中考数学复习题比例式、等积式的常见证明方法

等积式、比例式的证明等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。

因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。

但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。

（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。

例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。

求证：CD 2=DE·DF 。

分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：CD DE DF CD ，由等式左边得到△CDF ，由等式右边得到△EDC ，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。

因为∠CDE 是公共角，只需证明∠DCE=∠F 就可证明两个三角形相似。

证明略（请同学们证明）提示:D 为直角三角形斜边AB 的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。

有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。

例2．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。

求证：BP 2=PE·PF 。

分析：因为BP 、PE 、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC ，D 是BC 中点，由等腰三角形的性质知AD 是BC 的垂直平分线，如果我们连结PC ，由线段垂直平分线的性质知PB=PC ，只需证明△PEC ∽△PCF ，问题就能解决了。

证明：连结PC在△ABC 中，∵AB=AC ，D 为BC 中点，∴AD 垂直平分BC ，∴PB=PC ， ∴∠1=∠2，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，∴∠3=∠4，∵CF ∥AB ，∴∠3=∠F ，∴∠4=∠F ，又∵∠EPC=∠CPF ，∴△PCE ∽△PFC ，∴PC PF PE PC ，∴PC 2=PE·PF ，∵PC=PB ， ∴PB 2=PE·PF 。

例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。

以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。

但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。

为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。

下面以一些例题来说明解答策略及规律。

一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。

解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。

寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。

求证BE·AD＝BC·CD。

分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。

横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AEAD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：ABAE ＝AC AD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q.求证：PD·EQ ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BF A ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BF A ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD. 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC .∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD .2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴ABAE＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BEAE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQEQ ＝CDAE.∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BDAE .∵点D为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .。

F DCB A中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法1、添加平行线证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。

（1） 添加三角形内的平行线段添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。

在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。

例1：如图，已知AD 是A B C 的外角平分线，AD 与BC 的延长线交于D 。

求证：BD:CD=AB:AC例2：如图，点D 在A B C 的AC 边上，且AD=BE 。

求证:E F A C F DB C=.例3：如图，已知BD:DC=5:3,E 为AD 的中点，求BE:EF 的值.(2)添加三角形外的平行线 添加的方法是过端点作平行线 例4：如图，已知在A B C中，AD 平分B A C ∠，求证：A B B D A CD C=.FDCBEA FEDCBA DCBAE FD CB A例5：已知在A B C 中，AD 是中线，直线CEF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE:ED=2AF:BF.例6：已知A B C 中，AD 为中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE=AF,EF 交AD 于G ，求证：G E A C G FA B=.2、利用三角形相似的性质。

例7：如图，已知A B C中，090A C B∠=，D 是AB 的中点，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2D C DE D F=.例8：如图，在A B C 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 边上的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长线于H.求证：2D F G F H F=.2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．HGFEDCBAFE DCBA FECBDA例9：在A B C中，090A∠=，A DB C⊥于D ，D EA B⊥于点E ，求证：22A B B E A CA E=.例10：如图，已知P 是平行四边形的对角线BD 上一点，连接AP 并延长，交BC 的延长线于F ，交CD 于E ，求证：2P A P E P F=⋅.例11：如图，已知ABCD 是平行四边形，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA 、BC 的 延长线于Q 、R ，交CD 、AD 于点S 、T.求证：P Q P T P R P S⋅=⋅.例12:已知在A B C 中，AD 是角平分线，AE 是外角平分线，交BC 的延长线于点E ，T 为DE 的中点.求证：2T EB TC T=⋅.E DCBA PFEDCB A TSPR QDCBAFETDCBA练一练1、如图，在A B C中，A C B ∠=090，C DA B⊥于D ，AB=13，AD=4，那么CD=2、如图，在Rt A B C 中，CD 是斜边AB 上的高，且BD=2，求AD 的长.3、如图，已知A B C中，90,A A D B C∠=⊥于D ，D EA B⊥于E ，求证：22A BB E A CA E=.DCBAEDCBADCBA。

