方法专题4比例式、等积式的常见证明方法

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，并且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：ABAC＝AEAD.◆类型二利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E ，∠ADB＝∠ACB.求证：ABAE＝ACAD.3．★如图，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F.求证：DE2＝BE·CE.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BFA ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BFA ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD.证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC .∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AE AD. 2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴AB AE＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE＝BE AE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE . 4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ＝CDAE.∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠PAE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BDAE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .。

典中点图形的相似专训4 证比例式或等积式的技巧◐名师点金◑证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段;若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个三角形中,再证这两个三角形相似;若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换。

技巧1：构造平行线法1.如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,DF 交AC 于点E,交BC 的延长线于点F 。

求证:AE ·CF=BF ·EC.2.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D,边BC 的延长线上有一点E,且AD=CE,DE 交AC 于点F 。

求证:AB ·DF=BC.EF技巧2：三点定型法3.如图,在□ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F 。

求证:AD CF AE DC4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CMA的延长线于D,交AB于E。

AM=MD·ME.求证:2技巧3：构造相似三角形法5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N。

求证:BP·CP=BM·CN技巧4：等积代换法6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE。

求证:(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF=DB·EF7.如图,CE 是Rt △ABC 斜边上的高,在EC 的延长线上任取一点P,连结AP,作BC ⊥AP 于点C,交CE 于 点D 。

求证:2CE =DE ·PE8.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F 。

求证:AB AC AE =AF技巧5：两次相似法9.如图,在□ABCD 中,AM ⊥BC,AN ⊥CD,垂足分别为M,N.求证:(1)△AMB ∽△AND (2)AC MN AB AM =技巧6：等比代换法10.如图,在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于F 。

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AE AD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝AC AD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE ＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠BF A＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BF A＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD.证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD.2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BE AE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE . 4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ＝CD AE .∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BD AE.∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQ EQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。

相似立体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)相似立体模型总结2 (比例式、等积式的常见证明方法)本文总结了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法。

比例式的常见证明方法1. 比例式的宽度证明要证明两个相似立体模型的宽度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的宽度分别为$a$和$b$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{a}{b}$。

2. 比例式的高度证明要证明两个相似立体模型的高度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的高度分别为$h$和$k$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{h}{k}$。

3. 比例式的长度证明要证明两个相似立体模型的长度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的长度分别为$l$和$m$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{l}{m}$。

等积式的常见证明方法1. 等积式的底面积证明要证明两个相似立体模型的底面积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的底面积分别为$A$和$B$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的高度之比为$\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$。

2. 等积式的体积证明要证明两个相似立体模型的体积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的体积分别为$V_1$和$V_2$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的边长之比的立方为$\left(\frac{{V_1}}{{V_2}}\right)^{\frac{1}{3}}$。

结论以上介绍了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法，可根据具体情况选择合适的方法进行证明。

相似椎体模型总结2(比例式、等积式的常
见证明方法)
相似椎体模型总结2（比例式、等积式的常见证明方法）
一、比例式证明方法
比例式证明方法是通过比较两个相似椎体的边长或高度之比来
证明它们相似的方法。

常见的比例式证明方法包括以下几种：
1. 比较边长：首先，我们可以比较两个相似椎体的底面边长之
比和高度之比。

如果它们的比值相等，即两个椎体的底面边长之比
等于高度之比，那么可以得出它们相似的结论。

2. 比较斜边长：有时候，我们可以通过比较两个相似椎体的斜
边长之比来证明它们相似。

如果两个椎体的斜边长之比相等，那么
可以说明它们相似。

3. 比较面积：除了边长之比，我们还可以通过比较两个相似椎
体的底面积或侧面积之比来证明它们相似。

如果它们的面积比相等，则可以推断出它们相似。

二、等积式证明方法
等积式证明方法是通过比较两个相似椎体的体积来证明它们相似的方法。

常见的等积式证明方法包括以下几种：
1. 比较体积：我们可以比较两个相似椎体的体积之比来判断它们是否相似。

如果两个椎体的体积比相等，那么可以得出它们相似的结论。

2. 比较高度：有时候，我们可以通过比较两个相似椎体的高度来判断它们是否相似。

如果两个椎体的高度相等，则可以说明它们相似。

总结：在证明相似椎体模型时，我们可以使用比例式证明方法或等积式证明方法。

比例式证明方法是通过比较边长、斜边长或面积之比来判断相似性，而等积式证明方法则是通过比较体积或高度来判断相似性。

根据具体情况选择合适的证明方法，能够简化证明过程，同时避免法律复杂性。

比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。

其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。

在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。

一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。

我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。

例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。

二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。

对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。

例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。

比例式、等积式证明的常用方法一、三点定形法例1如图，在Rt^ABC中，NACB=90° , CD_LAB于D, E为AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于点P,求证：PD2 =PB PC例2如图，在AABC中，AB _L AC , D为BC中点, DE _L BC交AC于F ,交BA延长线于E .求证：AD2 = DE DF注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1.先把等积式转化为比例式；2.观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;3.再找这两个三角形相似所需的条件.二、找相等的量（比、线段、等积式）替换1、等线段替换例1 已知等腰AABC 中，AB = AC, AD _L BC 于D , CG//AB , BG 分别交AD、2 _AC 于E、F ,求证：BE =EF EGB例 2 如图，在 MBC 中，AB = AC , AD _L BC 于 D , BE _L AC 于 E , EG _L BC 于G ,L 是AF 的中点.求证：CD2=EGDL2、等比替换已知梯形 ABCD 中，AB//CD, AC 、BD 交于点O, BE// AD 交AC 的延长线于点 E,例3 求_ 2OA =OC OE.如图，在 AABC 中，AB .L AC , AD 1 BC , E 为 AC 中点, ED 延长线交AB 延长线于F .求证：AB AF =AC DFDB3、等积替换例5如图，在MBC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E ,交BF于G ,交AC延长线于H .求证：DE 2 = EG EH .例6如图，已知CE是RtAABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P,连结AP, BG_LAP 垂足为G,交CE 于D,求证：CE2 = PE DE .注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化1 . _ 例1 已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF=1AD,42EG -LCF ,垂足为G ,求证：EG =CG FG .四、利用相似三角形的性质例1 如图，RtAABC 中，NACB =90° , CD _L AB 于点D , /CAB 的平分AE 交CD 于点F ,交CB于点E .求证：AF CB =CD .AE .A D B注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！练习巩固：1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ADE =/C求证：(1) AADE s AACB ；(2) AD AB = AE AC .2.如图，MBC中，点DE在边BC上，且MDE是等边三角形，/ BAC =120〜求证：(1) AADB s ACEA ; ( 2 ) DE 2 = BD CE ; (3) AB AC = AD BC .3.如图，在平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，N D =/ECA.求证：AD EC =AC EB4 .如图，AD为MBC中NBAC的平分线，EF是AD的垂直平分线.求证：FD2 = FC FB 。