常系数高阶线性非齐次微分方程

n- 1 - 2 乘以第 k 式的两端后再将 n 个式子全部加起来, 得到- w n 1 = P 1w 1 + P 2w n 1 + … + P n- 1w + P n , n n- 1 即 w 1 + P 1w 1 + … + P n = 0, 所以 w 1 是方程( 1. 1) 对应齐次方程的特征方程的根 . w 1 解出以后 , 可依次 由第 1 式到第 n - 1 式解出 Q1 , Q2 , … , Qn- 1 . 定理 2 的证明 因为
用w
n- k 1
R 2 ( t) ・( t - w 1 ) = tn + ( - Q1 - w 1 ) tn- 1+ …+ ( - Q k + w 1Q k- 1 ) tn- k + … + ( - Qn- 1 + w 1Q n- 2) t + w 1 Qn- 1 ,
86 所以由定理 1 知, R 2( t ) ・ ( t- w 1) = R 1 ( t) . 定理 3 的证明 使用数学归纳法 . 1. 当 n= 1 时, 定理显然成立; 2. 假设 n = k 时 , 该定理成立; 3. 当 n= k + 1 时 , 由定理 1 知
∑∑C
t ≠t
0
ktj
e
ut x 0
j= 0
∫
x e
j ( u t - ut ) x
0
k t0
- 1
dx + e
ut x 0
・ ∑ C kt 0 j x dx + C k+ 1 e
j j= 0
∫
ut x 0
,
利用 x j e x d x = e x ・

高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。

它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。

一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。

它也被称为高阶非齐次微分方程。

其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。

假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。

为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。

二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。

齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。

特征根决定了系统的动态性质。

找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。

三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。

高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。

它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。

首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。

接下来，使用数值方法求解算子方程。

常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。

有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。

有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。

最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。

且 ， ， ，一 … 为方程 （ ） 对应 的齐 次方 程 的特 ４ 所 征根． 由归 纳假 设 ， 程 （ ） 方 ４ 可转 化 为 一１ 个一 阶线 性微 分 方程
—
收 稿 日期 ： ０ １ １ 一 ８ 修 改 日期 ： ０ ２０ — ５ ２ １—Ｏ１ ； ２ １ — ３０
（ １ ＋ ２
（ ）（ 一１
若 令
∑
ｉ ≤ ｋ
… 一＋…＋ ）”
（） ３
１ １ ２＜ … ≤ ＜
ｊ－ ｆ． Ａ 一
一
（ １ Ａ … ． 一 ） ２ ｙ一 厂（ ． ）
（ ２）
， 、
一
’
Ｊ………
证 明
ｌ＝ Ｙ ＝ ：
Ａｂ ｔａｔ Ｕｓｎ ｈｅ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ａ ｕ ｓ ｏ ｉ ｈ ｒ ｏ ｄ ｒ ｈ ｍｏ ｅ ｏ ｓ ｌ ａ ｉｆｒ ｎｔ ｌｅ ｕ ｔｏ ｓｒ ｃ ： ｉ ｇ ｔ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔｃｖ ｌ ｅ ｆａ ｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ｏ ｇ ｎｅ ｕ ｉ ｒ ｄｆｅ ｅ ｉ ｑ ａ ｉｎ ｎｅ ａ ｗｉ ｏ ｓａ ｔｃ ｅｆｃｅ ｔ ，ｗｅ ｃ ｎ ｔａ ｆ ｒｔ ｅ ｈ ｇ ｒｏ ｄ ｒｎ ｎ ｈ ｔ ｃ ｎ ｔ ｎ ｏ ｆｉｉｎ ｓ ｈ ａ ｒ ｎｓｅ ｈ ｉ ｈｅ ｒ ｅ ｏ － ｏｍｏ ｅ ｅ ｕｓｌ ｅ ｒｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉｎ ｇ ｎ ｏ ｉ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉｌｅ ｕ ｔｏ ｎ
征根 ， 用 降阶法 ， 出 当非齐 次项 为任 意连续 函数 利 给 时， ｎ阶常 系数 非 齐次线 性微 分 方程 的特 解求 法 ， 即 阶常 系数 非齐 次线 性微 分 方程 的求 解 问题 可 归结 为 个一 阶线 性微 分 方程 的求 解 问题． 定理 １ 设 １阶常 系数非 齐次 线性 微分 方程

常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理
学等领域有着广泛的应用。

那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一
探讨。

首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。

这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数
系数都是常数。

其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。

对于没有特殊限制
的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。

牛顿迭
代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解
方法。

但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。

例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该
方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。

