相似三角形复习-比例式、等积式的几种常见证明方法 PPT课件
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相似三角形完整版PPT课件
相似三角形在几何变换中的应用 在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
第12讲相似三角形的判定复习课件(共46张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
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第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
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部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
人教版九年级数学下册相似《相似三角形(第7课时)》示范教学课件
（2）求证： ．
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
ABDEF NhomakorabeaG
A
D
C
B
E
M
4．在△ABC 中，∠BAC 是直角，过斜边中点 M 且垂直于斜边 BC 的直线交 CA 的延长线于 E，交 AB 于 D，连接 AM． 求证：（1）△ABC∽△MEC； （2）AM2＝MD·ME．
类型一：利用相似三角形求线段长
类型一：利用相似三角形求线段长
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED＝
∠B，AG 分别交线段 DE，BC于点 F，G，且 ．
（1）求证：AG 平分∠BAC．
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
2．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设 ．
①若BC＝12，求线段 BE 的长． ②若△EFC 的面积是 20，求△ABC 的面积．
相似三角形（第7课时）
人教版九年级数学下册
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． （2）相似三角形周长的比等于相似比． （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
ABDEF NhomakorabeaG
A
D
C
B
E
M
4．在△ABC 中，∠BAC 是直角，过斜边中点 M 且垂直于斜边 BC 的直线交 CA 的延长线于 E，交 AB 于 D，连接 AM． 求证：（1）△ABC∽△MEC； （2）AM2＝MD·ME．
类型一：利用相似三角形求线段长
类型一：利用相似三角形求线段长
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED＝
∠B，AG 分别交线段 DE，BC于点 F，G，且 ．
（1）求证：AG 平分∠BAC．
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
2．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设 ．
①若BC＝12，求线段 BE 的长． ②若△EFC 的面积是 20，求△ABC 的面积．
相似三角形（第7课时）
人教版九年级数学下册
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． （2）相似三角形周长的比等于相似比． （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
图形的相似相似三角形判定定理的证明ppt
xx年xx月xx日
图形的相似相似三角形判定定理的证明
引言相似三角形的判定定理证明定理证明的运用其他相似三角形的判定方法结论
contents
目录
引言
01
探索相似三角形判定定理的证明方法和思路
了解三角形相似的定义和性质
目的和背景
相关定义和定理
面积比等于相似比的平方
对应边上的高、中线、角平分线对应成比例
对应角相等，对应边成比例
相似三角形的定义：两个三角形对应角相等，对应边成比例，则称它们为相似三角形
相似三角形的性质
相似三角形的判定定理证明
02
பைடு நூலகம்
证明过程
使用三边对应成比例进行证明的方法是，如果三角形的三边成比例，那么它们的对应角也相等。首先，假设两个三角形的三边对应成比例，即 $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$。然后，根据三角形内角和公式，我们有 $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \angle A_2 + \angle B_2 + \angle C_2$
定理证明的运用
03
用于证明两个三角形相似
要点三
定理1
如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似。
要点一
要点二
定理2
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
定理3
如果一个三角形的两边和其中一边的对角与另一个三角形的对应边和对应角的比相等，那么这两个三角形相似。
使用平行四边形对角线互相平分进行判定
结论
05
三角形相似的定义和性质
相似三角形ppt初中数学PPT课件
在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知 条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
相似三角形的性质PPT通用课件
比例
相等
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
相似比
对应角平分线的比都等于________.
相似比
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
SADE
.
(3)
_______
D
E
S
ABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1
15
B
C
7、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
AE 1
线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上
（1）△ ASR与△ ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
A
S
B
P
E R
D
Q
C
A
例题解析
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
40
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
100厘米、40厘米
———————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这
两个三角形的面积分别是——————
50平方厘米、8平方厘米
——。
(1)与(2)的相似比=______
相等
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
相似比
对应角平分线的比都等于________.
相似比
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
SADE
.
(3)
_______
D
E
S
ABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1
15
B
C
7、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
AE 1
线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上
（1）△ ASR与△ ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
A
S
B
P
E R
D
Q
C
A
例题解析
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
40
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
100厘米、40厘米
———————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这
两个三角形的面积分别是——————
50平方厘米、8平方厘米
——。
(1)与(2)的相似比=______
相似三角形专题复习(共66张PPT)
8
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
1:3
课堂训练:
E
B
D
C
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
A
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x
相似三角形
DE∥BC
△ ADE∽ △ ABC
∠DAE= ∠CAB
△ ADE∽ △ ABC
基本图形
判定方法
∠AED= ∠B
∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ ABC
对应角相等；
性质定理
对应边成比例；
周长的比 等于相似比；
面积的比等于 相似比的平方；
三边对应成比例的 两个三角形相似.
