一阶非齐次线性微分方程

一阶非齐次线性微分方程解的结构
结构方程是描述系统的物理性质的最基本的数学表达式，它是系统的命令和动态解释的基础。

一阶非齐次线性微分方程(FLDE)是微分方程在研究系统动态性质时最常用的工具。

一
阶非齐次线性微分方程的特点是它的形式简单，只包含一阶阶导及一元函数，可以用来描
述动态系统的行为特征，但也可以用来描述更复杂的系统结构。

一阶非齐次线性微分方程的一般形式：
$$No\quad x n+1= A x n +B$$
其中，$x_n$是描述状态的变量，$A$是系统状态及输入之间的关系的系数矩阵，$B$是系
统的输入矩阵。

借助此方程，可以分析出对系统状态$x_n$有效控制的方法。

状态$x_n$可以通过输入信号$B$控制，当$B$设置为一个特定的值时，状态$x_n$可以驱动系统实现所需的结果。

在控制理论中，一阶非齐次线性微分方程可以用来解决调节问题，特别是用来设计控制器，从而控制系统的输出。

对系统控制有很大的作用，特别是通过控制控制任务，实现自动控
制的需要。

另外，一阶非齐次线性微分方程可以用来处理系统的不稳定性动态，例如系统的振荡运动，以及系统的偏差问题，从而使系统达到稳定的状态，从而提高系统的精度和准确性，确保
系统的正常运行。

总之，一阶非齐次线性微分方程在系统结构分析、动态控制和稳定性问题处理方面都有重
要用途。

它不仅有可解释性，而且能够处理复杂的系统动态，提高系统的稳定性，为系统
控制提供有效的解决方案。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。

解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。

解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如 ()()dyP x y Q x dx+= (1)的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如 ()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3)的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦(4)则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(4)化为 ()()()nn d F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+=()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+=(6)则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7)定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0n ndy F x F x y dx⎡⎤+=⎣⎦(8)则它的通解为 ()nCy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11)定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12)当1n =时,其通解为[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰(13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 若1n =,方程(12)变为 ()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式.若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln ()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+=(0,1)n ≠(12)则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+=[]()()n d F x y y Q x dx =方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx ⎡⎤⎣⎦+= 方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.。

一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程是微分方程中的一种重要类型，它具有以下形式：$$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知的函数。

解一阶线性非齐次微分方程的方法是利用积分因子法和常数变易法。

一、积分因子法对于形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$的一阶非齐次线性微分方程，我们可以通过引入积分因子$\mu(x)$将其转化为齐次线性微分方程。

而积分因子$\mu(x)$的选择与方程的系数有关。

对于一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$，我们可以选择积分因子$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$。

这样，原方程可以变形为$\frac{{d}}{{dx}}(e^{\int P(x) dx}y) = e^{\int P(x) dx}Q(x)$。

通过对上述方程两边同时积分，可以得到解$y = e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx + C)$，其中$C$为任意常数。

二、常数变易法对于一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$，我们可以通过常数变易法来求解。

假设原方程的解为$y = u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$是待定的函数。

利用求导法则，将$y = u(x)v(x)$代入原方程，可以得到$u'(x)v(x) +u(x)v'(x) + P(x)u(x)v(x) = Q(x)$。

将上式重新整理，可以得到$u(x)v'(x) + u(x)P(x)v(x) = Q(x) -u'(x)v(x)$。

根据等式两边函数对$x$的导数的性质，我们可以得到$u(x)v'(x) =Q(x) - u'(x)v(x) - u(x)P(x)v(x)$。

一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程是根据一定的条件，求解一元非齐次线性微分方程的一种数学方法。

它对应于求解非齐次线性微分方程：\frac{dy}{dx} + p(x) y = f(x)其中，p(x)与f(x)是任意给定的函数。

一、一阶非齐次线性微分方程特点1、一阶非齐次线性微分方程不仅比较容易，而且可以解决实际问题的微分方程问题；2、与一阶齐次线性微分方程的求解不同，一阶非齐次线性微分方程的求解不能利用特殊函数完全解出，需要转向积分法；3、一阶非齐次线性微分方程的求解，应考虑到它的特殊性，即方程的右面f(x)变化，此时，无穷多的解中，只有一个满足某种条件的解能够成功使空间内满足它对应的微分方程；4、在计算实际问题时，首先应考虑到它在初值条件上的解，再将次解代入到微分方程中，以满足微分方程的求解。