最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的
应用。

在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用
于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。

因此，掌握常系数非
齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有
十分重要的意义。

常系数（非）齐次线性微分方程1 非常系数线性微分方程非常系数线性微分方程是一类有关于时间变化的微分方程，其中系数不为同一个常量。

它可以描述经典力学系统、介质传播过程等一些复杂的现象。

它包括了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程和非线性微分方程，它们郹能描述曲线与表达式之间的紧密联系，具有广泛的应用性。

2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是方程中只有一个未知函数及其一阶导数，表达式如下：f'(t) + a(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为常系数的函数，这种方程的解通常可以得到整数次方程的特解。

3 高阶线性微分方程高阶线性微分方程也是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是未知函数及其以下高阶导数，表达式如下：f^{n}(t) + a_{1}(t) f^{n-1}(t) + a_{2}(t) f^{n-2}(t) + ... + a_{n}(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a_{1}(t)、a_{2}(t)、... 、a_{n}(t)和b(t)为常系数的函数，此种方程一般只能求解特解，而不能求普通解。

4 非线性微分方程非线性微分方程是非常系数线性微分方程的另外一个分支，它与线性微分方程最大的不同之处在于它它中参数为非常量，表达式如下：f''(t) + f(t)^2 + a(t) f(t) + b(t) = 0其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为非常量的函数，由于涉及到非线性，因此求解时往往比较困难。

5 应用非常系数线性微分方程在解决实际问题中具有十分重要的意义，它可以描述经典力学、介质传播等复杂的物理现象，也可以用来模拟生物/神经分子的神经元执行的传输机制。

此外，非常系数线性微分方程也广泛用于经济学、植物生理学等领域。

一、 f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 、
设特解为 y* e x Q (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
例2 求微分方程y5y6yxe2x得通解 解 齐次方程y5y6y0得特征方程为r25r 60 其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2就是特征方程得单根
所以非齐次方程得特解应设为 y*x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x
因此所给方程得通解为
提示 2b01 齐2b次0方b1程源自y5y6y0得通解为YC1e2xC2e3x
高数常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解得结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解得方法 — 待定系数法 根据 f (x) 得特殊形式 , 给出特解 y *得待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 、
例4、求方程 y y x cos 2x 得一个特解 、
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
i 2i 不就是特征方程得根故, 设特解为
y* ( a x b) cos 2x (c x d )sin 2x
代入方程得
(3a x 3b 4 c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
特解:
1),
y1 xkQm (x) e(i ) x (Qm (x)为m次多项式)