灵感 智慧
M1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
M2
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
灵感 智慧
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______
善于在复杂图形中寻找基本型
5
A
D
B
C
E
F
A
B
C
F
E
E
E
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
1:3
课堂训练:
E
B
D
C
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
A
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x
相似三角形
DE∥BC
△ ADE∽ △ ABC
∠DAE= ∠CAB
△ ADE∽ △ ABC
基本图形
判定方法
∠AED= ∠B
∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ ABC
对应角相等；
性质定理
对应边成比例；
周长的比 等于相似比；
面积的比等于 相似比的平方；
三边对应成比例的 两个三角形相似.
灵感 智慧
M1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
M2
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
灵感 智慧
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______
善于在复杂图形中寻找基本型
5
A
D
B
C
E
F
A
B
C
F
E
E
E
相似三角形复习-ppt
相似三角形的性质
相似三角形对应边对应成比例，对应角相等。
相似三角形对应高线、角平分线、中线之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
如图，DE∥BC，CD和BE相交于点O， AD：DB=2:3，则△DOE与△BOC的周长之比为 ，面积之比为 ．
如图，在△ABC中，AD：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为 ．
不能用三点定型法确定相似三角形(要用等比代换或等积代换)
变式练习2
如图，▱ABCD中，M是AB上的一点，连接CM并延长交DA的延长线于P，交对角线BD于N，求证：CN²=MN•NP．
当用三点定型法确定的三角形不想似时，要用等比代换或作辅助线构造相似。
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：
△AED∽△CBM；
AE•CM=AC•CD．
拓展Байду номын сангаас伸
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，点E在BD上，且满足BE•BD=9．求BC的长度。
反 思
谢谢大家 再见
汇报时间
汇报人姓名
精讲点拨
小结
证明等积式时，可以先将等积式变为比例式，确定要证明的相似三角形，然后求证。
有相等的边，有时通过换边来证明相似。
求证第二个问题时，一定要考虑第一个问题的结论。
变式练习1：如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．求证：
母子型
（四）一线三等角型(K子型） 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
一线三直角型（ K子型）
相似三角形ppt教学课件完整版
在摄影测量学中，通过拍摄地面的照片，并利用射影几何的原理进行解析，可以精确地测量 出地面点的三维坐标，为地图制作和地形分析提供重要数据。
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
《相似三角形》PPT课件
C
证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC
∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90°
∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90°
E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD
又∵ ∠F =∠F
∴ △BDF∽△DAF.
∴ BD DF
所在的三角形相似。
O E
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB
A
F
B
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
∴
ED EO
EC =ED
，即 ED2=EO ·EC
3. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
否则给出肯定的证明．
小结：
通这一节的复习之后你有哪些收获？
谢谢
A
解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA B （ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）
１ 2E C D
G
F
2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线 DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相 似，画出满足条件的图形.
A
A
A
A
E
D
AD AF
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC
∴ △ABC∽△ABD ∴ AB BD
AC AD
∴
AB DF AC AF
二、探索题
1、条件探索型
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
相似三角形判定定理的证明课件(共18张PPT)
课时导入知识讲解随堂小测1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（3）三边成比例的两个三角形相似.你能对它们进行证明吗？两角分别相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.知识点1 证明相似三角形的判定定理1已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.A BCA′B′C′D E证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，.AD AE AB AC （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）F过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'..AB AD CF CB =则（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.AE CFAC CB∴=∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形.∴DE ＝CF ..AE DE AC CB ∴=.AD AE DE AB AC BC∴==而∠ADE ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠AED ＝∠C ∴△ADE ∽△ABC∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B ＝∠B′，AD ＝A′B′.∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'A BCA′B′C′DEF两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.==''''AB ACk A B A C知识点2 证明相似三角形的判定定理2ABCA′B′C′D E证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.AB ACA B A C =''''∴△ABC ∽△ADE.（两角分别相等的两个三角形相似）.AB AC AD AE∴=,,AB AC AD A B A B A C ''==''''.AB ACAD A C ∴=''.AC AC AE A C ∴=''AE A C ''∴=而∠A ＝∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'知识点3 证明相似三角形的判定定理3三边成比例的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∴△ABC ∽△A′B′C′.''===''''AB BC ACk A B B C ACA BCA′B′C′DE证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，AE ＝A′C′,连接DE .已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'=.AB BC ACA B B C A C ='''''',,,AB AC AD A B AE A C A B A C ''''==='''' .AB AC AD AE∴=而∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.AB BC AD DE ∴=,,AB BCAD AB A B BC ''==''''又.AB BC AD B C ∴=''.BC BCDE B C ∴=''.DE B C ''∴=∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'1.判断（1）所有的等边三角形都相似. ( )（2）所有的直角三角形都相似. ( )（3）所有的等腰三角形都相似. ( )（4）所有的等腰直角三角形都相似. ( )×√×√2. 如图4，AD ⊥BC 于点D ， CE ⊥AB 于点 E ，且交AD 于点F ， 你能从中找出几对相似三角形？BC A ED FB CA E D FBC ED FB AE DF B C A E DF D CF EA3.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ， AB =6，BC =4，AC =5，CD = ，求AD 的长. 172A B CD 解: ∵ AB =6，BC =4，AC =5，CD = ∴ 又∠B =∠ACD ,∴△ABC ∽△DCA ，∴ ∴AD =17.2.AB CD BC AC =.BC AC AC AD =.254定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.定理证明相似三角形判定定理的证明定理的运用1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
如图 1-3，AD，CF 是△ABC 的两条高线，在 AB 上取一点 P，使 AP＝AD，再从 P 点引 BC 的平行线与 AC 交于点 Q.