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AE AD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝ACAD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三 找中间比利用等积式代换 4．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q.求证：PD·EQ ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BF A ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BF A ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AE AD. 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC .∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD.2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴AB AE ＝ACAB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BEAE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQEQ＝CDAE.∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BDAE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .。

类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FDFC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：ABAE ＝AC AD.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AECE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AEDE，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .。

比例式、等积式证明的常用方法一、三点定形法例1 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交CB 的延长线于点P ，求证：PC PB PD ⋅=2例 2 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，D 为BC 中点，BC DE ⊥交AC 于F ，交BA 延长线于E . 求证：DF DE AD ⋅=2注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1．先把等积式转化为比例式；2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；3．再找这两个三角形相似所需的条件.二、找相等的量（比、线段、等积式）替换1、等线段替换例１ 已知等腰ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AB CG //，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ，求证：EG EF BE ⋅=21 D F A B C E 2例2 如图，在ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，BC EG ⊥于G ，L 是AF 的中点.求证：DL EG CD ⋅=22、等比替换例３ 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，求证：.2OE OC OA ⋅=例４ 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，BC AD ⊥，E 为AC 中点，ED 延长线交AB 延长线于F . 求证：DF AC AF AB ⋅=⋅3、等积替换例5 如图，在ABC ∆中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：EH EG DE ⋅=2.例６ 如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上取一点P ，连结AP ，AP BG ⊥垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2．注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化例１ 已知在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41=，CF EG ⊥，垂足为G ，求证：FG CG EG ⋅=2.A B C H D G E F四、利用相似三角形的性质例１ 如图，ABC Rt ∆中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于点D ，CAB ∠的平分AE 交CD 于点F ，交CB 于点E ．求证：AE CD CB AF ⋅=⋅.注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！练习巩固：1．如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且C ADE ∠=∠求证：（1） ADE ∆∽ACB ∆； (2)AC AE AB AD ⋅=⋅.２．如图，ABC ∆中，点DE 在边BC 上，且ADE ∆是等边三角形，︒=∠120BAC求证：（１）ADB ∆∽CEA ∆；（２）CE BD DE ⋅=2； （３）BC AD AC AB ⋅=⋅.3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，ECA D ∠=∠.求证：EB AC EC AD ⋅=⋅４．如图，AD 为ABC ∆中BAC ∠的平分线，EF 是AD 的垂直平分线．求证:FB FC FD ⋅=2。

证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。

下面我们将介绍几个常用的方法。

方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。

假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。

如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。

具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。

方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。

相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。

如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。

假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。

重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。

对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。

那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。

假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。

根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。

其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。

在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。

一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。

我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。

例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。

二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。

对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。

例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。

相似平面曲线模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)相似平面曲线模型总结2（比例式、等积式的常见证明方法）相似平面曲线模型是数学中的重要概念，可以帮助我们理解曲线之间的关系和性质。