二、求解一阶非齐次线性微分方程的方法1、逻辑划分法：首先将一阶非齐次线性微分方程表示为一组数字方程，然后把它分解为两个独立系统，一组求解未知函数的数学方程，一组求解未知函数的微分方程；2、背景计算：即首先确定方程的右边形式，以及它的特殊解，然后考虑满足初始条件的解，以此计算出未知变量；3、数值求解法：将微分方程化为差分方程，采用某种数值近似方法，求得近似解；4、积分法：即采用某种泰勒展开的方法，将某个特定的范围上的特殊方程拆分为无穷多的更简单的抽象型方程，然后利用这些方程的积分来求一阶非齐次线性微分方程的解。

三、案例讲解下面我们以一元非齐次线性微分方程：\frac{dy}{dx} + 4y = x^3初值y(1)=0为例，来讲解一阶非齐次线性微分方程的解法。

1、逻辑划分法：将上述微分方程数学形式转换成数学形式：\frac{dy}{dx} + 4y = x^3可以划分为两个系统：第一组求解未知函数的微分方程：\frac{dy}{dx} + 4y =0第二组求解未知函数的方程：y = \frac{x^3}{4}2、背景计算法：接下来，我们来考虑满足初始条件的解。

一阶线性非齐次方程求解
一阶线性非齐次方程是特殊的一阶微分方程，该方程有解析解。

它
一般表示为y'+P(x)y=Q(x)，其中P(x),Q(x)为任意可微分函数，y为未
知函数。

求解该方程需要要满足如下条件：
（1）首先要判断方程的积分因子是否存在，如果存在，可以用变量变
换解决；
（2）如果积分因子不存在，则可以采用Fredholm定理或某种分离变量技巧；
（3）最后可以尝试特殊解法，即双曲函数解，或采用线性阶梯积分法；
（4）有些可以将非齐次方程分解成N个适当变量形式，用级数方法求
解该系统不定方程，然后再得到解析解；
（5）另外还可以利用不定积分来求解，它只能是非齐次的线性方程，
将大的非齐次现象转化为一系列小的非齐次问题连续求解；
（6）有一种求解方法是将一阶线性非齐次方程转化成常微分方程组，
再用通用积分技巧求解；
（7）然后可以考虑Green函数的方法，就是用Green函数的概念，用
合适的积分形式得到解析解；
（8）最后可以采用拉格朗日法，它用于求解无解或解不存在的非齐次方程，它可以将线性方程组转化为容易求解的系统等价方程。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0,则方程称为齐次的;如果Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。

a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() , '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于就是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之与y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。

解:]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。

以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程、这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上就是连续的、当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程、方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解、 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程、它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解、现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解、 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()n Cy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证、 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上就是连续的、 证明 若1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程、分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式、若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =g方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+=方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=-令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、。

一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。

分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy?P(x)y?Q(x)dx1。

)一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的叫做0x)?Q(，则方程称为齐次的；如果)(xQ非齐次的。

不恒等于零，则方程称为如果式所对应的齐次方程a)首先，我们讨论1dy0x)y??P(dx2的通解问题。

dydx)P??(x y分离变量得c?ln)Plny??(xdx?两边积分得dx)?(Px?ec??y或的通解。

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1u(x)c，即作变换换成的未知函数将的通解中的常数1?P(x)dx?eu?y? ?P(x)dx?P(x)?y?uP(x)e两边乘以得dy?P(x)dx?P(x)dx??exe)?uP(?u?dx两边求导得得代入方程1?P(x)dx dxx)P(???Q(x)u?Q(uex)e??，P(x)dx?dx?)eQ(xu?c?的通解于是得到非齐次线性方程1??dx)P(xdx)x?P(??dx?c?Qy?eex)(?将它写成两项之和P(x)dxdxx)P?(?Px)dx(???dx?ecy??Qe)?e(x?不难发现：第一项是对应的齐次线性方程的通解；2第二项是非齐次线性方程的一个特解。