求证：PQ＝CF. 【规范解答】 ∵AD，CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBF，∴ACDF＝BACB.
图 1-7 【规范解答】 ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB.
∴BBDE＝BACB，ED∽△BCA.
∴SS△△BBECDA＝DACE22＝
2 18.
又∵DE＝2 2，∴AC＝6 2，
∴点 B 到 AC 的距离＝118 ＝3 2. 2AC
图 1-3
又∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB， ∴△APQ∽△ABC. ∴PBQC＝AAPB，即PAQP＝BACB， ∴ACDF＝PAQP. 又∵AP＝AD，∴PQ＝CF.
射影定理 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边 之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特 别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
如图 1-1，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BC 边的垂直平分线 EM 和 AB，CA 的延长线分别交于 D，E，连接 AM.
求证：AM2＝DM·EM.
图 1-1
【规范解答】 ∵∠BAC＝90°，
M 是 BC 的中点，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠C.
∵EM⊥BC， ∴∠E＋∠C＝90°. 又∵∠BAM＋∠MAC＝90°， ∴∠E＝∠BAM. ∵∠EMA＝∠AMD， ∴△AMD∽△EMA， ∴DAMM＝EAMM， ∴AM2＝DM·EM.
相似三角形复习比例式等积式的几种常见证明方法课件
2.你对自己本节课的表现满意吗？ 为什么？
作业：
作业纸
老师寄语:若希望成功,当以恒心为 良友,以经验为参谋,以信心为光荣, 以希望为哨兵。
再见
欢迎多提宝贵意见
合作探究
1.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明:
DC2=DE·DF
利用相似
A
三角形的
性质
D E
F
C
B
2. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线AC⊥BD,垂足为E,AD=BD, 过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 （1）AF=BE （2） AF2=AE·EC
P
利用等积 式代换
G
C
D
A
E
B
协作交流
D F
C E
A
B
BE2=EA·EC
A
E
B
D
C
F
P AC:AB=AD:BD
G
C
D
A
E
B
EC2=EA·EB
C
A
快速抢 答
D
B
在这一个图形中,有两个 垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有___是
AC2=AD·AB
BC2=BD·AB
利用等线 段代换
D F
C E
A
B
3.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延 长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF
A
E
B
D
C
F
利用等比 式代换
4.已知,如图,CE是直角△ABC的斜边 AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连 接AP,作BG⊥AP,垂足为G,交CE于D, 试说明:CE2=ED·EP.
作业：
作业纸
老师寄语:若希望成功,当以恒心为 良友,以经验为参谋,以信心为光荣, 以希望为哨兵。
再见
欢迎多提宝贵意见
合作探究
1.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明:
DC2=DE·DF
利用相似
A
三角形的
性质
D E
F
C
B
2. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线AC⊥BD,垂足为E,AD=BD, 过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 （1）AF=BE （2） AF2=AE·EC
P
利用等积 式代换
G
C
D
A
E
B
协作交流
D F
C E
A
B
BE2=EA·EC
A
E
B
D
C
F
P AC:AB=AD:BD
G
C
D
A
E
B
EC2=EA·EB
C
A
快速抢 答
D
B
在这一个图形中,有两个 垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有___是
AC2=AD·AB
BC2=BD·AB
利用等线 段代换
D F
C E
A
B
3.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延 长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF
A
E
B
D
C
F
利用等比 式代换
4.已知,如图,CE是直角△ABC的斜边 AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连 接AP,作BG⊥AP,垂足为G,交CE于D, 试说明:CE2=ED·EP.