在证明相似平面曲线模型时，常用的方法包括比例式和等积式。

本文将总结这两种方法的常见证明方式。

比例式的常见证明方法1. 比较两个曲线的相似部分：首先，我们要仔细观察两个曲线，找出它们相似的部分。

可以通过线段或者角度来确定这些相似部分。

2. 求取相似比例：在确定相似部分后，我们需要计算两个曲线的对应部分的长度比例。

通常情况下，我们可以通过测量或已知的信息来求取这个比例。

3. 证明比例关系：在得到相似比例后，我们需要利用几何关系和已知的数学定理，证明这个比例关系是成立的。

可以利用尺规作图、角度关系等方法进行证明。

4. 其他附加条件的考虑：有时候，我们需要考虑额外的条件来证明比例关系。

这可能涉及到垂直关系、平行关系或其他特殊的几何性质。

根据具体情况来考虑这些条件，以确保证明的有效性。

等积式的常见证明方法1. 确定等积关系：首先，我们需要确定两个曲线之间的等积关系。

这可以通过观察面积关系或者根据已知的数学定理来确定。

2. 将曲线转化为几何图形：将曲线转化为几何图形，可以更方便地进行面积计算和证明。

根据曲线的形状，可以选择使用三角形、矩形、圆形等几何图形进行转化。

3. 计算面积：利用几何图形的性质，计算两个曲线对应部分的面积。

可以运用平行线、相似三角形、圆的性质等进行计算。

4. 证明等积关系：根据面积计算的结果，利用已知的数学定理和几何关系，进行等积关系的证明。

可以利用面积相等的性质、面积比例的性质等进行证明。

无论是比例式还是等积式的证明方法，我们都需要严谨的推理和准确的计算。

在证明过程中，要注意不引用不能确认的内容，避免法律纠纷。

同时，我们要充分发挥自身的优势作为L.L.M的助手，采用简单的策略，避免法律复杂性。

总结地说，比例式和等积式是证明相似平面曲线模型常用的方法。

类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ；(2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FD FC 的值； (2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：AB AE ＝AC AD.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG ，∴AG 2＝GE ·GF . 2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4.3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AE CE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AE DE，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .。

相似专题2：比例式、等积式的证明对于等积式的证明，先根据比例的基本性质，把等积式转化为比例式，再结合图形来解决，常见的比例式的证明方法有以下四种类型：类型一：三点定形法解题技巧：三点定形法就是由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法，由欲证明的比例式寻找相似三角形。

一般是找到以四点成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似。

三角形的具体找法是横看等号左右两边分子、分母中出现的三个字母，能否组成三角形，然后证明以这些字母为顶点的两个三角形相似。

有时也可以竖看等号左右两边的两条线段能否组成一个三角形，证明这两个三角形相似。

1、 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 边上的高，AE 平分∠BAC 交CD 于F ，交BC于E 。

求证：CFBE AC AB =2、 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于M ，交AB 于E ，交CA 的延长线于D 。

求证：EM DM AM ⋅=2类型二：等线段代换法解题技巧：当三点定形法无法解决时，即比例式中的四条线段在图形上的同一条直线上，不能构成三角形或能构成三角形，但这两个三角形不相似时，此时就要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，然后再用三点定形法证明。

1、 如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，若∠APB=120°，求证：2CD BD AC =⋅2、在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点.求证:PF PE BP 2⋅=3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B.（1）求证：AC·CD = CP·BP（2）若AB = 10，BC = 12，当PD//AB 时，求BP 的长。

类型三：等比代换法解题技巧：当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑用三组线段的比来搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证结论中某个比相等的比来进行代换，然后用三点定形法确定三角形来解决，通常要证明两次三角形相似。