1一阶线性非齐次方程的通解之结构。

由此得到非齐次通解齐次通解非齐次特解】求方程【例13y2dy2)1x???(1?dxx?(x?y?e1)??[cedx]1x?1x?解：3的通解。

322??dx??dx?2222)?1?ln((lnx?1)x?(x??e1)?e?[c?dx]1?22dx)]1c?(x??x?(?1)[?122])x?1(?[1x?(?)?c2由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

．二、贝努利方程方程dy n(n?0,1(?Qx)?y)?P(x)?y dx叫做贝努利方程。

n?0时，它是一阶线性非齐次微分方程当dy?P(x)?y?Q(x)dxn?1时，它是一阶线性齐次微分方程当dy?[P(x)?Q(x)]?y?0dxn?0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性当微分方程。

代入 ｙ ＝ ｃ （ ｘ ） ｅ － ｆ ｐ ， 即可 得 到一 阶线 性 非齐 次微 分方 程 ｙ ＋ ｐ （ ｘ ） ｙ ＝ ｑ （ ｘ ） 的通解
生 多介 绍其 它几 种解 法 ： 如积 分 变换 法和 积 分 因子 法
ｙ ＝ ｅ ４ ｐ （ 』 ｑ （ ｘ ） ｅ ｌ ｐ
数 教 材 中并 未 给 予 解释 ． 那 么， 如 何才 能解 决 学 生 在 学 习“ 常 数 变 易法 ” 中存在 的疑 惑 ， 降低 思 维难 度 呢？ 作为教师， 需结 合 教 学经 验 ， 改变 以往 教 学 中一 开始 就 直接 向学生 介绍“ 常数 变 易法 ” 的教法 ， 采 用 先介 绍
关键 词 ： 一 阶线性 非齐 次微 分 方程 ； 通解； 常数 变易 法 ； 积分 变换 法 ； 积分 因子 法
中图 分类号 ： ０ １ ７ ５ ． １ 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３ — ９ ８ ８ ４ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ １ ２ ２ — ０ ３
形如 Ｙ ＋ ｐ （ ｘ ） ｙ ＝ ｑ（ ｘ ） 的 方 程 称 为 一 阶 线 性 微 分
方程 ． 当 ｑ（ ｘ ） ＝ ０时 ， 称 为一 阶 线 性 齐 次 微 分 方 程 ；
ｙ ＝ ｅ （ ｘ ） ｅ ４ ｐ ｈ 为方 程 （ １ ） 的解． 为 了确 定 ｃ （ ｘ ） ， 将
（ 漳州城市职业学院教师教育系 ， 福建 漳州 ３ ６ ３ ０ ０ ０ ）
摘
要： 介绍 求解 一阶线 性非 齐次 微分 方程 的积分 变换 法和 积分 因子法 ， 有助 于解 决 学生 学 习
“ 常数变易法” 中的存疑； 通过对三种解法的辨析 ， 明确各种解法的特点与关系； 对 同一问题 ， 注重采 用一题多解的教学方式， 从不 同角度 、 采用不同方法加以探究求解， 有利于拓宽学生的解题思路， 培 养 学 生灵 活解 题 的能 力。