高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法作者：耿丽芳来源：《数学学习与研究》2019年第02期【摘要】在高等数学教学过程中，高阶常系数非齐次常微分方程解法只有几种.比如，在解决齐次线性方程的时候所利用的特征代数方程，在本文当中提出了常系数线性非齐次常微分方程的其他解法，在非齐项是任意连续函数的时候，通过第二类特征代数方法的求解过程，得到求特解的公式，并且通过实例对解法进行了系统分析.【关键词】常系数;特征方程;非齐次常微分方程一、高阶常系数线性非齐次常微分方程解法常系数线性非齐次常微分方程的形式如下所示.x（n）+p1x（n-1）+p2x（n-2）+…+pnx=f（t）. （1）（一）常数变易法可以将方程的特解设为：x（t）=c1（t）x1（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t），（2）c，i均为常数，将其代入到（1）当中，可以得到方程组：x1c1′（t）+x2c2′（t）+…+xncn′（t）=0，x1′c1′（t）+x2′c2′（t）+…+xn′cn′（t）=0，x （n-2）1c1′（t）+x（n-2）2c2′（t）+…+x（n-2）ncn′（t）=0，x（n-1）1c1′（t）+x（n-1）2c2′（t）+…+x（n-1）ncn′（t）=f（t）.通过解方程组，最终得到关于c1′（t），c2′（t），…，cn′（t）的方程式，将它们积分处理，从而获得c与i的值，并将它们代入到（2）当中，能够得到方程1的特解.这种方法不会限制f（t）的形式，因此，具有比较广的使用范围，可是在求解过程中，工作量相对较大.（二）比较系数法常系数线性非齐次方程，我们通常是会用比较系数法，它能够将微分方程转变为代数问题，自由项是f（t）=pm（t）eλt或者是f（t）=[pn（t）cosβt+ps（t）sinβt]eθt，pm（t），pn（t），ps（t）是m次、n次以及s次多项式.当λ，α，β都是常数的时候，特解x ～ =tkQm（t）eλt，Qm（t）是待定多项式.或者x ～ =tk[Q（1）m（t）cosβt+Q（2）m （t）sinβt]eαt，m=max[n，s].Q（1）m（t），Q（2）m（t）是两个待定的m次项式，而k则是方程含根α±βt次数.将其代入到方程（1）当中，并且比较两边t同次幂的系数，从而确定待定系数的多项式.按照线性微分方程解结构定理能够求出方程通解.（三）创新解法dny dxn +a1 dn-1y dxn-1 +…+an-2 d2y dx2 +an-1 dy dx +any=Am（x）eλx，; a其中，ai∈ R （i=1，2，…，n），λ∈C，Am（x）是实变量x次数m的实系数多项式.在对a进行求解的时候，通常是按照与之相对应的齐次线性方程特征方程特征根和Am（x）eλx 特征使用特定待定系数法加以解决，该方法存在的问题在于运算量非常大，从而影响计算过程，本文所使用的齐次线性方程特征方程、特征多项式、特征根和Am（x）eλx特征，使用这个公式能够比较容易地计算出方程a的特解.假设和方程a所对应的齐次线性方程特征多项式是F（r）=rn+a1rn-1+…+an-2r2+an-1r+an. b此时，特征方程F（r）=0当中的r=λ，便是b的特征根.主要结果和证明引理1; b对r的l阶导数是F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k rn-l-k， c∪ i n （i=0，1，2，…，n）为组合数，在r=λ的时候，存在F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k λn-l-k.引理2; 方程a特解y（l）（x）=∑ l s=0 ∪ s l λsQ（l-s）（x）eλx=∑ l s=0 ∪ s l λl-sQ（s）（x）eλx. dUin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式，s表示s阶导数.引理3;;; ∑ n l=0 ∑ l s=0 an-1Uslλl-sQ（s）（x）eλx=∑ n l=0 ∑ n-l k=0 akUln-kλn-k-lQ（l）（x）eλx.Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式.定理1; 方程a的特解为y=Q（x）eλx的充分必要条件为1 l！∑ n k=0 F（l）（r）Q（l）（x）=Am（x）. e二、实例分析解方程 d2y dx2 +2 dy dx +3y=（x+1）e3x.解; 特征多项式是F（r）=r2+2r-3，令F（r）=0，根是r=-3，r=1，λ=3不是特征根，所以可以设特解是（Ax+B）e3x，此时Q（x）=Ax+B，Q′（x）=A，Q′（x）=0，同时，F（3）=12，F′（3）=8，F′（3）=2，将其代入到e当中，存在F（3）Q（x）+F′（3）Q′（x）+ 1 2！F′（3）Q′（x）=x+1，也就是12（Ax+B）+8A=x+1，方程的解为A= 1 12 ，B= 1 36 ，因此，特解是 1 36 （3x+1）e3x.三、结语本文主要介绍了常数变易法、比较系数法等高阶常系数线性非齐次常微分方程基本的求解方法，同时，对求解方法进行了适当创新，推出了创新解法，并以此为基础，列举了实例进行系统分析，希望能够对实际应用产生一定的推动作用.【参考文献】[1]埃伯哈德·蔡德勒，蔡德勒，李文林.数学指南：实用数学手册[M].北京：科学出版社，2012.[2]陈新明，杨逢建.線性常系数微分方程的求解公式[J].五邑大学学报（自然科学版），1999（1）：36.[3]张鹏高.高阶常系数线性非齐次常微分方程的求解公式[J].湖南城市学院学报，1998（6）：61-63.[4]宋燕.高阶常系数非齐次线性微分方程的解法[J].高等数学研究，2012（3）：22-23.[5]陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法[J].宜春学院学报，2010（12）：13-14.[6]陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法[J].宜春学院学报，2010（12）：13-14.[7]吴亚敏.求高阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J].太原师范学院学报（自然科学版），2012（1）：40-42.。