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2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
E
B
C
D
例4提高. 如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
方法一： 过点C作CG∥AB,交DF于G
则△DCG∽ △DBF
故
CD BD
=
CG BF
再证CG=CE 即可
F E G
B
C
D
例4提高.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
∠C=∠C' =90o
C'
A C = AB A'C' A' B '
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
三角形相似的判定还有什 么方法？
显然还有传递性和定义法。 C
B
C
在这一个图形中,有两个
垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有_____五组对
应成比例的六条线段.
A
D
B
AC2=AD·AB
3、当无法用三角形相似来证明线段成比例 时，可试着用引平行线的方法。
A
B
D
E
C
如上图, ∠BAC=120°, △ADE是等边三角形, 小丽发现图中有些线段是其他两条线段的比例中 项,你知道小丽说的是哪些线段吗? 它们分别是哪 些线段的比例中项吗?如果△ADE是AD=AE的等 腰三角形，∠BAC和∠DAE满足什么要求时候， 上述结论仍然成立？
FD FC
=
FB FD
FA FC
=
FB FA
只要证△FAB∽△FCA即可.
例4提高.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
分析： 由BD·CE=CD·BF，得
BD CD
=
BF CE
但△DBF与 △DCE不相似
F
因此，需作辅助线构造相似三角形
1.通过本节课的学习，你有什么收 获？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？ 为什么？
D B
例１. 如图：已知∠BAC=90°, BD=DC, DE⊥BC
交AC于E,交BA的延长线于F.
求证：AD2=DE·DF
C
证明：∵ ∠BAC=90°, BD=DC ∴ AD=DC, 从而∠DAC= ∠C
D
∵ DE⊥BC
E
∴ ∠F+ ∠B= 90°
∵ ∠C+ ∠B= 90°
∴ ∠F= ∠C =∠DAC
BC2=BD·AB
CD2=AD·BD
AC:AD=BC:CD
BC:BD=AC:CD
例１. 如图：已知∠BAC=90°, BD=DC, DE⊥BC
交AC于E,交BA的延长线于F.
求证：AD2=DE·DF
C
分析： 由AD2=DE·DF，得
AD DF
=
DE AD
E
故只要证明△ADE∽ △FDA即可
FA
利用相似 三角形的 性质
D
C
F
E
利用等线 段代换
A
B
点评：证明乘积式时，如果不
能找相似三角形（或平行线）， 可以进行等线段替换。
例 2巩固.已知,如图,CE是直角△ABC的 斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点 P,连接AP,作BG⊥AP,垂足为G,交CE于D, 试说明:CE2=ED·EP.
P
利用等积 式代换
G
C
D
A
D
C
F
利用等比
式代换
例4 如图： 已知△ABC 中，AD平分∠BAC ，
EF是AD的中垂线，EF 交BC的延长线于F .
求证：FD2=FC·FB
A
分析： 由FD2=FC·FB，得
FD FC
=
FB FD
但FD、FC、FB都在
E
同一直线上，无法
利用相似三角形.
由于FD=FA，替 B
D
C
F
换后可形成相似三角形.
方法三：过点B作BG∥DF, 交DF的延长线于G
则△DCE∽ △DBG
故
DC DB
=
CE BG
再证BG=BF 即可
G FA EB NhomakorabeaC
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤：
1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 角形；再找这两个三角形相似所需要的条件；
2、如这两个三角形不相似，则采用其它办 法（如找中间比代换等）；
FA
B
∵ ∠ADE= ∠FDA
∴ △ADE∽ △FDA
∴
AD DF
=
DE AD
∴ AD2=DE·DF
点评：证明乘积式时，可先 将乘积式改为比例式，然后 找相似三角形（或平行线）
例2. 如图,在直角梯形ABCD 中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线AC⊥BD,垂足 为E,AD=BD,过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 : AF2=AE·EC
E
B
点评：证明乘积式时，如果不
能进行等线段替换，还可以转
化一个乘积。
例3.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延 长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF
点评：证明乘积式时，如果不
A
能进行等线段替换，也可以转
E 化一个比。
B
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
方法二： 过点C作CG∥DF,交AB于G
故
BD CD
=
BF FG
再证FG=CE 即可
F
G
E
B
C
D
例4提高 如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
相似三角形复习
——比例式、等积式的常见证明方法
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法 E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似