着 重 在 补 充 学 生 批 改 中 的不 足 和遗 漏 之 处 。
我 曾对 “ 一题多改 ”法做过尝试 ，意在调动学生对评改作 文的主
动性和积极性 。
我 的做法主要分为两大步骤 ： （ ）作 文前 ，要重视 下笔前 的 “ 一 评改 ” ，即是指学生 自己或相互 推敲写作提纲 。这种 下笔前 的 “ 改”，是最 重要不 过 了。正 如盖房 评 子 ， 先要打好 图样 ，作战首先要订好 计划一样 。要 是这一步 功夫没 有用够 ，写起来就常常写不下去 ，或 者勉强写下 去了 ，结果还是 要不 得 。这种事先 “ 评改” 提纲 ，有大部分学生过去是不做 的，他 们习惯
＝ 一 ＝
１［ｘ ２
一
把Ｙ Ｍ ＋， 人 程即 Ｍ一 ＿ ］＋ ＝ １ ／代 原方 得［ ＿ （＋） ＝ ＂ｄ Ｖ Ｍ Ｔ
由“一 ＝ ， ＝ ＋ ） 由Ｕ ＝ ＋ ） ， ＝ （ — ０得“ （ １ Ｖ （ １手 得 ÷
÷ ］ 。１ ） 』 ＝（ 一 ＋ 丁
这里 Ｐ（ ， ） ） Ｑ（ 为 连续函数 ， ≠０， 是 常数 ， ｔ ｌ １ 对于 Ｙ ， Ｙ 乘 上 ≠Ｏ 用
１ （ ） （ （ 舢 ） 一 ＝ 若 测ｕ） ２ ￣ ｏ ）ｒ 叭 ｌ（ ） （￣ｔｄ ＝ ） ｙ ｅｙ ）］） ｐｘ （
Ｍ
一
缸
４ ．利用积分 因子转化为可积组合法例题分析
结 论
本课题讨论 的是一 阶线性非齐次方程的解法 ， 研究 了它的几种解
１４ ８
现代 企 业教 育
ＭＯＤＥ Ｅ Ｔ Ｒ Ｒ Ｓ Ｅ Ｕ Ｔ ＯＮ ＲＮ Ｎ Ｅ Ｐ ＩＥ Ｄ ＣＡ Ｉ
２ 年６ ・ ０ ・月 １ ３
学 理 现代衾 术・ 论 等

一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程（简称1阶非齐方程），包含一个未知函数y(t)和一个非负实常数a，它(方程)由一个或多个高阶微分项和一个常数项构成。

方程的求解可以用来建模和描述定模型系统的行为，它最主要的用途是研究复杂系统的动力学行为。

1阶非齐方程由一下形式构成：frac{dy}{dt} + alpha y = g(t) qquad alpha geq 0 其中，g(t)是一个时间及其参数的函数，而α是一个定值。

这个方程的求解，就是要求出一个函数y(t)，是一个时间t的参数函数，并且符合上述1阶非齐方程。

一阶非齐次线性微分方程的求解有很多种方法，其中最常采用的方法是积分法，即把原方程分两边积分：int_{t_0}^t frac{dy}{dt} dt + alpha int_{t_0}^t y dt = int_{t_0}^t g(t) dt其中，t0为初始条件时刻，y(t0)为初始条件（一般取为y(t0)=0），上式化为：y(t) = int_{t_0}^t G(t,t_0) dt + alpha int_{t_0}^tint_{t_0}^theta G(theta,t_0) dtheta dt其中，G(t, t0)是y(t)的基本解，即满足下面方程的函数：frac{dG}{dt} + alpha G = g(t)因此，1阶非齐次线性微分方程的解可以表示为：y(t) = int_{t_0}^t G(t,t_0) dt + alpha int_{t_0}^tint_{t_0}^theta G(theta,t_0) dtheta dt= int_{t_0}^tleft(G(t,t_0) + alpha int_{t_0}^t G(theta,t_0) dthetaright) dt通常情况下，G(t, t0)可以由其特征积分方程（特征方程）求得：frac{dG}{dt} + alpha G = 0其特征积分方程可以得到解析解：G(t,t_0) = e^{-alpha t}将G(t, t0)代入前面的解，即可得到1阶非齐次线性微分方程的解：y(t) = e^{-alpha t} int_{t_0}^t e^{alpha theta}g(theta) dtheta + alpha int_{t_0}^t e^{-alpha theta}int_{t_0}^theta e^{alpha xi} g(xi)dxi dtheta这样，即可求出1阶非齐次线性微分方程的解。

