人教版初中数学九年级下册比例式、等积式的常见证明方法PPT课件

人教版九年级数学试题类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FDFC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：ABAE ＝AC AD.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AECE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AEDE，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。