整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0


1 2
,
b1

1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3

其 中 ，１Ｃ， ， 为任意 常数 ． Ｃ，２… Ｃ 这个 通解 （） 括 了方程 （） ３包 １ 的所 有解 ．
对 于方 程（）由于 对应 齐次方 程（） １， ２的基 本解 组 易求 ， 以只要 再 求 出方 程 （ 的一个 特 解 ， 其通 解 所 １ ） 则 便可求 ．
１ 高阶常系数微分方程特解 的几种求法
第 １ 卷第 ５ ９ 期
２１ ００年 ９ 月
河 南 城 建 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｏ ｎ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ｓｒ ｃｉ ｏ ｒ ｌ ｆＨｅ ａ ｎｖ ｒｉ ｆＵ ｂ ｎ Ｃ ｎ ｔ ｔ ｎ ｎ ｔ ｕ ｏ
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ． １１ ５
Ｓｐ２ １ ｅ ．０ ０
收稿 日期 ：０ ０ ６ ９ ２ １ —０ —１
作者 简介 ： 陈华喜 （９７一） 男， 徽 淮南人 ， 士 ， １７ ， 安 硕 蚌埠 学 院数理 系讲 师 ， 主要 从 事微 分 方程 及 代数 学研
究。
河 南 城 建 学 院 学 报
２１ 年 ９月 ００
例 １ 求方程 ＋Ｙ ：＿ 的通 解 ．
称 为 ｎ阶常 系数齐 次线性 微分 方程 ， 为叙 述 简便 ， 称方程 （） ２ 为方程 （） 应 的齐次方 程 ． １对 定理 ｌ Ｊ 设 Ｙ （ ， ２ ） … ， ｎ ） 【 ｌ ） Ｙ （ ， Ｙ （ 为方 程 （） ２ 的基本解 组 ， Ｙ ） 方程 （） 而 （ 是 １ 的某一 解 ， 方程 则 （ 的通 解可表 为 １ ） Ｙ ）＝ ｅＹ （ （ ｌ１ ）＋ＣＹ （ ２２ ）＋… ＋ｃ （ ， ）＋Ｙ ） （ （ ３ ）
二 Ｓｌ 戈 ｎ
故 原方程 的通解 为 Ｙ＝ Ｃｃｓ ｌ。 ＋ ｃｓ ＋ｃｔｃｓ 一 ２ｉ ｎ 。 。

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。

经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。

该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。

二是Kowalewsky-Trunov展开法。

该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。

三是Padé拆分法。

该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。

这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。

边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。

高阶常系数非齐次微分方程特解的求法1 微分方程概述微分方程是表示具有时间和空间性质的模型系统的改变过程的数学方程。

它是建立在微分学基础上的一种数学描述，用来描述函数的时间变化的过程的数学工具，表达了可变量之间有关性的数学隐喻。

2 高阶常系数非齐次微分方程高阶常系数非齐次微分方程是在数学领域中一般称之为线性微分方程，其中微分阶次大于一，而系数都是常数。

高阶常系数非齐次线性微分方程是指右端为0，且其系数常数都不等于0的非齐次线性微分方程。

它与一阶常系数非齐次线性微分方程最大的不同是，一阶线性微分方程只含有一阶导数，而高阶常系数非齐次线性微分方程含有多个阶导数。

3 高阶常系数非齐次微分方程具体求法高阶常系数非齐次微分方程的求法是由一般解来确定特解。

通常可以采用欧拉法，即将微分方程化为一组常微分方程，再给出一组解析解，最后对解析解合成得到一般解，因而求得特解。

例如，考虑非齐次微分方程：y''（t）+cosx（t）y'（t）+sinx （t）＝te（t）将此方程化为一组常微分方程：y'（t）＝v（t）v'（t）＝-cosx（t）v（t）-sinx（t）+te（t）解得解析解：y（t）＝M1·te（t）+M2·tsinx（t）+M3·tcosx（t）+M4·sin²x（t）+M5·sinxcosx（t）+M6·cos²x（t）其中，M1，M2，M3，M4，M5，M6均为常数，合成出一般解，最后得到特解：y（t）＝te（t）+A·tsinx（t）+B·tcosx（t）+C·sin²x（t）+D·sinxcosx（t）+E·cos²x（t）以上就是求高阶常系数非齐次微分方程特解的求法。

它是比较常用的一种求法，可以用来求解高阶常系数非齐次微分方程。

y*
2A 1,
xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
y py qy f ( x)
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解：( x) C1 cos x C2 sin x
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x, 方法二、作辅助方程 y y 4eix ,
sin x 是 ei x 的虚部, Pm ( x) 4, i
i 是单根, 故 y* Axeix ,
综上讨论，方程的特解总可设为
0 不是根
y* xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
其中： Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm b0 , b1,, bm 可用待定系数法确定。
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)