一阶线性非齐次微分方程－互联网类哎呀，说起一阶线性非齐次微分方程和互联网，这可真是一个有意思的组合。

前几天，我去参加了一个朋友的聚会。

聚会上大家都在谈论自己的工作和生活，而我就想到了咱们今天要说的这个话题。

有个朋友在一家互联网公司做数据分析，他抱怨说每天面对的那些数据就像一团乱麻，怎么都理不清楚。

这让我一下子就想到了一阶线性非齐次微分方程。

咱先来说说一阶线性非齐次微分方程是啥。

简单来讲，它就像是一个有个性的小家伙，有自己特定的形式和解法。

比如说，形如$y' ＋p(x)y ＝ q(x)＄的就是它啦。

这其中的$p(x)＄和$q(x)＄就像是它的性格特点，决定了它的走向和解决办法。

那它和互联网有啥关系呢？您别急，听我慢慢说。

在互联网的世界里，很多现象和问题其实都可以用这种数学模型来描述和解决。

比如说，网络流量的变化、用户增长的趋势，甚至是一些在线游戏中的资源分配问题。

就拿网络流量来说吧，假设我们把某一时刻的网络流量看作是$y$，时间看作是$x$。

随着时间的推移，网络流量可能会因为各种因素，比如新用户的加入、热门事件的影响等等，而发生变化。

这时候，一阶线性非齐次微分方程就能派上用场啦。

我们可以通过分析那些影响流量的因素，把它们转化成方程中的$p(x)＄和$q(x)＄，然后求解方程，就能预测未来的流量走势。

再比如说，在电商平台上，商品的销售量也可能符合一阶线性非齐次微分方程的规律。

刚开始的时候，销售量可能增长得比较缓慢，但是随着推广活动的开展、口碑的传播，销售量会快速增长。

这时候，我们就可以用这个方程来分析销售量的变化，从而制定更合理的营销策略。

想象一下，如果互联网公司的运营人员都能掌握一阶线性非齐次微分方程，那他们在做决策的时候是不是就能更有底气啦？就像我那个做数据分析的朋友，如果他能用这个工具，说不定就不会再对着那些数据发愁啦。

回到聚会上来，我给朋友简单讲了讲一阶线性非齐次微分方程的概念，他虽然听得似懂非懂，但眼睛里还是闪过了一丝希望的光芒。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解；第二项是非齐次线性方程1的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。

解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

非齐次微分方程通解在数学领域中，微分方程是一种描述变量之间关系的数学方程。

非齐次微分方程是其中一类常见的微分方程，其通解的求解方法也是让人感到困惑和挑战的。

非齐次微分方程通解指的是能够满足给定初始条件的微分方程的解集。

在求解非齐次微分方程的通解时，我们需要先求得其对应的齐次微分方程的通解，再找到一个特解，将齐次通解和特解相加，从而得到非齐次微分方程的通解。

对于一阶非齐次线性微分方程，其一般形式为：y' + P(x)y = Q(x)其中，P(x)和Q(x)是已知的函数。

要求解这类微分方程的通解，我们需要首先求得对应的齐次微分方程的通解。

齐次微分方程是指Q(x)为0的情况，即：y' + P(x)y = 0对于这类微分方程，我们可以使用分离变量的方法来求解。

将y'和y分离到方程的两边，得到：dy/y = -P(x)dx对上式两边同时积分，得到齐次微分方程的通解：ln|y| = -∫P(x)dx + C其中C为常数。

接下来，我们需要找到非齐次微分方程的一个特解。

特解的选择有很多种方法，包括常数变易法、待定系数法等。

我们根据具体的情况选择合适的方法来求解。

假设我们使用待定系数法来求解非齐次微分方程的特解。

我们假设特解为y = u(x)，将其代入非齐次微分方程中，得到：u'(x) + P(x)u(x) = Q(x)我们需要确定u(x)的形式，使得上式成立。

根据Q(x)的形式，我们可以猜测u(x)的形式，并代入方程中。

通过比较系数，我们可以得到u(x)的具体表达式。

得到特解u(x)后，我们将其与齐次通解相加，即可得到非齐次微分方程的通解：y = u(x) + ln|y| = -∫P(x)dx + C其中C为常数。

总结一下，非齐次微分方程通解的求解过程是将对应齐次微分方程的通解与特解相加。

通过求解齐次微分方程的通解，我们可以找到非齐次微分方程的一般解，再通过特解的求解，得到非齐次微分方程的特定解。

一阶齐次方程的通解
1、对于一阶齐次线性微分方程：
其通解形式为：
其中C为常数，由函数的初始条件决定。

2、对于一阶非齐次线性微分方程：
其对应齐次方程：
解为：
令C=u(x)，得：
带入原方程得：
对u’（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：
主要思想：
数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。

使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。

这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。

最后将这些通解“组装起来”。

分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。