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相似三角形-等积式-比例式

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专题：相似三角形的判定 相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D， 交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。

分 析：我们将此等积式变形改写成比例式得： ，由等式左边得到△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=

∠F就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。 求证：BP2=PE·PF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。 证 明：

例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 求证： 。 分 析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900， ∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900，

∴∠1=∠C， ∴△ABD∽△CAD， ∴ ， 又∵E是AC中点，∴DE=EC，

∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C， ∴∠1=∠4，又有∠F=∠F， ∴△FBD∽△FDA，

∴ ， ∴ （等比代换） 二、双垂直条件下的计算与证明问题： “双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=900，CD⊥AB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论： （1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。 例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：

（1）AC=3，BC=4； （2）AC= ，AD=2； （3）AD=5，DB= ； （4）BD=4，AB=29。

分 析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。 解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

（1）∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB= =5，

∵AC2=AD·AB， ∴AD= = ， ∴BD=AB-AD=5- = ， ∵CD·AB=AC·BC，

∴CD= （或利用CD2=AD·BD来求） （2）∵AC= ，AD=2，AC2=AD·AB， ∴CD= ， ∵BD=AB-AD， ∴BD= -2= ， ∵BC2=BD·AB，且BC>0，

∴BC= （3）∵AD=5，DB= ，且CD2=AD·BD， ∴CD= =12 AB=AD+BD= ∵AC2=AD·AB，

∴AC= =13 ∵BC2=BD·AB，

∴BC= （4）BD=4，AB=29，BC2=BD·AB， ∴BC= =2 ， ∴AD=AB-BD=29-4=25， ∵AC2=AD·AB， ∴AC= =5 ， ∵CD2=AD·BD， ∴CD= =10 例5．已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC= CD，FG⊥AE于G。

求证：AG=4GE。

分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k (k>0)，则EC= BC=k, FC= CD= AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2，EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。

证 明：∵AB：BC=5：6， ∴设AB=5k, BC=6k (k>0), ∴在矩形ABCD中，有 CD=AB=5k, BC=AD=6k, ∠B=∠C=∠D=900,

∵EC= BC, ∴EC= ×6k=k, ∴BE=5k, ∵FC= CD, ∴FC= ×5k=3k, ∴DF=CD-FC=2k， 在Rt△ADF中，由勾股定理得

AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2， 同理可得AE2=50k2, EF2=10k2， ∴AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2, ∴△AEF是Rt△（勾股定理逆定理）， ∵FG⊥AE， ∴△AFE∽△FGE， ∴EF2=GE·AE，∵AE= =5 k ∴GE= = k, ∴4GE=4 k, ∴AG=AE-GE=5 k- k=4 k, ∴AG=4GE. 例6．已知：如图，Rt△ABC中,∠ACB=900，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。 求证：AE·BF·AB=CD3。

证 明：Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴CD2=AD·BD， ∴CD4=AD2·BD2， 又 ∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC， ∴AD2=AE·AC，BD2=BF·BC， ∴CD4=AE·BF·AC·BC， 又 ∵AC·BC=AB·CD， ∴CD4=AE·BF·AB·CD， ∴AE·BF·AB=CD3 说明：本题几次用到直角三角形中的重要等积式。请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。

测试 选择题 1．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 2．如 图，在□ABCD中，E是BC上的一点， AE交BD于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S△FBE

＝18，则S△FDA的大小为（ ）。 A. 24 B. 30 C. 32 D. 12 3．如图，在正方形 ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 4∶9 D. 2∶3

4．如图，△ABC的底 边BC＝a，高AD＝h， 矩形EFGH内接于△ABC，其中E、F分别在边AC、AB上，G、H都在BC上，且EF＝2FG。则矩形EFGH的周长是（ ）。

A. B. C. D.

5．如 图，在△ABC中，∠B＝∠ADE＝∠CAD， ，设△EBD、△ADC、△ABC的周长依次为m1、m2、m3。那么 的值是( )。 A. 2 B. 4 C. D. 答案与解析 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D 解析： 1．解 ∵ ∠BAD＝90°， AE⊥BD， ∴ △ABE∽△DBA。 ∴ S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2。 ∵ S△ABE∶S△DBA＝1∶5， ∴ AB2∶DB2＝1∶5， ∴ AB∶DB＝1∶ 。设AB＝k，DB＝ k， 则AD＝ 。 ∵ S矩形＝40cm2， ∴ k·2k＝40。

∴ k＝2 。 ∴ BD＝ k＝10，AD＝4 。 S△ABD＝ BD·AE＝20， ∴ ·10AE＝20 ∴ AE＝4（cm）。故选A。

2．C。 3．分析 易证△ABF≌△DAE。故知BF＝AE。 因AE∶EB＝2∶1，故可设AE＝2x，EB＝x，则AB＝3x，BF＝2x。

由勾股定理得AF＝ ＝ 。易证△AGE∽△ABF。 可得S△AGE∶S△ABF＝AE2∶AF2＝（2x）2∶（ ）2＝4∶13。 可得S△AGE∶S四边形BEGF＝4∶9。故选C。 4．分析：由题目条件中的EF＝2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出FG与高AD＝h的关系。由EF∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。 解：设FG＝x，则 ∵ EF＝2FG， ∴ EF＝2x。 ∵ EF∥BC， ∴ △AFE∽△ABC。 又AD⊥BC，设AD交EF于M，则 AM⊥EF。

∴ 。 即 。

∴ 。 解之，得 x＝

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相似三角形详细讲义

相似三角形详细讲义

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

15.比例式、等积式的常见证明方法

15.比例式、等积式的常见证明方法


典例精解

类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC 的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
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比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学 生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人 眼花瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许 多等积式的证明也是有规律可循的。
典例精解
F
∴∠CDF＝∠E
A
B
∴△DCF∽△EAD E
∴ DC CF AE AD
变式题
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长
线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME.
D
证明：
∴∠D＝∠B＝90°－∠C
∵∠BAC＝90°，
相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。

[初三数学]相似三角形的性质及判定1含答案 非常的全面

[初三数学]相似三角形的性质及判定1含答案 非常的全面

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例相似三角形的性质及判定如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得2122ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。