其中之一可为零）
m maxl,n ，
0 i不是特征方程的根 k 1 i是特征方程的根
练习 ：1、求方程 y y 4x cos x 的通解． 解 特征方程为 r2 1 0 ，其根为 r1,2 i ， 故相应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x ． 自由项 f (x) 4x cos x 属 e x[Pl (x) cosx Pn (x) sin x] 型 （ 0, 1;l 1, n 0 ），由于 i i 是特征方程的根，故可设原方程 的特解为 y* x[( Ax B) cos x (Cx D) sin x] ．将其代入原方程得 A 0, B 1,C 1, D 0 ， 故特解 y x cos x x2 sin x ．
Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y0
它的特征方程为 r22r30
由于这里 0 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1
把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1
比较两端 x 同次幂的系数 得
32bb00
3 3b1
1
由此求得 b01
b1
1 3
于是求得所给方程的一个特解为 y*x 1 3
cx
dx dt
移项 并记 2n k2 c 则上式化为
m
m
这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程
d2x dt2
2n
dx dt
k
2x
0
如果振动物体还受到铅直扰力 FHsin pt
的作用 则有
d2x dt2
2n
dx dt
k2x
h s in
pt
其中 h H 这就是强迫振动的微分方程。 m
0 k 1

关于高阶微分方程的解法
高阶微分方程是指次数大于等于2的微分方程，解法相对于一阶微分方程更为复杂。

一般来说，高阶微分方程的解法需要用到一些特殊的技巧和方法，以下是一些常见的解法：
1. 常系数齐次线性微分方程的解法：这类方程的特征方程是一
个关于未知函数的二次方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的通解。

2. 非齐次线性微分方程的解法：这类方程需要先求解对应的齐
次线性微分方程的通解，然后再通过常数变易法来求解非齐次方程的特解，最终得到方程的通解。

3. 变量分离法：对于一些可化为变量分离形式的高阶微分方程，可以通过变量分离法来求解。

这类方程需要将变量分离后，再进行积分求解。

4. 幂级数法：对于一些特殊的高阶微分方程，可以通过幂级数
法来求解。

这种方法需要将未知函数表示为幂级数的形式，然后带入方程求解。

5. 特殊函数法：对于一些含有特殊函数的高阶微分方程，可以
通过特殊函数的性质和定义来求解。

例如，对于一些含有Bessel函
数的方程，可以通过Bessel函数的性质来求解。

总的来说，高阶微分方程的解法需要掌握一些特殊的技巧和方法，需要对微积分和常微分方程有比较扎实的掌握。

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用微分算子解常系数高阶线性非齐次微分方程＊邓亮章(福建信息职业技术学院,福州　350003)摘　要:本文介绍用微分算子法,求常系数高阶线性非齐次微分方程的特解,微分算子法在众多的方法中,不失为一种好方法,简单易用、计算量小。

关键词:通解;特解;微分算子中图分类号:O 1 文献标识码:A对于常系数高阶线性非齐次微分方程 y n +a 1y (n -1)+…+a n -1y '+a n y=f (x ) (1)只要求出其对应的齐次方程的通解 y (x )加上自身的一个特解y ＊(x )。

相应的齐次方程的通解易求,关于方程的特解,文[1]-[5]介绍了各种方法,并且多次提到算子法。

本文的目的是简单介绍微分算子法求特解,笔者以为在众多的方法中,微分算子法不失为一种好方法,简单易用、计算量小。

1.引入算子:设以记号D 表示求导运算,定义D=d d x ,D 2=d 2d x 2,…,D n =d nd x n ,于是有: y '=d y d x =D y ,y ″=d 2y d x 2=D 2y ,…,y n =d n y d x n =D n y 则(1)式变为:(D n +a 1D (n -1)+a 2D (n -2)+…+a n -1D +a n )y =f (x )设以记号F (D )表示算子多项式,定义F (D )=D n +a 1D (n -1)+a 2D (n -2)+…+a n -1D+a n ,于是有:F (D )y =f (x ),也即有:y ＊=1F (D )f (x )。

注意:D 表示微分算子,1D表示积分。

2.用微分算子求特解:性质:若F (x )是n 次多项式,F (x )具有n 阶导数,则有: (1)　F (D )e λx ≡e λxF (λ) (2)　F (D 2)s i n ωx ≡s i n ωx F (-ω2) (3)　F (D 2)c o s ωx ≡c o s ωx F (-ω2) (4)　F (D )e λx P (x )≡e λx F (D+λ)P (x )以下就以该性质及(1)式中f (x )取一些特殊类型的函数,对应的特解y ＊(x )用微分算子法求出:2.1　f (x )=e λx 时:2.1.1　F (λ)≠0时,则:y ＊(x )=1F (D )e λx =1F (λ)e λx 。