「初中数学」证比例式或等积式的六种常用技巧证比例式或等积式的题目时，若问题中无平行线或相似三角形，则需要构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似;若比例式或等积式中的线段分布不在两个三角形中，可尝试将它们转化到两个三角形中;若比例式或等积式中的线段分布在两个明显不相似的三角形中，可尝试用中间比代换.技巧一.构造平行线法1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC 的延长线于点F，求证AE×CF=BF×EC.【分析】由AE×CF=BF×EC，变为AE/BF=EC/CF或AE/EC=BF/CF，成比例的线段明显的组不成三角形，于是寻求中间比进行代换，过C点作CM∥AB，交DF于M，如图，则BF/CF=BD/CM，AE/EC=AD/CM，而D为AB的中点，则AD=BD，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.另，过C点作CM∥DF交AB于M，如图则AE/EC=AD/DM，又BF/CF=BD/DM，而AD=BD，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.另，过B点作BM∥AC，交FD的延长线于M，如图则BF/CF=BM/EC，而D为AB的中点，易证AE=BM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC，这里巧用AE等量代换了BM，得证.另，过B点作BM∥DF交AC的延长线于M，如图则BC/CF=CM/EC，∴(BC+CF)/CF=(CM+EC)/EC，即BF/CF=EM/EC，而DE是△ABM的中位线，AE=EM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.另，过A点作AM∥DF交BF的延长线于M，如图∵D为AB的中点，∴BF=FM，又AE/EC=FM/CF，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.另，过A点作AM∥BC，交FD的延长线于M，如图则AM/CF=AE/EC，而D为AB的中点，易证AM=BF，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.技巧二.构造相似三角形法2.已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD=CE，DE交AC于点F，求证AB×DF=BC×EF.【分析】由AB×DF=BC×EF，变形为AB/BC=EF/DF，成比例的线段可构成△ABC，而EF，DF构不成三角形，可寻求中间比代换，过D作DM∥BE，交AC于M，如图则出现A型相似，△ADM∽△ABC;X型相似，△CEF∽△MDF，∴有AB/BC=AD/DM，EF/DF=CE/DM，而AD=CE，∴AB/BC=EF/DF，即AB×DF=BC×EF.另，过E点作EM∥AB，交AC的延长线于M，如图同学们自己证一下.技巧三，三点定型法3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，MD⊥BC，交AB于E，交CA的延长线于D，求证AM²=DM×EM.【分析】由AM²=DM×EM，化为AM/DM=EM/AM，锁定两个三角形ADM与△EAM，看是否相似，∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴BM=AM，∴∠B=∠BAM，而∠D，与∠B都是∠C的补角，∠B=∠D=∠EAM，∵∠AEM=∠D+∠DAE，∠DAM=∠EAM+∠DAE，∴∠AEM=∠DAM，又∠AME=∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴AM/DM=EM/AM，即AM²=DM×EM.技巧四.等积过渡法4.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D，求证CE²=DE×PE.【分析】从结论分析，成比例的线段不在三角形中，那么就要找等量代换，由BG⊥AP，DE⊥AB，∴∠AEP=∠BED=∠AGB=90°，∵∠P与∠ABG都是∠PAB的余角，∴∠P=∠ABG，∴△AEP∽△DEB，∴AE/DE=PE/BE，即AE×BE=DE×PE，又CE⊥AB，∠ACB=90°，易证△AEC∽△CEB，∴AE/CE=CE/BE，即AE×BE=CE²，∴CE²=DE×PE.技巧五.等比代换法5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长，交AB的延长线于点F，求证AB/AC=DF/AF【分析】由于AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ADC=90°，又E是AC的中点，∴DE=EC=AC/2，∴∠C=∠CDE，又∠CDE=∠FDB，∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠C=∠FDB，又∵∠F=∠F，∴△FDB∽△FAD，∴DB/AD=DF/AF，∵∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴BD/AD=AB/AC，∴AB/AC=DF/AF.技巧六.等线段代换法6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥AB，BF交AD于点P，交AC于点E，求证PB²=PE×PF.【分析】由结论看，PB，PE，PF三线段在同一条线上，无法找到相似三角形，考虑代换，连接PC，而AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，而∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠ACP，又∵CF∥AB，∴∠F=∠ABP，∴∠F=∠ACP，又∠EPC=∠FPC，∴△PEC∽△PCF，∴PC/PF=PE/PC，∴PC²=PE×PF，∵PB²=PE×PF.如图【总结】几何证明题，多种多样，证等积式等比例式，究竟用什么方法，因题而异，考虑题中的条件，灵活代换，可以是等线段代换.等比代换，等积代换等。

比例式、等积式的常见证明方法 ◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ；(2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FD FC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：AB AE ＝AC AD .◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG ，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4.3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD .4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AE CE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AE DE ，∴PE ·DE＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .。

相似抛物线模型总结2(比例式、等积式的
常见证明方法)
相似抛物线模型总结2（比例式、等积式的常见证明方法）
1. 比例式证明方法
比例式证明方法是一种常见的证明相似抛物线模型的方法。

