[整理]一阶线性非齐次方程解法推倒.
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
齐次和非齐次线性方程组的解法
高阶线性微分方程常用解法介绍
一阶非齐次线性微分方程
非齐次线性方程组
二阶线性微分方程的解法
齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
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常系数高阶线性非齐次微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程求解方法
三章阶线性微分方程组三阶线性非齐次方程组的般理论
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿).doc
线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法
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