该方法通过建立两个相似抛物线模型之间的比例关系来进行证明。

具体步骤如下：
1. 首先，确定两个抛物线模型的特征参数，如焦点位置、准线方程等。

2. 然后，根据这些特征参数，建立起两个抛物线模型的比例关系。

3. 接下来，利用比例关系以及已知的特征参数，求解未知参数的值。

4. 最后，对比两个抛物线模型的参数值，如果它们满足比例关系，就可以得出它们是相似的结论。

比例式证明方法简单直观，适用于一些简单的抛物线模型。

2. 等积式证明方法
等积式证明方法是另一种常见的证明相似抛物线模型的方法。

该方法通过建立两个抛物线模型的面积相等的等式来进行证明。

具体步骤如下：
1. 首先，确定两个抛物线模型的特征参数，如焦点位置、准线
方程等。

2. 然后，根据这些特征参数，计算两个抛物线模型的面积。

3. 接下来，将两个抛物线模型的面积相等的等式进行展开化简。

4. 最后，通过求解等式中的未知参数，判断它们是否相等。

等积式证明方法相对比较复杂，需要进行面积计算和等式推导，适用于一些复杂的抛物线模型。

综上所述，比例式证明方法和等积式证明方法是常见的用于证
明相似抛物线模型的方法。

根据具体情况选择合适的方法进行证明，可以更好地理解和应用相似抛物线模型的性质和特点。

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法—网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．(虹口区模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠CAB 的平分线，BE ⊥AE ，垂足为点E ，求证：BE 2＝DE ·AE .2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE .求证：AB AC ＝AE AD.3．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，M ，N 分别为垂足．求证：AM AB ＝MN AC.◆类型二 利用等线段代换证明4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：AB AE ＝AC AD.5．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD于F .求证：DE 2＝BE ·CE .6．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G .求证：AG 2＝AF ·CF .◆类型三 找中间比利用等积式代换7．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q .求证：PD ·EQ ＝PE ·DQ .8．★如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .9．★如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 于F .求证：AB AC ＝DFAF.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD .∵∠C ＝90°，AE ⊥BE ，∴∠ADC ＋∠CAD ＝∠BDE ＋∠DBE .∵∠ADC ＝∠BDE ，∴∠CAD ＝∠DBE ，∴∠BAD ＝∠DBE ，∴Rt△ABE ∽Rt△BDE ，∴BE DE ＝AE BE，∴BE 2＝DE ·AE .2．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BFA ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BFA ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AE AD.证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AE AD.3．证明：在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，又∵∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt△AMB ∽Rt△AND ，∴AM AN ＝AB AD ＝ABBC.又∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB .∴∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠MAN ，∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MNAC. 4．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AC ＝AE AB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.5．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC ，∴AE CE ＝BE AE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .6．证明：∵BE ⊥AC ，∴∠AFB ＝∠BFC ＝90°，∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABF ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAF ＝∠CBF ，∴△ABF ∽△BCF ，∴BF CF＝AF BF，∴BF 2＝AF ·CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠BCE ＝90°.又∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE ，∴AE ＝BE .∵GF ∥AB ，∴AG AE ＝BF BE，∴AG ＝BF ，∴AG 2＝AF ·CF .7．证明：∵AE ∥DC ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ ＝CD AE .∵AE ∥BD ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PDPE＝BD AE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ . 8．证明：∵CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB ＝∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝ACBC.∵E 为BC 的中点，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ＝∠DAC ，∴∠FDC ＝∠FAD .又∵∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△FAD ，∴CF DF ＝CD AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DFCF，∴AC ·CF ＝BC ·DF .9．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠CDA ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∴△ABD ∽△CAD ，∴AB AC ＝BDAD.在Rt△ADC 中，∵点E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ，∴∠C ＝∠EDC ，∴∠BAD ＝∠EDC .又∵∠EDC ＝∠FDB ，∴∠FDB ＝∠BAD ，即∠FDB ＝∠FAD .又∵∠F ＝∠F ，∴△DFB ∽△AFD ，∴DF AF ＝BD AD .∴AB AC ＝DF AF.。